自动控制原理时域分析法.pptx

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1、3-1 控制系统的时域指标 所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。第1页/共148页动态和稳态过程动态和稳态过程3 3、动态过程、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。过程。4 4、稳态过程：、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间系统在典型信号作用下，当时间t t趋趋向无穷时，系统输出量的表现形式。向无穷时，系统输出量的表现形式。

2、1 1、典型输入信号：、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等冲、单位加速度、正弦等2 2、系统的时间响应、系统的时间响应，由，由动态过程动态过程和和稳态过程稳态过程两部分两部分组成组成与此对应，性能指标分为与此对应，性能指标分为动态性能指标动态性能指标和和稳态性能稳态性能指标指标第2页/共148页控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：第3页/共148页h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超

3、调量%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts第4页/共148页h(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义2第5页/共148页第6页/共148页一.上升时间t tr r(Rising time)(Rising time)(Rising time)(Rising time)响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h(h(h(h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，线无振荡的系统

4、，t t t tr r r r是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%10%10%10%上升到上升到90%90%90%90%所需的时间。所需的时间。延迟时间t td d(Delay time):(Delay time):(Delay time):(Delay time):响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。二.峰值时间t tp p (Time of peak value)响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h(h(h(h()达到第一个峰值所需的时间。达到第一个峰值所需的时间。三.调节时间t ts s 在稳态值在稳态值h(h(h(h()附近取一误差带

5、，通常取附近取一误差带，通常取第7页/共148页 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。t ts s越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。四.超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即第8页/共148页 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间

6、加长。劣的工作条件下，而且使调节时间加长。五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。t tr r,t,tp p和和t ts s表示控制系统反映输入信号的快速性，而表示控制系统反映输入信号的快速性，而%和和N N N N反映系统动态过程反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中的平稳性。即系统的阻尼程度。其中t t t ts s s s和和%是最重要的两个动态性能的指标。是最重要的两个动态性能的指标。第9页/共148页3-2 一阶系统的时间响应一.一阶系统的数学模型第10页/共148页结构图和闭环极点分布图为：结构图和闭

7、环极点分布图为：T T表征系统惯性大小的重要参数。表征系统惯性大小的重要参数。二.一阶系统的单位阶跃响应第11页/共148页第12页/共148页t t0 0T T2 2T T3 3T T4 4T T5 5T T c c(t t)0 00.630.632 20.860.865 50.9500.9500.980.982 20.990.993 31 1第13页/共148页特点：特点：（1）初始斜率为）初始斜率为1/T；（2）无超调）无超调（3）稳态误差）稳态误差ess=0。性能指标：性能指标：（1）延迟时间：）延迟时间：td=0.69T（2）上升时间：上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：）调节

8、时间：ts=3T(=0.05)第14页/共148页曲线曲线第15页/共148页例例1.1.一阶系统的结构图如图所示，若一阶系统的结构图如图所示，若k kt t=0.1,=0.1,试求系统的调节时间试求系统的调节时间t ts s。如果要。如果要求求t ts s 0.10.1秒。试求反馈系数应取多大？秒。试求反馈系数应取多大？-第16页/共148页解：系统的闭环传递函数解：系统的闭环传递函数第17页/共148页一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率为为0.368/T0.05/T0c(t)单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线第18页/共148

9、页三.一阶系统的单位斜坡响应第19页/共148页单位斜坡响应曲线如图所示：单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：引入误差的概念：当时间当时间t t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：际稳态值与给定值之差。即：tTTr(t)=tc(t)0第20页/共148页一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差e essss=t-(t-T)=T=t-(t-T)=T从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后上滞后T,

10、T,这就存在着这就存在着e essss=T=T的稳态误差。的稳态误差。一阶系统能跟踪斜坡输入信号一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差但存在稳态误差。第21页/共148页 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。一阶系统单位一阶系统单位加速度加速度响应响应第22页/共148页表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号输入信号时域时域输入信号输入信号频域频域输出响应输出响应传递函数传递函数1 11(t)1(t)t t微分微分等价关系：系统对输入

11、信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。第23页/共148页 典型二阶系统的结构图如图典型二阶系统的结构图如图3-53-5所示。系统的闭所示。系统的闭环传递函数为环传递函数为 其中其中K K为系统的开环放为系统的开环放大系数，大系数，T T为时间常数为时间常数。3-3 二阶系统分析 由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为二二阶阶系系统统。在在控控制制工工程程实实践践中中，二二阶阶系系统统应应用用极极为为广广泛泛，此此外外，许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下可可以以

12、近近似似为为二二阶阶系系统统来来研研究究，因因此此，详详细细讨讨论论和和分分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。（3 35 5）C(t)C(t)R(t)R(t)_ _C(t)C(t)图图3-5 3-5 二阶系统结构图二阶系统结构图第24页/共148页与式（与式（3-53-5）相对应的微分方程为）相对应的微分方程为 可可见见，该该系系统统是是一一个个二二阶阶系系统统。为为了了分分析析方方便便，将系统的传递函数改写成如下形式将系统的传递函数改写成如下形式式式中中 ，称称为为无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡角角频频率率，（简简称称为为无无阻阻尼尼自自振振频频率

13、率），称称为为阻阻尼尼系系数数（或阻尼比）。（或阻尼比）。(3-6)(3-6)第25页/共148页闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当0 1111时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图如图c c c c）4.4.4.4.当当=0=0=0=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（或零阻尼状态。（如图如图d d d d）下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二下面，分过阻尼

14、（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。阶系统的单位阶跃响应。第28页/共148页二.二阶系统的单位阶跃响应1.1.欠阻尼情况欠阻尼情况当当0 0 1,1,二阶系统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为WWn n无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。第29页/共148页 当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为第30页/共148页曲线曲线：第31页/共148页 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是

15、按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部于特征值实部-w w w wn n n n的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部w w w wd d d d的大小。的大小。角的定义角的定义第32页/共148页第33页/共148页 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；长；过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，平稳性也好，故称故称=0.7为最佳阻尼比

16、。为最佳阻尼比。第34页/共148页注：系统对于超调量的要求l对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度跟踪特性较好。许的，这时电动机速度跟踪特性较好。l对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。加水，而不能排

17、水。l机床刀架系统。机床刀架系统。第35页/共148页 上图绘出了不同上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，越大，超调越大，超调量量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越小，振荡性越强，平稳性越差。当越差。当0 0 0 0时，系统的零阻尼响应为：时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振荡频率为等幅振荡曲线，振荡频率为w w w wn n n n w w w wn n n n称为无阻尼振荡频率。称为无阻尼振荡频率。另外，若另外，若过大，如过大，如 ，系统响应迟

18、缓，调节时间，系统响应迟缓，调节时间t t t ts s s s长，快速性差；若长，快速性差；若过小，过小，虽然响应的起始速度较快，虽然响应的起始速度较快，t t t tr r r r和和t t t tp p p p小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间t t t ts s s s亦长。亦长。第36页/共148页下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1.1.1.1.上升时间上升时间t t t tr r r r 由定义知：由定义知：t tr r为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取为输出响应第一次到达稳

19、态值所需时间，所以应取n=1n=1。第37页/共148页当当wwn n一定时，一定时，越小，越小，t t t tr r r r越小；越小；当当一定时，一定时，wwn n越大，越大，t tr r越小。越小。2.2.峰值时间峰值时间t tp p第38页/共148页对式两边求导，并令其=0，得：代入 得：第39页/共148页 第40页/共148页t tp p为输出响应达到第一个峰值所对应的时间为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取所以应取n=1n=1。于是于是当当wwn n一定时，一定时，越小，越小，t t t tp p p p越小；越小；当当一定时，一定时，w w w wn n n n越大，

20、越大，t t t tp p p p越小。越小。3.3.3.3.超调量超调量%第41页/共148页所以超调量是阻尼比所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振的函数，与无阻尼振荡频率荡频率w w w wn n n n的大小无关。的大小无关。第42页/共148页%与与的关系曲线的关系曲线第43页/共148页 增大，增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在取在0.4-0.80.4-0.80.4-0.80.4-0.8之之间间,相应的超调量相应的超调量25%-2.5%25%-2.5%25%-2.5%25%-2.5%。4.4.4.4.调节时间调节时

21、间t t t ts s s s 根据定义：根据定义：不易求出不易求出t t t ts s s s，但可得出，但可得出w w w wn n n nt t t ts s s s与与的关系曲线：的关系曲线：第44页/共148页第45页/共148页调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。第46页/共148页 当当=0.68=0.68=0.68=0.68（5%5%5%5%误差带）或误差带）或=0.76=0.76=0.76=0.76（2%2%2%2%误差带），调节时间误差带），调节时间t t t ts s s s最短。所以通常的控最短。所以通常的控制系

22、统都设计成欠阻尼的。制系统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定t t t ts s s s。当当=0.8=0.8=0.81111时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为数可写为第50页/共148页式中：式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同过阻尼二阶系统可

23、以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，当系统的输入信号为单位阶跃函数时，第51页/共148页则系统的输出量为则系统的输出量为拉氏反变换得：拉氏反变换得：第52页/共148页 响应曲线如图：响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间t ts s，根据公式求，根据公式求t ts s的的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定表达式很困

24、难，一般用计算机计算出的曲线确定t ts s。第53页/共148页过阻尼二阶系统调节时间特性第54页/共148页从曲线可以看出，当从曲线可以看出，当 ,(临界阻尼）时，临界阻尼）时，,当当 ，时，时，当当 ，时，时，由此可见，由此可见，当当 时，时，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。来估算。当当 时，临界阻尼二阶系统时，临界阻尼二阶系统 ，则，则 则临界阻尼二则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。统一

25、般不采用过阻尼系统。第55页/共148页例例1:1:已知单位反馈系统的传递函数为已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益试计算放大器增益K KA A=200=200时时,系统输出响应系统输出响应的动态性能指标。当的动态性能指标。当K KA A增大到增大到15001500时或减小到时或减小到K KA A=13.5,=13.5,这时系统的动态性这时系统的动态性能指标如何能指标如何?第56页/共148页解解:系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:第57页/共148页 则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式则根据欠阻尼二阶系统动态

26、性能指标的计算公式,可以求得可以求得:第58页/共148页 由此可见由此可见,K,KA A越大越大,越小越小,w,w,w,wn n n n越大越大,t,t,t,tp p p p越小越小,%越大越大,而调节时间而调节时间t t t ts s s s无多大变化。无多大变化。系统工作在过阻尼状态系统工作在过阻尼状态,峰值时间峰值时间,超调量和振超调量和振荡次数不存在荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似而调节时间可将二阶系统近似第59页/共148页 为大时间常数为大时间常数T T的一阶系统来估计的一阶系统来估计,即即:调节时间比前两种调节时间比前两种K KA A大得多大得多,虽然响应无超调虽然响应

27、无超调,但过渡过程缓慢但过渡过程缓慢,曲线如下：曲线如下：第60页/共148页KA增大，增大，t tp p减小，减小，t tr r减小，减小，可以提高响应的快速性，但超调可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。第61页/共148页例例2.2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统下图表示引入了

28、一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。第62页/共148页系统开环传递函数系统开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数:等效阻尼比：等效阻尼比：第63页/共148页 增大了系统的阻尼比增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间调节时间缩短缩短,然而开环增益然而开环增益k k保持不变保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变同时也不改变系统的无阻尼

29、振荡频率系统的无阻尼振荡频率wwn n。而且。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益由于稳态误差与开环增益成反比成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数因此适当选择开环增益和微分器的时间常数T Td d,即可减小稳态误差即可减小稳态误差,又可又可获得良好的动态性能。获得良好的动态性能。第64页/共148页例例3.3.图图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解解:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为第6

30、5页/共148页 式中式中k kt t为速度反馈系数为速度反馈系数.为系统的开环增益。为系统的开环增益。(不引入速度反馈开环增益不引入速度反馈开环增益 )k k有所减小有所减小,增大了稳态误差增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。因此降低了系统的精度。第66页/共148页闭环传递函数 显然显然 ，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡而不改变无阻尼振荡频率频率wwn n,因此因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。速度反馈可以改善系统的动态性能。等效阻尼比：等效阻尼比：第67页/共148页 在应用速度反馈校正时在应用速度反馈校正时,应适当增

31、大原系统的开环增益应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开以补偿速度反馈引起的开环增益减小环增益减小,同时适当选择速度反馈系数同时适当选择速度反馈系数k kt t,使阻尼比使阻尼比t t t t增至适当数值增至适当数值,以减小系以减小系统的超调量统的超调量,提高系统的响应速度提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。使系统满足各项性能指标的要求。第68页/共148页高阶系统的暂态性能近似分析高阶系统的闭环传递函数一般表示为：高阶系统的闭环传递函数一般表示为：设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为：

32、单位阶跃响应的拉氏变换式为：第69页/共148页对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。性能指标主要取决于这些极点所

33、对应的分量。因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。第70页/共148页-1-5例例：第71页/共148页-10-1例例：第72页/共148页例例：第73页/共148页结论：1）若若某某极极点点远远离离虚虚轴轴与与其其它它零零、极极点点，则则该该极极点点对对应应的响的响 应分量较小。应分量较小。2 2）若若某某极极点点邻邻近近有有一一个个零零点点，则则可可忽忽略略该该极极点点引引起起的的暂态暂态 分量。分量。忽忽略略上上述述两两类类极极点点所所引引

34、起起的的暂暂态态分分量量后后，一一般般剩剩下下为为数数不不多多的的几几个个极极点点所所对对应应的的暂暂态态分分量量。这这些些分分量量对对系系统统的的动动态态特特性性将将起起主主导作用，这些极点通常称为主导极点。导作用，这些极点通常称为主导极点。0(a)(b)S0S0S（c)第74页/共148页3-4 控制系统的稳定性和代数判据一.稳定性的定义 如小球平衡位置如小球平衡位置b b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b b点到点到 点，外力作用去掉后点，外力作用去掉后,小球围小球围绕绕b b点作几次反复振荡点作几次反复振荡,最后又回到最后又回到b b点点,这时小球的运动是稳定的。这时小球的运动

35、是稳定的。第75页/共148页 如小球的位置在如小球的位置在a a或或c c点点,在微小扰动下在微小扰动下,一旦偏离平衡位置一旦偏离平衡位置,则无论怎样则无论怎样,小球再也回不到小球再也回不到原来位置原来位置,则是不稳定的。则是不稳定的。定义定义:若系统在初始偏差作用下若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零,具有恢复具有恢复平衡状态的性能平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。简称稳定。反之为不稳定。我们把扰动消失时我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。系统与平衡位置

36、的偏差看作是系统的初始偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关而与外作用及初始条件无关,是系统的是系统的固有特性。固有特性。第76页/共148页二.稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为:第77页/共148页 由于系统的初始条件为零由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲当输入一个理想的单位脉冲(t)(t)时时,则系统的输出便是则系统的输出便是单位脉冲过渡函数单位脉冲过渡函数k(t),k(t),如果如果 ,则系统稳定。则系统稳定。若若 是线性系统特征方程是线性系统特征方程 的根的根,且互且

37、互不相等不相等,则上式可分解为则上式可分解为第78页/共148页 式中式中 则通过拉式变换则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为求出系统的单位脉冲过渡函数为 欲满足欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。式中则必须各个分量都趋于零。式中 为常数为常数,即只有当即只有当系统的全部特征根系统的全部特征根 都具有负实部才满足。都具有负实部才满足。第79页/共148页稳定的稳定的充要条件是充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全或者闭环传递函数的全部极点均在部极点均在s s平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。特征方程有重根时特征方程有重根时,上述充

38、要条件完全适用。上述充要条件完全适用。第80页/共148页第81页/共148页第82页/共148页三.劳思稳定判据 不必求解特征方程的根不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性判断系统的稳定性,回避回避求解高次方程的困难。求解高次方程的困难。1.1.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于特征方程中所有项的系数均大于0.0.只要有一项等于或小只要有一项等于或小于于0,0,则为不稳定系统。则为不稳定系统。充分条件充分条件:Routh:Routh表第一列元素均大于表第一列元素均大于0 0。第83页/共148页 2.Rou

39、th2.Routh表的列写方法表的列写方法 特征方程为特征方程为 则则RouthRouth表为表为(在下页中在下页中)第84页/共148页第85页/共148页 则系统稳定的充要条件则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元素全部大于劳思表中第一列元素全部大于0 0。若出现小于。若出现小于0 0的元素的元素,则则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。例例:第86页/共148页 则系统不稳定则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有且有两个正实部根。（即有2 2个根在个根在S S的右半平面。的右半平面。一次方程一次方程:

40、a a1 1,a,a0 0同号则系统稳定。同号则系统稳定。二次方程二次方程:a a1 1,a,a2 2,a,a0 0同号则系统稳定。同号则系统稳定。三次方程三次方程:a a0 0,a,a1 1,a,a2 2,a,a3 3均大于均大于0,0,且且a a1 1a a2 2aa3 3a a0 0,则系统稳定。则系统稳定。第87页/共148页3.3.两种特殊情况两种特殊情况 情况情况1:1:劳思表中某一行的第一个元素为劳思表中某一行的第一个元素为0,0,其它各元素不全为其它各元素不全为0,0,这时可以用任意小这时可以用任意小的正数的正数代替某一行第一个为代替某一行第一个为0 0 0 0的元素。然后继续

41、劳思表计算并判断。的元素。然后继续劳思表计算并判断。例例:第88页/共148页 当当很小时很小时,则系统不稳定，并有两个正实部根。则系统不稳定，并有两个正实部根。情况情况2:2:2:2:劳思表中第劳思表中第k k k k行元素全为行元素全为0,0,0,0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝绝对值相同的实根对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异或存在实部符号相异,虚虚部数值相同的部数值相同的共轭复根，共轭复根，或上述类型的根兼而有之。或上述类型的根兼而有之。第89页/共148页 此时系统必然是不稳定的。在这种情况下此

42、时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。可作如下处理。(1).(1).用用k-1k-1行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程.(2).(2).将辅助方程为将辅助方程为s s求导求导,其系数作为全零行的元素其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。继续完成劳思表。例例:系统的特征方程为：系统的特征方程为：第90页/共148页列劳思表列劳思表:列辅助方程列辅助方程第91页/共148页第一列符号改变一次第一列符号改变一次,有一个正实部根有一个正实部根,系统不稳定。系统不稳定。第92页/共148页解辅助方程解辅助方程得：得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一

43、对纯虚根和一对纯虚根 可见其中有一个正可见其中有一个正实根。实根。第93页/共148页4.4.劳思判据的推广及应用劳思判据的推广及应用 (1).(1).劳思表不但可判断系统的稳定性劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。而且能判断特征根的位置分布情况。(2).(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例例:第94页/共148页闭环传递函数闭环传递函数:第95页/共148页则特征方程则特征方程 整理得整理得:必要条件必要条件:充分条件充分条件:第96页/共148页 则系统才是稳定的则系统才是稳定的,求得求得k k的取值范围。的取值范

44、围。(3).(3).确定使系统稳定的特征参数的取值区间。确定使系统稳定的特征参数的取值区间。例例:已知系统的特征为已知系统的特征为:试判断使系统稳定的试判断使系统稳定的k k值范围值范围,如果要求特征值均位于如果要求特征值均位于s=-1s=-1垂线之左。问垂线之左。问k k值应如值应如何调整何调整?第97页/共148页解解:特征方程化为特征方程化为:列劳思表列劳思表:第98页/共148页 所以使系统稳定的所以使系统稳定的k k值范围是值范围是 若要求全部特征根在若要求全部特征根在s=-1s=-1之左之左,则虚轴向左平移一个单位，令则虚轴向左平移一个单位，令s=ss=s1 1-1-1代入原特征方

45、代入原特征方程程,得得:整理得整理得:第99页/共148页列劳思表列劳思表:第一列元素均大于第一列元素均大于0,0,则得则得:第100页/共148页3.6 线性定常系统的稳定误差计算3.6.1 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差误差与稳态误差误差与稳态误差3.6.2 3.6.2 系统类型系统类型系统类型系统类型3.6.3 3.6.3 静态误差系数静态误差系数静态误差系数静态误差系数3.6.5 3.6.5 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差3.6.4 3.6.4 动态误差系数动态误差系数动态误差系数动态误差系数第101页/共148页前提：系统稳

46、定 。稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能 控制系统的性能控制系统的性能控制系统的性能控制系统的性能动态性能动态性能动态性能动态性能无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称之无差系统。有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统称之有差系统。误差的系统称之有差系统。第102页/共148页3.6.1 误差与稳态误差第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第第第第二二二二种种种种定定定定义义义义：输输输输出出出出的的的

47、的真真真真值值值值有有有有时时时时很很很很难难难难得得得得到到到到，误误误误差差差差往往往往往往往往难以测量。难以测量。难以测量。难以测量。误差的两种定义误差的两种定义误差的两种定义误差的两种定义第103页/共148页误差误差误差误差传递传递传递传递函数函数函数函数误差误差误差误差第104页/共148页上上上上式式式式表表表表明明明明：系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差，不不不不仅仅仅仅与与与与开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的的的的结结结结构构构构有有有有关关关关，还还还还与与与与输输输输入

48、入入入R(s)R(s)R(s)R(s)形形形形式式式式密密密密切切切切相相相相关关关关 。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。公式条件：公式条件：公式条件：公式条件：sE(S)sE(S)sE(S)sE(S)的极点均位于的极点均位于的极点均位于的极点均位于S S S S左半平面（包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。问问?R(t)=sin?R(t)=sint t时，能否用终值定理求时，能否用终值定理求e essss?第105页/共148页 对对对对于于于于一一一一个个个个给给给给定定定定的

49、的的的稳稳稳稳定定定定系系系系统统统统，当当当当输输输输入入入入信信信信号号号号形形形形式式式式一一一一定定定定时时时时，系系系系统统统统是是是是否否否否存存存存在在在在稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差就就就就取取取取决决决决于于于于开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数所所所所描描描描述述述述的的的的系系系系统统统统结结结结构构构构。因因因因此此此此，按按按按照照照照控控控控制制制制系系系系统统统统跟跟跟跟踪踪踪踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。第

50、106页/共148页3.6.2 系统类型 开环传递函数开环传递函数第107页/共148页系统稳态误差计算通式则可表示为系统稳态误差计算通式则可表示为为便于讨论，令为便于讨论，令第108页/共148页 因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速度函数或者其组合，因此分别讨论。速度函数或者其组合，因此分别讨论。速度函数或者其组合，因此分别讨论。速度函数或者其组合，因此分别讨论。第109页/共148页3.6.3 各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数一、阶跃输入一、阶跃输入令令G(s)H(