(1.2.1)--6.2.1二阶常系数齐次线性微分方程.ppt

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1、1 6.2 二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式二阶常系数齐次线性微分方程23二阶非齐次线性方程解的结构 型4二阶线性微分方程二阶线性微分方程：二阶二阶非齐次非齐次线性方程线性方程.二阶二阶齐次齐次线性方程线性方程;一、一、二阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程的一般形式 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次齐次非齐次非齐次二阶二阶常系数常系数齐次线性方程齐次线性方程:是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理)定理定理1 定理定理 2 是二阶齐次线性方程的两个解是二阶齐次线性方程的两个解,且且 是该方程的通解是该方程

2、的通解.是任意是任意常数，常数，则则 常数常数)定理定理3 3是二阶齐次线性方程两个是二阶齐次线性方程两个线性无关线性无关的的特解特解,方程的通解方程的通解.例如例如,有特解有特解且且常数常数,故故则则是任意常数）是该是任意常数）是该线性无关线性无关因此因此为该方程的通解为该方程的通解.注注:想求二阶齐次线性方程想求二阶齐次线性方程的通解的通解,需先找出其需先找出其两个线性无关的特解两个线性无关的特解.特征方程特征方程:特征根特征根实根实根 特特 征征 根根通通 解解对应特解对应特解共轭复根共轭复根二阶二阶常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程 通解通解.通解的求法如下通解的求法如下:特

3、征方程特征方程 ,例例1 1 的通解的通解.解解:特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为 .例例2 求解初值问题求解初值问题解解:特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得故所求的特解为故所求的特解为特征方程特征方程求特解求特解?例例3 的通解的通解.求微分方程求微分方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为特征方程特征方程解解:例例4 已知二阶常系数齐次线性微分方程有如下通解已知二阶常系数齐次线性微分方程有如下通解:求微分方程求微分方程.特征根特征根:特征方程特征方程:解解:即即相应的微分方程为相应的微分方程为:内容小结内容小结特征根特征根:(1)当当时时,通解为通解为(2)当当时时,通解为通解为(3)当当时时,通解为通解为特征方程特征方程:若若Thanks!