杨辉三角与二项式系数的性质.pptx

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1、一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数为特殊值时，二项式系数有什么特点？有什么特点？第1页/共16页1“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15

2、 6 1 第2页/共16页二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是时，其图象是右图中的右图中的7个孤立点个孤立点第3页/共16页二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性二项式系数的性质质（1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴图象的对称轴：第4页/共16页二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性

3、与最大值）增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 第5页/共16页二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。可知，当可知，当 时，时，第6页/共16页二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项

4、的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。第7页/共16页（3）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数公式这是组合总数公式 第8页/共16页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，第9页/共16页课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那

5、么，那么 =；2）的展开式中，二项式系数的最大的展开式中，二项式系数的最大值是值是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n=；第10页/共16页 例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和4项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第第11页/共16页 例例3：的展开式中第的展开式中第6项与第项与

6、第7项的系项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。大的项。变式引申：变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416第12页/共16页例例4、若若 展开式中前三项系数成等展开式中前三项系数成等差差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中

7、所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。第13页/共16页1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 2、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数是（）的系数是（）A.-297 B.-252 C.297 D.2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_课堂练习课堂练习(1+)n展开式中含展开式中含x-2x-2的项的系数为的项的系数为1212，求，求n.n.5.5.已知（已知（10+x10+xlgxlgx）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为10106 6，求，求x x的值的值.第14页/共16页 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结小结第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页