泰勒公式和泰勒级数.pptx

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1、3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.即 f(x)=x(R,R)4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.x(R,R)即n=1(an xn)第1页/共24页注注:常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数(1)(1x1)(2)(3)(4)(5)第2页/共24页3二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数一、泰勒公式的建立7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数第3页/共24页一次多项式在微分的应用中有近似计算公式:若 f(x0)存在,则在 x0点附近有f(x

2、)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.希望:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f(x)一、泰勒公式第4页/共24页猜想2 若有相同的切线3 若弯曲方向相同近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1 若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设 Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0第5页/共24页即有Pn(x)

3、=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假设 Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!an Pn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),第6页/共24页k=0,1,2,3,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx

4、0)2+an(xx0)n称为函数 f(x)在x0处的泰勒多项式.k=0,1,2,3,n称为泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.第7页/共24页其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数 f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0,1,2,n是唯一的.第8页/共24页设 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k 证由于

5、f(x)在UR(x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数(t)=f(x)f(t)+f(t)(xt)+(x)=0=(x0),不妨设 x0 x时同理可证,第10页/共24页其中f(x)=f(0)+f(0)x+1 当x0=0时,(在0与x之间)或令 =x,0 1,则+Rn(x).称为函数 f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.2 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+其误差为:Rn(x)第11页/共24页解例1*求f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式.因为 f(n)(x)=e x,n=1,2,3,所以 f(n)(0)=e 0=1,n=1,2,3,于是 f(x)=e x 在x=0的n阶

6、泰勒公式为:其中0 1.第12页/共24页定义 如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒级数称为函数 f(x)的麦克劳林级数.问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.第13页/共24页解例2*求 f(x)=sinx 在x=0的泰勒级数.当n=2k时,f(2k)(0)=sin(k)=0,k=0,1,2,当n=2k+1时,f(2k+1)(0)=sin(k+)=(1)k,得因=0,于是 R=+,定理2 f(x)在x0点的泰勒级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.第1

7、4页/共24页=0,所以 sin x=0 其中收敛区间为:(,+).x(,+).即第15页/共24页麦克劳林多项式逼近sin xy=sinxy=x第16页/共24页7.7 初等函数的幂初等函数的幂级数展开级数展开式式一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式第17页/共24页步骤:(1)求 f(n)(x),n=0,1,2,(4)讨论?并求出其收敛区间.(3)写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是 f(x).一、直接法(泰勒级数法)(2)计算 an=f(n)(x0),n

8、=0,1,2,第18页/共24页解例1 将 f(x)=e x 在展开成 x的幂级数.因 f(n)(x)=e x,n=1,2,3,f(n)(0)=e 0=1,于是 f(x)=e x 在x=0的麦克劳林级数为:其中0 1=0,所以 e x=1+x+x+.收敛区间为:(,+)第19页/共24页二项展开式+nxn1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x)=1+x+?第20页/共24页解例2 将 f(x)=(1+x)展开成 x的幂级数.n=0,1,2,f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得(1+x)(n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),注意:当x=1时,级数的收敛性与 的取值有关.1,收敛区间为:(1,1).1 0,收敛区间为:1,1.所以(1+x)的泰勒级数的收敛区间是(1,1),第21页/共24页x(1,1)(1+x)=1+x+牛顿二项式展开式当=1时,x(1,1).=1x+x2 x3+(1)nxn+第22页/共24页三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页