应用概率统计第六章.pptx

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1、总体样本统计量描述作出推断随机抽样这一讲，我们介绍数理统计的基本概念。第1页/共55页100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：1.估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）2.强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）3.若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？(参数的假设检验问题）4.这批合金的强度是否服从某一给定的分布？(分布检验问题）例如例如某厂生产一型号的合金材料，某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取用随机的方法选取第2页/共55页6.若这批合金若这批合金由几种原料用不同的比例合成，那么如由几种原料用不同的比例合成，那么如何表达这批合金的强

2、度与原料比例之间的关系？何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？(回归分析问题）回归分析问题）我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。下面首先引入一些数理统计中的基础知识。5.若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同的工艺对合金强度有否影响？若有影响，那一种工艺生产的强度较好？(方差分析问题）第3页/共55页p数理统计学是一门应用性很强的学科。它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测。p由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来。p客观上，只允许我们对随机现象进行次数不多的观察

3、试验，我们只能获得局部观察资料。第4页/共55页p在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断。p数理统计方法具有“部分推断整体”的特征。第5页/共55页p在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项(或几项)数量指标和。为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况。p每个具有的数量指标的全体就是总体。每个数量指标就是个体。某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体第6页/共55页一个统计问题总有它明确的

4、研究对象。1.总体研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体，总体中每个成员称为个体。总体一、总 体 和 样 本总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。总体有限总体无限总体第7页/共55页p因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来。p我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、灯泡的寿命，汽车的耗油量)。p由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性，从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X，因此随机变量X的分布就是该数量指标在总体中的分布。p总体就可以用一个随机变量及其分布来描述。第8页/共55页比如：研究某批灯泡的寿命时，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F

5、(x)表示。总体鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体。如说总体X或总体F(x)。寿命X 可用一概率（指数）分布来刻划第9页/共55页比如：在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示。统计中，总体这个概念就是一个概率分布。第10页/共55页总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本。样本中所包含的个体数目称为样

6、本容量。2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5抽到哪5辆是随机的第11页/共55页定义6.1为了准确地进行判断，对抽样有所要求：代表性：样本的每个分量Xi与总体X 有相同的分布函数；独立性：X1,X2,Xn为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本(X1,X2,Xn)称为来自总体X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。样本的一次具体实现称为样本值。第12页/共55页简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为=F(x

7、1)F(x2)F(xn)其简单随机样本的联合概率密度函数为=f(x1)f(x2)f(xn)第13页/共55页事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值。如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本。我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量。3.总体、样本、样本值的关系第14页/共55页总体（理论分布）？样本样本值p统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质。p总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体。样本是联系二者的桥梁第15页/共55页 第二节 统计量第16页/共55页

8、p由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。1.统计量p这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本决定的量。第17页/共55页定义6.2设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,Xn)为一实值连续函数，其不包含任何未知参数，则称g(X1,X2,Xn)为一个统计量。g(x1,x2,xn)为g(X1,X2,Xn)的观测值。注：g(X1,X2,Xn)仍为随机变量。g(x1,x2,xn)是一个数。第18页/共55页2.几个常见统计量样本平均值它反映了总体均值的信息样本方差它反映了总体方差的信息

9、样本标准差第19页/共55页它反映了总体k 阶矩的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩k=1,2,它反映了总体k 阶中心矩的信息第20页/共55页3.统计量的观察值第21页/共55页4.经验分布函数设X1,X2,Xn是总体F的一个样本，用s(x)，表示x1,x2,xn中不大于x的随机变量的个数。定义6.3经验分布函数为比如：设总体F具有一个样本值1,1,2，则经验分布函数F3(x)的观测值为第22页/共55页一般地，设x1,x2,xn是总体的一个容量为n的样本值，将它们按大小次序排列如下：则经验分布函数Fn(x)的观测值为第23页/共55页 第三节 几个常用的分布第24页/共55页分布1、记为定义

10、6.4设X1,X2,Xn相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为 n的 分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布。第25页/共55页分布的概率密度为其中伽玛函数第26页/共55页1.设X1,X2,Xn相互独立，都服从正态分布则3若近似正态分布N(0,1)。(应用中心极限定理可得)这个性质叫分布的可加性。2设且X1,X2相互独立，第27页/共55页E(X)=n,D(X)=2n。第28页/共55页称满足条件分位点。为分布的上的点对于给定的正数分布的分位点第29页/共55页t分布的概率密度函数为：所服从的分布为自由度为n的t 分布。定义6.5设XN(0,1),Y,且

11、X与Y相互独立，则称变量2、t 分布第30页/共55页第31页/共55页（1）设Tt(n)，则（2）t 分布的概率密度关于x=0对称t 分布的性质E(T)=0,D(T)=n/(n-2),n2当n 充分大时，其图形类似于标准正态分布概率密度的图形。但对于较小的n，t 分布与N(0,1)分布相差很大。第32页/共55页 t分布的分位点对于给定的正数，称满足条件为t(n)分布的上 分位点。的点第33页/共55页由定义可见，3、F分布F(n2,n1)定义6.6设U 与V 相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第自由度，n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2).第34页/共55

12、页若FF(n1,n2)，F的概率密度为第35页/共55页(1)由定义可知，F(n2,n1)F分布的性质(2)若X F(n1,n2)，则n22n24第36页/共55页F分布的分位点对于给定的正数称满足条件分位点。分布的上的点为第37页/共55页设总体设总体X,Y 相互独立相互独立其样本为试求统计量服从什么分布？解 由已知得所以例6.1第38页/共55页总体总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为解 由已知得所以故例6.2第39页/共55页已知总体已知总体X 服从自由度为服从自由度为n的的t 分布，求证：分布，求证：解由已知得其中故所以还能得例6.3第40页/共55页例6.4第41页/共55页

13、第四节 正态总体的统计量的分布第42页/共55页定理6.7(样本均值的分布)设X1,X2,Xn 是来自正态总体的样本，样本均值，则有注意:n取不同值时样本均值的分布第43页/共55页定理6.8(样本方差的分布)n取不同值时的分布设X1,X2,Xn 是来自正态总体的样本，样本均值，则有第44页/共55页定理6.9(样本均值的分布)设X1,X2,Xn 是来自正态总体的样本，和S2分别为样本均值和样本方差，则有第45页/共55页定理6.10(两总体样本均值差、样本方差比的分布)这两个样本的样本均值，S12和S22分别是这两个样本的样本且X与Y 独立,X1,X2,Xn是来自X的样本,Y1,Y2,Yn是

14、取自Y 的样本，分别是方差，则有第46页/共55页设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布N(80,400)，其样本其样本为为解由已知得，得例6.5第47页/共55页设总体设总体X,Y 相互独立，相互独立，XN(20,3),YN(20,3)其样本为试求以下概率解由已知得则所以例6.6第48页/共55页解例6.7设总体X服从正态分布N(12，2)，抽取容量为25的样本，求样本均值大于12.5的概率。如果(1)已知=12；(2)未知，但已知样本方差S2=5.57。第49页/共55页解例6.8第50页/共55页第51页/共55页例6.9若总体XN(0,1),从此总体中取一个容量为6的样本X1，X2，X6，设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，试决定常数C，使随机变量CY服从分布。解第52页/共55页例6.10解第53页/共55页第54页/共55页感谢您的观看。第55页/共55页