高等数学二重积分的计算.ppt

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1、高等数学二重积分的计算1现在学习的是第1页，共42页0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d2现在学习的是第2页，共42页0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x (y)Q(y)=I=c y d3现在学习的是第3页，共42页0 xz ydD:(y)x (y)c y dQ(y)=I=z=f(x,y)x=(y)4现在学习的是第4页，共42页1.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间c,d上连续上连续.即即二重积分的计算有两种积分顺序二重积分的计算有两种积分顺序5现在学习的是第5页，共42页2.积分区域为积分区

2、域为:其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.6现在学习的是第6页，共42页3.若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(利用积分区域的可加性利用积分区域的可加性)则则必须分割必须分割.7现在学习的是第7页，共42页例例 求求解解所围平面闭区域所围平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点法一法一8现在学习的是第8页，共42页法二法二9现在学习的是第9页，共42页特殊地特殊地,D为矩形域为矩形域:a x b,c y d.即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.则则则则如如D是上述矩形域是上述矩形域,10现在学习的是第10页，共42页

3、例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:11现在学习的是第11页，共42页oxy12现在学习的是第12页，共42页解解 求求 其中其中D 是以是以为顶点的三角形为顶点的三角形.所以所以,积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序.因因

4、 无法用初等函数表示无法用初等函数表示,13现在学习的是第13页，共42页例例 交换积分次序交换积分次序:解解 积分区域积分区域:原式原式=14现在学习的是第14页，共42页解解 计算积分计算积分所以所以,先交换积分次序先交换积分次序.因因 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,15现在学习的是第15页，共42页解解原式原式=交换积分次序：交换积分次序：16现在学习的是第16页，共42页解解交换积分次序交换积分次序17现在学习的是第17页，共42页而且又是能否进行计算的问题而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及

5、到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分一定要放在后面积分.18现在学习的是第18页，共42页例例 求证求证对于左边的累次积分对于左边的累次积分,先交换积分次序先交换积分次序.积分区域积分区域:可表为可表为:证证19现在学习的是第19页，共42页10.2.2 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素20现在学习的是第20页，共42页在极坐标系下在极坐标系下,一般化成一般化成1.极点在区域极点在区域D 的外面的外面21现在学习的是第21

6、页，共42页2.极点在区域极点在区域D 的边界上的边界上(曲边扇形曲边扇形)22现在学习的是第22页，共42页极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积3.极点在区域极点在区域D 的内部的内部23现在学习的是第23页，共42页 直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为 2.积分区域积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成，是由圆弧、或圆弧与直线所围成，常用极坐标计算常用极坐标计算因此因此 在极坐标下在极坐标下 1.若被积函数形如若被积函数形如圆环、扇形等圆环、扇形等.24现在学习的是第24页，共42页解解例例 写出积分写出积分的极坐标二次积分的极坐标二次积分形式形式,其中积分区域其中积分

7、区域在极坐标系下在极坐标系下,圆的方程为圆的方程为直线的方程为直线的方程为P234 5(5)25现在学习的是第25页，共42页解解a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下注注26现在学习的是第26页，共42页D2例例 计算计算分析分析:因被积函数因被积函数故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1解解27现在学习的是第27页，共42页解解计算计算所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.及直线及直线28现在学习的是第28页，共42页将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分:化为化为极坐标系极坐标系

8、下的下的累次积分累次积分.oxy解解原式原式=29现在学习的是第29页，共42页例例 将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式r=Ry=R xD1D2R0y xDarctanR解解30现在学习的是第30页，共42页设区域设区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量 y为为偶偶函数函数.oxyD1则则D1为为D在第在第 一象限中一象限中的部分的部分,则则如果如果 f(x,y)关于变量关于变量y为为奇函数奇函数 我们经我们经常常利用被积函数的利用被积函数的奇、偶性奇、偶性和积分区域和积分区域的的对称性质对称性质简化重积分的计算简化重积分的计算.10.2.3 对称性

9、与二重积分对称性与二重积分31现在学习的是第31页，共42页如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x为奇函数为奇函数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设区域设区域D关于关于y轴对称轴对称,D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,32现在学习的是第32页，共42页00D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域例如例如,设设D为圆域为圆域(如图如图)33现在学习的是第33页，共42页34 解解由性质得由性质得 例例34现在学习的是第34页，共42页 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关

10、于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分.则则D1例例35现在学习的是第35页，共42页36 思考思考当当f为为关于关于x且且关于关于y的偶函数的偶函数时：时：当当f为为关于关于x或或关于关于y的奇函数的奇函数时：时：04Di是区域是区域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域象限的区域 设区域设区域 关于关于x轴、轴、y轴均对称轴均对称,函数函数f(x,y)在在D上可积，则上可积，则36现在学习的是第36页，共42页37若若D为为 此式的此式的几何意义几何意义是是:中心在原点的上半球的体积等中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的于它在

11、第一卦限内的体积的4倍倍.0D1为为 x0,y 0,则则37现在学习的是第37页，共42页为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,D1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A38现在学习的是第38页，共42页D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=I2=而而 I1=D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数39现在学习的是第39页，共42页而而 I2 =是是关于关于x的偶函数的偶函数,关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 D1D2D3D440现在学习的是第40页，共42页例例计算计算 分析分析从被积函数看从被积函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.却又以用直角坐标系却又以用直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系此题用直角坐标系.41现在学习的是第41页，共42页42现在学习的是第42页，共42页