复数及其运算.pptx

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1、1对对 象象复变函数、积分变换、场论主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、积分变换、场论。复数与复变函数、解析函数、第1页/共73页2复变函数的应用背景复变函数的应用背景 世界著名数学家世界著名数学家 M.KlineM.Kline指出：指出：1919世纪最独特的创造是复变函数理论。世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了象微积分的直接扩展统治了1818世纪世纪那样，该数学分支几乎统治了那样，该数学分支几乎统治了1919世纪。世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，它曾被称为这个世纪的数学享受，

2、也曾作为抽象科学中最和谐的理论。也曾作为抽象科学中最和谐的理论。第2页/共73页316世纪，解代数方程时引入复数17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。20世纪19181716第3页/共73页4空气动力学流体力学电学热学复变函数论复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物

3、理等领域有重要应用。理论物理等领域有重要应用。复变函数论第4页/共73页5第5页/共73页64）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。第6页/共73页77）Laurent级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。第7页/共73页810）Laplace变换应用于控制问题。在控制

4、问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。第8页/共73页9第一章第一章 复数和复变函数复数和复变函数1-1 复数及其运算复数及其运算1-2 复变函数复变函数第9页/共73页10一、复数的概念一、复数的概念对对虚数虚数单位单位,作如下作如下规定规定:1-1 1-1 复数及其运算复数及其运算第10页/共73页11复复 数数

5、(real part)(imaginary part)第11页/共73页12A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数的模 判断复数相等第12页/共73页13例例1 1解解求求 设设第13页/共73页14定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)四则运算四则运算二、代数运算二、代数运算第14页/共73页15z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1

6、z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，第15页/共73页16共轭复数的性质定义 若z=x+iy,称 z=x-iy 为z 的共轭复数.(conjugate)共轭复数共轭复数第16页/共73页17例例 2 2解解第17页/共73页18三、三、复数的表示方法复数的表示方法点表示点表示第18页/共73页19A 数数z z与点与点z z同义同义.第19页/共73页20显然成立：向量表示向量表示第20页/共73页21复数和与差的模的性质共轭复数的几何性质第21页/共73页22注意注意 1辐角不确定，没有辐角.注意注意 2复数辐角

7、的定义第22页/共73页23辐角主值的定义第23页/共73页24第24页/共73页25A 当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。A 当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。第25页/共73页26利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成三角表示三角表示第26页/共73页27利用Euler公式指数表示指数表示第27页/共73页28例例 3 3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故第28页/共73页29故第29页/共73页30例例 4 4 求下列方程所表示的曲线:解解第30页/共73页31化简后得第31页/共73页3

8、2四、扩充复平面四、扩充复平面与复球面与复球面第32页/共73页33 球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极 N N 不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极 N N 越近，它所表示的复数的模越大.第33页/共73页34 我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作 .因而,球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.第34页/共73页35包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.球面上的每一个点

9、与扩充复平面的每一个点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.第35页/共73页36 的几何解释：的几何解释：由于在复平面上没有一点能与由于在复平面上没有一点能与 相对应，所相对应，所以，只得假想在复平面上添加一个以，只得假想在复平面上添加一个“假想点假想点”（或（或“理想点理想点”）使它与）使它与 对应，我们称对应，我们称此此“假想点假想点”为无穷远点为无穷远点关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任一半平面都不包含无穷远点点，同时，任一半平面都不包含无穷远点第3

10、6页/共73页37 这里要特别注意的是，这里的记号这里要特别注意的是，这里的记号 是一个数，是一个数，而在数学分析中所见的记号而在数学分析中所见的记号 +或或 均不是数，均不是数，它们只是表示变量的一种变化状态它们只是表示变量的一种变化状态为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了引入了黎曼球面黎曼球面（或复球面）：（或复球面）：将一个球心为将一个球心为O O ，半径为，半径为1 1的球按照以下方法搁在直角坐标系的球按照以下方法搁在直角坐标系 （图（图1-51-5）中（设复平面与）中（设复平面与 坐标平面重合）坐标平面重合）,使球使球的一条直径与

11、的一条直径与 轴重合轴重合第37页/共73页38由复数的表示式和代数运算得如下关系式由复数的表示式和代数运算得如下关系式 五、五、乘积与商乘积与商第38页/共73页39即：即：定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。第39页/共73页40几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积。个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2第40页/共73页41要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.第41页/共73页42定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于

12、被除数与除 数的辐角之差。即第42页/共73页43例例 6 6解解第43页/共73页44de Moivr 公式公式定义六、六、乘幂与方根乘幂与方根乘幂第44页/共73页45例例7 7 求求 的值的值解：故有故有 因为因为第45页/共73页46可以推得:从几何上看,方根第46页/共73页47第47页/共73页48例例 8 8解解即第48页/共73页49第49页/共73页50（1）连续曲线平面曲线的复数表示:七、平面曲线七、平面曲线第50页/共73页51（2）光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为按按(分分)段光滑曲线段光滑曲线.第51页/共73

13、页52（3）Jordan曲线 除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为简单曲线.起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.简单闭曲线称为Jordan(Jordan(若当)曲线.第52页/共73页53Jordan曲线的性质 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面将复平面唯一地分成三个互不相交的点集唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界第53页/共73页54课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭第54页/共73页55若若 是简单曲线，是简单曲线，与与 是定义在区是定义在区间间a,b a,b 上连续并且有连续的导数，并且上连续并且有连续的导

14、数，并且有有 ，则称，则称 为为光滑曲线光滑曲线，由有限，由有限条光滑曲线首尾连接而成的曲线为条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑逐段光滑曲线曲线逐段光滑曲线第55页/共73页56（1）邻域注意注意八、平面点集八、平面点集与区域与区域第56页/共73页57(2)去心邻域注意：注意：第57页/共73页58(3)内点(4)开集 如果G 内每一点都是它的内点,那末称G 为开集.第58页/共73页59(5)区域 连通的开集称为区域连通的开集称为区域,即：如果平面点集即：如果平面点集 D D 满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为一个区域则称它为一个区域.D是一个开集；D D是是连通的连通的,就是

15、说就是说D D 中任何两点都可以中任何两点都可以用完全属于用完全属于D D 的一条折线连结起来的一条折线连结起来.(6)区域的边界点、边界边界点：第59页/共73页60 注意注意1：区域的边界可能是由几条曲线和一些 孤立的点所组成的.注意注意2：区域D与它的边界一起构成闭区域闭区域 D的所有边界点组成D的边界.进一步地，设 D是一个平面区域,点 P 不属于D,但 P P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区域 D 的边界点.第60页/共73页61以上基本概念的图示区域邻域边界点边界(7)有界区域和无界区域第61页/共73页62(1)圆环域:课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界?(2)上半平面

16、:(3)角形域:(4)带形域:答案答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.第62页/共73页63例例 设点集设点集 则点则点 是是 的内点；的内点；是是 的边界点；的边界点；是是 的外点；的外点；是开集且为有界集；是开集且为有界集；，是闭集且为有界集是闭集且为有界集即即 常称为单位圆常称为单位圆 这里的这里的 第63页/共73页64定义定义:若点集若点集D D为区域则称为区域则称D D 连同其边界连同其边界 所组成的点集称为所组成的点集称为闭域闭域。如果区域如果区域 D D 是有界集合，则称它为是有界集合，则称它为有界有界域域，否则为，否则为无界域无界域。第64页/共73页65(8)单连通域与

17、多连通域的定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域G G,如果在其中任作如果在其中任作一条简单闭曲线一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于G G,就就称为称为单连通单连通区域区域.一个区域如果不是单连通一个区域如果不是单连通域域,就称为就称为多连通多连通区域区域.单连通域多连通域第65页/共73页66 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成必将复平面唯一地分成 三个点集，使它们满足：三个点集，使它们满足：（1 1）彼此不相交；）彼此不相交；（2 2）是有界区域（称为曲线是有界区域（称为曲线 的的内部内部）；）；（3 3）是无界区域（称为曲线是无界区域（称为曲

18、线 的的外部外部）；）；（4 4）C C 既是既是 的边界又是的边界又是 的边界；的边界；3.3.单连域和多连域单连域和多连域外部第66页/共73页67例例设设 ，E表示上半平面由定义得知，由定义得知，是单连通区域是单连通区域D表示环D D 是多连通区域是多连通区域第67页/共73页683 例题例题例例 1 1 指出下列不等式所确定的点集,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域(如图).第68页/共73页69是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.第69页/共73页70表示到1,1的距离之和为定值 4 的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.第70页/共73页71有界集.但不是区域.第71页/共73页72例例 2 2解解 满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.第72页/共73页73感谢您的欣赏第73页/共73页