电磁场和波边值问题解法.ppt

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1、关于电磁场与波边关于电磁场与波边值问题的解法值问题的解法第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 3.13.1边值问题的提法边值问题的提法(分类分类)u3.1.13.1.1边值问题的分类边值问题的分类 n1 1 狄利克雷问题狄利克雷问题：给定整个场域边界面：给定整个场域边界面S S上各点电位的上各点电位的（函数）值（函数）值n2 2 聂曼问题聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值：给定待求位函数在边界面上的法向导数值 n3 3 混合边值问题混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合的线性组合 另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，

2、则有自另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件然边界条件若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。电位或另一部分导体表面的电荷量。第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3.1.2 3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1 1 泊松方程泊松方程(Poissons Equation)在线性、在线性、各向同性、各向同性、均匀的电介质中，均匀的电介质中，称称之之为为静静电电场场的的泊泊松松方方程程，它它表表示示求求解解区区域域的的电电位位分分布布取取决决于当地的电荷分

3、布。于当地的电荷分布。2 2 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplaces Equation)电电荷荷分分布布在在导导体体表表面面的的静静电电场场问问题题，在在感感兴兴趣趣的的区区域域内内多多数数点点的的体体电电荷荷密密度度等等于于零零，即即V=0，因因而而有有 2=0 称称为为拉拉普拉斯方程普拉斯方程。第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和和 ，如图所，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。外导体接地。求其

4、间各点的电位和电场强度。解解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系圆柱坐标系积分积分由边界条件由边界条件则：则：第四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3.2 唯一性定理唯一性定理1 定理内容定理内容 在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性静电场的唯一性定理定理。2 证明过程证明过程 利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉利用反证法来证明在第一类边界

5、条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。斯方程的解是唯一的。设设在在给给定定边边界界上上的的电电位位时时，拉拉普普拉拉斯斯方方程程有有1和和2两两个个解解，由由于于拉拉普普拉拉斯斯方方程程是是线线性性的的，两两个个解解的的差差=1-2也满足方程也满足方程第五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月考虑一个由表面边界考虑一个由表面边界S包围的体积包围的体积V，由格林第一定理，由格林第一定理令令得得及其法向及其法向导数在数在边界界S上的上的值为零零因为因为 又因为边界条件，得常数又因为边界条件，得常数=0在闭合曲面在闭合曲面S上，上，1和和2都满足给定的边界条件，即都满足给定的边界条件，即或或第六张，

6、PPT共三十八页，创作于2022年6月3.1.3 3.1.3 静电场边界值问题的间接解法静电场边界值问题的间接解法唯一性定理唯一性定理边值问题边值问题数值法数值法解析法解析法分离变量法分离变量法镜像法镜像法有限差分法有限差分法第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3.3 镜像法镜像法n理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。n镜像镜像：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置一个或多个虚设的等效电荷来代替导体表面上感应一个或多个虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，此虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像。电

7、荷的作用，此虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像。n这种求解方法称为这种求解方法称为镜像法镜像法。n原电荷与镜像电荷共同作用在边界上保持边界条件不原电荷与镜像电荷共同作用在边界上保持边界条件不变。变。第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 待求场域：待求场域：上半上半空间空间 边界：边界：无限大导体平面无限大导体平面 边界条件：边界条件：1.1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 导体平面导体平面导体平面导体平面在空间的电位为点电荷在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷和镜像电荷-q 所产生的电位叠加，即所产生的电位叠加，即电位满足边界条件电位满足边界条件导体平面边

8、界上：导体平面边界上：第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月上半空间的电场强度：上半空间的电场强度：电位：电位：第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月导体表面感应电荷导体表面感应电荷 1.导体表面上感应电荷总量导体表面上感应电荷总量 2.导体表面上感应电荷对点电荷的作用力导体表面上感应电荷对点电荷的作用力第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月2 2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得据点电荷对无限大接地导体平面

9、的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为电荷，其电荷密度为沿沿 轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方zyy其镜像电荷仍是无限长线电荷其镜像电荷仍是无限长线电荷第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月在在 的上半空间中，电位函数为的上半空间中，电位函数为yz1.上半空间的电场上半空间的电场2.待求场域待求场域 中的电位中的电位y第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3 3 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像点电荷对半无限大接地导体角域

10、的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为为 ，而，而 为为 整数整数 时，该角域中的点时，该角域中的点电荷将有个电荷将有个 个镜像电荷，该角域中的场可以用镜个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。像法求解。当当n=4时：时：该角域外有该角域外有3个镜像电荷个镜像电荷q1、q2和和q3，位置如图所示。，位置如图所示。其中其中第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月u当当n=6时：时：u角域外有角域外有5 5个镜像电荷，个镜像电荷，大小和位置如图所示。所大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替有镜像电荷都正、负交替地

11、分布在同一个圆周上，地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点点，半径为点电荷到顶点的距离。的距离。un不不为整数整数时，镜像像电荷将有无数个，荷将有无数个，镜像法像法就不再适用了；当角域就不再适用了；当角域夹角角为钝角角时，镜像法像法亦不适用。亦不适用。q/3/3q第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月4.4.点电荷对导体球面的镜像点电荷对导体球面的镜像u设一点电荷设一点电荷q位于半径位于半径 a 为的为的接地导体球接地导体球附近，与球心的距离为附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为，如图所示。待求场域为r a区域，边界条件为导体

12、球面上电位区域，边界条件为导体球面上电位为零。为零。设想在待求场域之外有一镜像电荷设想在待求场域之外有一镜像电荷q，位置如图所示。根据镜，位置如图所示。根据镜像法原理，像法原理，q 和和 q在球面上的电位为零。在球面上的电位为零。第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月点点电电荷荷与与接接地地导导体体球球周周围围的的电电场场aa第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月在球面上任取一点在球面上任取一点c，则，则空间任意点空间任意点 的电位：的电位：第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月导体球不接地：导体球不接地：a a第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月u导

13、体球不接地导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q q=q q 球外任一点电位：球外任一点电位：球面上任一点电位：球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的条件，为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷镜像电荷q应应位于球心处位于球心处。第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例3 3：有一接地导体球壳，内外半径分别为有一接地导体球壳，内外半径分别为a1 1和和a2 2，在球壳内外各，在球壳内外各 有一点电荷有一点电荷q q1 1

14、和和q q2 2 ，与球心距离分别为，与球心距离分别为d d1 1和和d d2 2 ，如图所示。，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。u球壳外：球壳外：边界为边界为r r=a2 2的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为球壳外区域任一点电位为 解：解：第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月u球壳内：球壳内：边界为边界为r r=a1 1的导体球面，边的导体球面，边界条件为界条件为1.1.根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面

15、镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为2.2.球壳内区域任一点电位为球壳内区域任一点电位为 u球壳中：球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。用镜像法解题时，一定要注意用镜像法解题时，一定要注意待求区域待求区域及其及其边界条件边界条件，对边界以外的情，对边界以外的情况不予考虑。况不予考虑。第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月5 5 线电荷对导体圆柱面的镜像线电荷对导体圆柱面的镜像u待求区域：待求区域：u边界条件：柱面上电位为零边界条件：柱面上电位为零设想镜像线电荷设想镜像线电荷 位于对称面位于对

16、称面上，且与圆柱轴线距离为上，且与圆柱轴线距离为b b，则，则导体柱面外任一点的电位表示导体柱面外任一点的电位表示为（分别以为（分别以、处为坐标系中心）处为坐标系中心）无限长接地导体圆柱的半径为无限长接地导体圆柱的半径为a，在距离轴线为，在距离轴线为d（da）处）处有一无限长线电荷与圆柱平行，计算空间各部分的电位。有一无限长线电荷与圆柱平行，计算空间各部分的电位。第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月对任意对任意成立，成立，第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月两两平平行行线线电电荷荷的的电电位位分分布布第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月四、分离变量法四

17、、分离变量法u理论基础理论基础u惟一性定理惟一性定理u分离变量法的分离变量法的主要步骤主要步骤根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。解。第二十六张，PPT共三十八

18、页，创作于2022年6月1.1.直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法u本征方程的求解本征方程的求解(1)(1)当当 时时u本征函数本征函数u本征方程本征方程u本征值本征值第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月(2)(2)当当 时，设时，设或或由由本征方程为：本征方程为：则：则：第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月(3)(3)当当 时，设时，设由由本征方程为：本征方程为：或或则：则：第二十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月u应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解通

19、解n三种解的特点：三种解的特点：1.1.第一种解中，第一种解中，X(x)和和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；点；2.2.第二种解中，第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，为双曲函数，最多只有一个零点；最多只有一个零点；3.3.第三种解中，第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函为三角函数，有多个零点。数，有多个零点。第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月解解:选选直直角角坐坐标标系系，电电位位函函数数满满足足二二维拉普拉

20、斯方程维拉普拉斯方程 边界条件：边界条件：例例：一一接接地地金金属属槽槽如如图图所所示示，其其侧侧壁壁和和底底壁壁电电位位均均为为零零，顶顶盖盖与侧壁绝缘，其电位为与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。，求槽内电位分布。第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月设设 ，代入式，代入式(1)(1)中得中得:根据边界条件根据边界条件(2)与与(3)可知，函数可知，函数X(x)沿沿x方向有方向有两个零点两个零点，因此因此X(x)应为应为三角函数三角函数形式，又因为形式，又因为X(0)=0，所以，所以X(x)应选取应选取正弦正弦函数，即函数，即由边界条件由边界条件(3)得：得：第三十二张，

21、PPT共三十八页，创作于2022年6月对应的对应的Y(y)函数为双曲函数，且函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是，于是Y(y)的形式为的形式为此时，电位可表示为此时，电位可表示为由边界条件由边界条件(5)(5)知知 第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月对上式两边同乘以对上式两边同乘以 ，再对，再对x从从0到到a进行积分，即进行积分，即第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月满足边界条件的特解为：满足边界条件的特解为：第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3.5 有限差分法有限差分法原理：把求解区域划分为网格，把区域内连续的场分布用离散的原理：把求解区域划分为网格，把区域内连续的场分布用离散的数值解代替。数值解代替。第三十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月要求要求掌握边值问题的概念，了解边值问题的分类掌握边值问题的概念，了解边值问题的分类掌握泊松方程、拉普拉斯方程掌握泊松方程、拉普拉斯方程理解唯一性定理理解唯一性定理理解镜像法原理，熟悉典型的像电荷分布理解镜像法原理，熟悉典型的像电荷分布理解分离变量法原理，熟悉分离变量法求解步骤理解分离变量法原理，熟悉分离变量法求解步骤了解有限差分法了解有限差分法第三十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月