可测函数的收敛性精选PPT.ppt

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1、关于可测函数的收敛性第1页，讲稿共17张，创作于星期日函数列的几种收敛定义函数列的几种收敛定义一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛:记作第2页，讲稿共17张，创作于星期日1-例：函数列fn(x)=xn ,n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn第3页，讲稿共17张，创作于星期日几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作 (almost everywhere(almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在

2、留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)第4页，讲稿共17张，创作于星期日依测度收敛依测度收敛:记作记作注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何第5页，讲稿共17张，创作于星期日不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛第6页，讲稿共17张，创作于星期日几种收敛的区别几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1 1

3、）处处收敛但不依测度收敛）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外f fn n 不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于1 1第7页，讲稿共17张，创作于星期日f fn n不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于f f几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （）适当小小第8页，讲稿共17张，创作于星期日fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n第9页，讲稿共17

4、张，创作于星期日（2 2）依测度收敛但处处不收敛）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8第10页，讲稿共17张，创作于星期日依测度收敛但处处不收敛依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1,n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1,fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；第11页，讲稿共17张，创作于星期日例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去

5、掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（收敛的联系（叶果洛夫定理的引入叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn第12页，讲稿共17张，创作于星期日三种收敛的联系三种收敛的联系即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛第13页，讲稿共17张，创作于星期日第14页，讲稿共17张，创作于星期日引理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn，f在E上处处有限，从而有：关于N单调减小第15页，讲稿共17张，创作于星期日几乎处处收敛与依测度收敛几乎处处收敛与依测度收敛（LebesgueLebesgue定理）定理）设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，第16页，讲稿共17张，创作于星期日2023/4/10感感谢谢大大家家观观看看第17页，讲稿共17张，创作于星期日