线性代数行列式的概念和性质课件.ppt

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1、关于线性代数行列式的概念和性质现在学习的是第1页，共32页3.1 行列式的概念和性质行列式的概念和性质3.2 行列式值的计算行列式值的计算3.3 若干应用若干应用(逆阵公式、克拉默法则等逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容重点内容 行列式的计算行列式的计算现在学习的是第2页，共32页1、概念概念2、性质性质3.1 行列式的概念和性质行列式的概念和性质现在学习的是第3页，共32页一、一、概念概念 对任一对任一n阶矩阵阶矩阵用式子用式子或用大写字母或用大写字母 D 表示表示,常把上述表达式称常把上述表达式称为为 A 的的行列式行列式(determinant),记作记作det A 表示一个

2、与表示一个与 A 相联系的数，相联系的数，而把相联系的那个数称为而把相联系的那个数称为行列式的值行列式的值.今后，称上述具有今后，称上述具有n 行行n 列的表达式为列的表达式为n 阶行列式阶行列式.现在学习的是第4页，共32页定义定义把删去把删去第第i 行及第行及第j 列列后所得的后所得的(n1)阶子矩阵阶子矩阵称为对应于元称为对应于元 aij 的的余子矩阵余子矩阵，并以，并以Sij 记之记之.对一对一n阶矩阵阶矩阵对对 n=2,3,用以下公式递归地定义用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：阶行列式之值：def定义定义 一阶矩阵一阶矩阵 a11 的行列式之值定义为数的行列式之值定义为数a11

3、，即，即det a11 defa11现在学习的是第5页，共32页例例 设设def，计算该行列式的值，计算该行列式的值解解 因有因有 S11=a22,S12=a21,故故+现在学习的是第6页，共32页例例 设设,计算计算 det A 的值的值.解解def现在学习的是第7页，共32页若写出计算若写出计算3 阶行列式值阶行列式值的公式为的公式为现在学习的是第8页，共32页以下表的形式记以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式阶行列式值的计算公式 说明说明 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个不同列的三个元素的乘积元素的乘积,其中三项为正其中三项

4、为正,三项为负三项为负.结论结论 n 阶行列式阶行列式的值是的值是 n！个不同项的代数和个不同项的代数和，其中的每一项其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积个元之乘积.现在学习的是第9页，共32页定义定义 对对 n 阶行列式阶行列式 det A，称称det Sij 为元为元 aij 的的余子式余子式 ,称称为元为元 aij 的的代数余子式代数余子式.例如例如现在学习的是第10页，共32页根据该定义，可重新表达行列式的值根据该定义，可重新表达行列式的值def其中其中 A1k 是元是元 a1k 对对A 或或 det A 的代数余子式的代数余子式.相当

5、于把行列式按第一行展开注注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式式.现在学习的是第11页，共32页性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行列式中行与列具有同等的地位行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行成立的对列也同样成立.2、性质性质定理定理 对对n 阶矩阵阶矩阵 A，有，有 行列式的值也可按第1列展开计算.现在学习的是第12页，共32页例如例如推论推论 若行列式有两行若行列式有两行(列列)完全完全相同，相同，则此行列式为零则

6、此行列式为零.性质性质2 2 互换互换行列式的两行行列式的两行(列列),),行列式值反号行列式值反号.性质性质3 3 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同一数中所有的元素都乘以同一数k,等于等于用数用数 k 乘此行列式乘此行列式.现在学习的是第13页，共32页请问若给请问若给n阶阶行列式的每一个元素都乘以同一数行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用，等于用 乘以此行列式乘以此行列式.推论推论 对对 n 阶矩阵阶矩阵A，有有 推论推论 行列式中若有两行行列式中若有两行(列列)元素元素成比例成比例,则此行列式为零则此行列式为零证证现在学习的是第14页，共32页推论推论一行一行

7、(或列或列)元素元素全为全为0的行列式值等于零的行列式值等于零性质性质4 4 若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和的元素都是两数之和 则则 D 等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和 例如例如现在学习的是第15页，共32页性质性质5 5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)元素的元素的k倍加倍加到另一列到另一列(行行)对应的元素上去，行列式的值不变对应的元素上去，行列式的值不变例如例如 行列式等值变形法则现在学习的是第16页，共32页定理定理 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的的各元素与其对应的代数余子式乘积之和代数余子式乘积之和,

8、即即或表达为或表达为若行列式按列展开，有若行列式按列展开，有定理定理 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的代数的对应元素的代数余子式乘积之和等于零余子式乘积之和等于零,即即行列式的展开定理现在学习的是第17页，共32页证证将行列式按第将行列式按第 i 行展开行展开,有有如果将行列式中的如果将行列式中的aij换成换成akj，那么自然有，那么自然有现在学习的是第18页，共32页行列式含有两行列式含有两个相个相同的行同的行,值为值为 0.综上所述综上所述,得公式得公式现在学习的是第19页，共32页注注 在计算数字行列式时在计算数字行列式时,直接应用行列式展

9、开公式并不一定直接应用行列式展开公式并不一定简化计算简化计算,因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个(n1)阶行列式的计阶行列式的计算并不减少计算量算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有只是在行列式中某一行或某一列含有较多较多的零的零时时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的重要的 利用行列式按行按列展开定理利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质并结合行列式性质,可可简化行列式计算：简化行列式计算：方法方法 计算行列式时计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行可先用行列式的性质将某一行(列列)化为仅含化为仅含

10、1 1个非零元素个非零元素,再按此行再按此行(列列)展开展开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式,如此继续如此继续下去下去,直到化为三阶或二阶行列式直到化为三阶或二阶行列式.现在学习的是第20页，共32页例例 计算行列式计算行列式解解 现在学习的是第21页，共32页定理定理 设设 L 是有如下分块形式的是有如下分块形式的(n+p)阶矩阵阶矩阵其中其中 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵，B 是是 p 阶矩阵，则有阶矩阵，则有在在 A、B 是方阵时也成立是方阵时也成立定理定理 若若A、B是两个同阶矩阵，则是两个同阶矩阵，则注意注意 公式公式中中C C 的元之具体值对结果无影响的元之具体值对结果无影响

11、.现在学习的是第22页，共32页例例 设设 证明证明 现在学习的是第23页，共32页证明证明 对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为现在学习的是第24页，共32页证明：证明：对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，则，则现在学习的是第25页，共32页对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 对对 D 的后的后 n 列作运算列作运算 ，则，则现在学习的是第26页，共32页对对 D 的前的

12、前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故现在学习的是第27页，共32页例：例：设设 ,D的的(i,j)元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 Mij 和和Aij，求，求分析：分析：利用利用及及现在学习的是第28页，共32页解：解：现在学习的是第29页，共32页例：例：设设 ,D的的(i,j)元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 Mij 和和Aij，求，求分析：分析：利用利用及及现在学习的是第30页，共32页现在学习的是第31页，共32页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第32页，共32页