第-三-章--控制系统的时间响应分析fdm.pptx

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1、第三章第三章 控制系统的时间响应分析控制系统的时间响应分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言引言一阶系统时域分析一阶系统时域分析二阶系统时域分析二阶系统时域分析3.13.1时域分析的提法时域分析的提法时域分析的提法时域分析的提法3.1.1时域分析的基本思想时域分析的基本思想 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。3.1.2系统的时域响应系统的时域响应 通常人们关

2、心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间）随时间的变化规律，我们称其为系统的的变化规律，我们称其为系统的“时域响应时域响应”。系统的时域响应由两部分组成：瞬态响应瞬态响应和稳态响应稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡过程。过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态

3、性能指标描述，它反映了系统的品质。稳态响应是指当时间稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了系统的精度。系统的精度。3.13.1时域分析的提法时域分析的提法时域分析的提法时域分析的提法系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储储能元件能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前逐渐趋近于稳态响应的变化过程。逐渐趋近于稳态响应的变化过程。值得指出的是，通常人们只

4、讨论稳定系统的时域响值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运动状况对系统的运动性能进行分析。动状况对系统的运动性能进行分析。3.2时间响应及其组成时间响应及其组成（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的影响分析）。影响分析）。（讲解）（讲解）3.3 3.3 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制系统性能进行分析的基础。这种基

5、础可以这样来实现：预系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入分输入分为为确定性信号确定性信号和和非确定性信号非确定性信号)。n许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号的响应特性之间存在一定的关系，所以采用典型输入信号的响应特性之间存在一

6、定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：n常用的典型输入信号有下面几种：常用的典型输入信号有下面几种：1)1)反反 映映 最最 恶恶 劣劣 的的 工工 作作 情情 况况；2)2)反反 映映 实实 际际 的的 工工 作作 情情 况况；3)3)在数学上和实验中比较容易得到。在数学上和实验中比较容易得到。3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号1脉冲函数脉冲函数脉冲函数的定义为脉冲函数的定义为（3.3.1）其中，其中，A为脉冲函数的阶跃值，为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为的阶跃函数称为单位阶跃函数，是狄

7、拉克函数，它的定义为单位阶跃函数，是狄拉克函数，它的定义为（3.3.2）工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3.1所示，实际的单位脉冲所示，实际的单位脉冲的数学关系为的数学关系为（3.3.3）3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号其中其中,显然，当显然，当时，实际脉冲时，实际脉冲的极限即为理想脉冲的极限即为理想脉冲。r(t)t图3.1实际单位脉冲函数 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为1，即，即L2阶跃函数阶跃函数阶跃函数的定义为阶跃函数的定义为（3.3.4）其其中中，A为为阶阶跃跃函函

8、数数的的阶阶跃跃值值（见见图图3.2）。A1的的阶阶跃函数为单位阶跃函数，记为跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为，其一次微分为图3.2阶跃函数 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为3斜坡函数（或速度阶跃函数）斜坡函数（或速度阶跃函数）斜坡函数的定义为斜坡函数的定义为（3.3.5）其其中中，B为为速速度度阶阶跃跃值值（见见图图3.3）。B1的的斜斜坡坡函函数数为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。图图3.3斜坡函数斜坡函数 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号单位斜坡函数的拉氏变换

9、为单位斜坡函数的拉氏变换为4抛物线函数（或加速度阶跃函数）抛物线函数（或加速度阶跃函数）抛物线函数的定义为抛物线函数的定义为（3.3.6）其其中中，C为为加加速速度度阶阶跃跃值值（见见图图3.4），C1的的抛抛物物线线函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。图图3.4抛物线函数抛物线函数 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号单位抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为5正弦函数正弦函数正弦函数的定义为正弦函数的定义为（3.3.7）其中，其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。）。A1的

10、正弦函数为单位正弦函数。的正弦函数为单位正弦函数。图图3.5正弦函数正弦函数 3.3 3.3 典型输入信号典型输入信号单位正弦函数的拉氏变换为单位正弦函数的拉氏变换为通通常常，我我们们用用单单位位阶阶跃跃函函数数作作为为典典型型输输入入信信号号，则则可可以以在在一一个个统统一一的的基基础础上上对对各各种种系系统统的的特特性性进进行行比比较较和和研研究。究。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析对对于于任任何何一一个个控控制制系系统统，如如果果其其数数学学模模型型及及初初始始条条件件、外外界界输输入入给给定定，我我们们总总可可以以通通过过求求

11、出出其其时时域域响响应应表表达达式式来来对对其其瞬瞬态态响响应应特特性性和和稳稳态态响响应应特特性性进进行行分分析析。粗粗略略地地说说，在在控控制制系系统统的的全全部部响响应应过过程程里里，系系统统的的瞬瞬态态性性能能表表现现在在过过渡渡过过程程完完结结之之前前的的响响应应中中。系系统统性性能能的的分分析析，又又以以准准确确的的定定量量方方式式来来描描述述而而被被称称为为系系统统的的性性能能指指标标。在在系系统统分分析析中中，无无论论是是本本章章介介绍绍的的时时域域分分析析法法，还还是是后后面面各各章章的的其其它它系系统统分分析析方方法法，都都是是紧紧密密地地围围绕绕系系统统的的性性能能指标来

12、分析控制系统的。指标来分析控制系统的。需需要要指指出出的的是是，只只有有稳稳定定系系统统，对对于于其其瞬瞬态态特特性性和和稳稳态特性的研究才是有意义的。态特性的研究才是有意义的。本本节节将将讨讨论论控控制制系系统统的的瞬瞬能能性性能能分分析析，下下一一节节介介绍绍稳稳态性能分析。态性能分析。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1瞬态性能指标瞬态性能指标瞬瞬态态响响应应指指的的是是一一个个控控制制系系统统在在过过渡渡过过程程中中的的状状态态和和输输出出的的行行为为。所所谓谓过过渡渡过过程程，是是指指系系统统在在外外力力的的作作用用下

13、下从从一一个个稳稳态态转转移移到到另另一一个个稳稳态态的的过过程程。下下面面我我们们着着重重分分析析零零状状态态下下，线线性性定定常常连连续续系系统统受受到到单单位位阶阶跃跃函函数数输输入入作作用用时时，输输出出响响应应的的瞬瞬态态性性能能指指标标。在在控控制制系系统统中中，把把阶阶跃跃信信号号当当作作对对系系统统性性能能考考验验最最为为严严重重的的输输入入信信号号。若若系系统统对对该该类类输输入入信信号号的的响响应应良良好好，则则该该系系统统对对其其它它信信号号的的响响应应一一般般也也是是良良好好的的。为为了了定定量量地地说说明明控控制制系系统统对对单单位位阶阶跃跃输输入入信信号号的的瞬瞬态

14、态响响应应特特性性，通通常常采采用用一一些些瞬瞬态态性性能指标。能指标。一一个个稳稳定定的的线线性性定定常常连连续续系系统统对对单单位位阶阶跃跃函函数数的的响响应应通通常常有有衰衰减减振振荡荡和和单单调调变变化化两两种种类类型型。具具有有衰衰减减振振荡荡的的瞬态过程如图瞬态过程如图3.11所示。所示。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析图图3.11具有衰减振荡的单位阶跃响应具有衰减振荡的单位阶跃响应根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，0t超超调调量量允允许许误误差

15、差10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或或0.05 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析延迟时间延迟时间td（DelayTime）：v响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间上升时间tr（RisingTime）:v响应曲线从稳态值的响应曲线从稳态值的10%上升到上升到90%，所需的时间，所需的时间(对于无振荡系统对于无振荡系统)。上升时间越短，响应速度越快。上升时间越短，响应速度越快。对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到

16、稳态值所需的时间。值所需的时间。峰值时间峰值时间tp（PeakTime）：）：v响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析调节调节时间时间ts（SettlingTime）：v响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或或2%）作为误差范围作为误差范围;超调量超调量Mp或或%（MaximumOvershoot）：v超出稳态值（为超出稳态值（为1）的

17、最大偏离量）的最大偏离量Mp稳态误差稳态误差ess：v期望值与实际值之差。期望值与实际值之差。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析或或评评价系价系统统的响的响应应速度；速度；同同时时反映响反映响应应速度和阻尼程度的速度和阻尼程度的综综合性指合性指标标，从整体，从整体上反映系统的快速性上反映系统的快速性。直接反映了系统的相对稳定性。直接反映了系统的相对稳定性。稳定性能指标和抗干扰能力稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。越小，系统精度越。ess 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分

18、析 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.1一阶系统瞬态性能分析一阶系统瞬态性能分析典典型型一一阶阶系系统统的的结结构构如如图图3.12（a）所所示示。在在物物理理上上，这这个个系系统统可可以表示一个以表示一个RC电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为（3.4.1）其其中中，称称为为系系统统的的时时间间常常数数，K为为系系统统的的极极点点值值。凡凡是是具具有有（3.4.1）式式形形式式传传递递函函数数的的系系统统为为一一阶阶惯惯性性系系统统，它它在在S平平面面上上的的极极点点分分

19、布布为为如如图图3.12（b）所示。所示。一阶系统的一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应可由下式求出可由下式求出（3.4.2）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析图图3.12（c）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。(a)(b)(c)图图3.12一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析根根据据响响应

20、应曲曲线线，我我们们可可以以得得到到一一阶阶系系统统可可以以实实现现的的瞬瞬态态性性能能指指标标以及定量描述。以及定量描述。首先分析快速性。首先分析快速性。描描述述系系统统的的快快速速性性使使用用的的是是时时间间指指标标。因因为为一一阶阶系系统统的的运运动动是是单单调调的的，只只考考虑虑调调节节时时间间ts 即即可可。一一阶阶系系统统只只有有一一个个系系统统参参数数T，即即系系统统时时间间常常数数。当当以以时时间间常常数数T为为参参变变量量来来考考查查系系统统的的运运动动时时，由由图图3.12(c)，可以得到下列结论：，可以得到下列结论：（3.4.3）另另外外，我我们们还还可可以以根根据据时时

21、间间常常数数T去去度度量量系系统统输输出出的的数数值值。例例如如,t=T时时，而而当当t分分别别等等于于2T、3T、4T时时，数数值值将将分分别别达达到到稳稳态态值值的的86.5，95和和98。根根据据这这一一特特点点，可可以以用用实实验验方方法法测测定定一一阶阶系系统统的的时时间间常常数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析其次分析平稳性。其次分析平稳性。平平稳稳性性的的指指标标为为超超调调量量。因因为为一一阶阶系系统统是是没没有有超超调调量量的的，因因此此认为其平

22、稳性是好的。认为其平稳性是好的。最后来看准确性。最后来看准确性。由由于于时时间间趋趋于于无无穷穷大大时时，输输出出响响应应可可以以趋趋于于稳稳态态值值。虽虽然然在在理理论论是是永永远远达达不不到到的的，但但是是在在给给定定了了允允许许误误差差范范围围后后，即即认认为为过过了了调调节节时时间间ts 之之后后，系系统统就就进进入入了了稳稳态态，所所以以一一阶阶系系统统的的准准确确性性也也是是可可以以满足的。满足的。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析一阶系统的一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能

23、分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析一阶系统的一阶系统的单位斜坡（速度）响应单位斜坡（速度）响应 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析一阶系统的一阶系统的单位加速度响应单位加速度响应闭环传递闭环传递函数函数输入信号输入信号时域时域输出响应输出响应ess01(t)0tT无穷大无穷大等价关系：等价关系：1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导；应的导；2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应

24、的积分。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.2典型二阶系统瞬态性能分析典型二阶系统瞬态性能分析二二阶阶系系统统的的研研究究具具有有重重要要意意义义，它它不不仅仅在在工工程程实实际际中中比比较较常常见见，而而且且许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下也也可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统。二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应有有振振荡荡和和非非振振荡荡两两种种情情况况，可可以以满满足足不不同同系系统统的的要要求求

25、。此此外外，工工程程上上还还采采用用所所谓谓二二阶阶系系统统的的最最佳佳工工程程参参数数作作为为设设计计系系统统的的依依据。据。一、典型二阶系统的传递函数一、典型二阶系统的传递函数设有一随动系统如图设有一随动系统如图3.15所示，其闭环传递函数为所示，其闭环传递函数为图图3.15随动系统方块图随动系统方块图 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.2典型二阶系统瞬态性能分析典型二阶系统瞬态性能分析（3.4.4）其中，其中，K 为系统的开环增益，为系统的开环增益，T 为执行电动机的时间常数。为执行电动机的时间常数。由（由（3.4.4

26、）式可以求得系统的运动方程）式可以求得系统的运动方程（3.4.5）控制系统的输出信号与输入信号之间的关系，凡可用如（控制系统的输出信号与输入信号之间的关系，凡可用如（3.4.5）式）式的二阶微分方程描述的，均称为二阶系统。上述随动系统就是一个二的二阶微分方程描述的，均称为二阶系统。上述随动系统就是一个二阶系统。阶系统。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.2典型二阶系统瞬态性能分析典型二阶系统瞬态性能分析为了分析方便，常常把二阶系统的闭环传递函数写成标准形式，即为了分析方便，常常把二阶系统的闭环传递函数写成标准形式，即(3.4.

27、6)其中其中自然自然频频率（或无阻尼振率（或无阻尼振荡频荡频率）率）阻尼比（相阻尼比（相对对阻尼系数）阻尼系数）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.2典型二阶系统瞬态性能分析典型二阶系统瞬态性能分析通常把（通常把（3.4.6）式称为典型二阶系统的传递函数。将上述随动系统的）式称为典型二阶系统的传递函数。将上述随动系统的闭环传递函数化为标准形式，即有闭环传递函数化为标准形式，即有其中其中 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析3.4.1.2典型二阶系统瞬态性能分析典型二阶系统

28、瞬态性能分析此时图此时图3.15可以变换为图可以变换为图3.16。这样，二阶系统的的过渡过程，就可以。这样，二阶系统的的过渡过程，就可以用用 n和和 这两个参数来加以描述。这两个参数来加以描述。图3.16典型二阶系统方块图图图二二阶阶系系统统极极点点分分布布左左半半平平面面001=1两两个个相相等等根根jn=0d=njn=0j右右半半平平面面1两两个个不不等等根根0特征方程：特征方程：特征根：特征根：3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析从而解得两个特征根（即从而解得两个特征根（即闭环极点）为：闭环极点）为：（3.4.10）3.43.4控制

29、系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析（3.4.10）式表明，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不相）式表明，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不相同。下面逐一加以说明。同。下面逐一加以说明。1、欠阻尼（欠阻尼（01）当当01时，两个特征根为时，两个特征根为是一对共轭复根，如图是一对共轭复根，如图3.17（a）所示）所示.2、临界阻尼（、临界阻尼（）当当时，特征方程有两个相同的负实根，即时，特征方程有两个相同的负实根，即此时的此时的如图如图3.17（b）所示）所示 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统

30、瞬态性能分析3、过阻尼（、过阻尼（）当当时，两个特征根为时，两个特征根为是两个不同的负实根，如图是两个不同的负实根，如图3.17（c），所示。），所示。4.无阻尼（无阻尼（）当当时，特征方程具有一对共轭纯虚根，时，特征方程具有一对共轭纯虚根，如图如图3.17（d）所示，这是欠阻尼的特殊情况。）所示，这是欠阻尼的特殊情况。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析(a)01(b)=1(c)1(d)=0图图3.17典型二阶系统的闭环极点分布典型二阶系统的闭环极点分布 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬

31、态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应由（由（3.4.6）式可求得典型二阶系统在单位阶跃信号作用下）式可求得典型二阶系统在单位阶跃信号作用下输出信号的拉氏变换，即输出信号的拉氏变换，即（3.4.10）方程：方程：的根，即：的根，即：闭环极点：闭环极点：3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应由（由（3.4.6）式可求得典型二阶系统在单位阶跃信号作用下）式可求得典型二阶系统在单位阶跃信号作用下1、欠阻尼（欠阻尼（01）在这种情况下，（在这种情况下，（3.

32、4.10）式可以展开成如下的部分分式：）式可以展开成如下的部分分式：（3.4.11）其其中中，称称为为阻阻尼尼振振荡荡频频率率。对对上上式式进进行行拉拉氏氏反反变变换换，得得 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应（3.4.12）上式还可以改写成上式还可以改写成（3.4.13）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应其中，其中，如图如图3.18所示所示.图图3.18欠欠阻

33、阻尼尼二二阶阶系系统统闭闭环环极点分布及极点分布及角的定义角的定义 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。较短的调节时间。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃

34、响应从（从（3.4.13）式可以看出，对应于）式可以看出，对应于时的动态过程时的动态过程c（t）为）为一衰减的正弦振荡曲线（见图一衰减的正弦振荡曲线（见图3.19），其衰减速度取决于），其衰减速度取决于值的大值的大小，而衰减振荡的周期为小，而衰减振荡的周期为2、无阻尼（无阻尼（）将将代入（代入（3.4.13）式，可直接得到：）式，可直接得到：（3.4.14）从上式可以看出，无阻尼（从上式可以看出，无阻尼（）时典型二阶系统的单位阶跃响应）时典型二阶系统的单位阶跃响应是等幅正弦振荡（见图是等幅正弦振荡（见图3.20）振荡频率为）振荡频率为。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系

35、统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应图图3.20无阻尼二阶系统的单位阶跃响应无阻尼二阶系统的单位阶跃响应是当无阻尼（是当无阻尼（）时二阶系统动态过程为等幅正弦振荡的）时二阶系统动态过程为等幅正弦振荡的角频率；角频率；是欠阻尼（是欠阻尼（）时二阶系统动态过程为衰减正弦振）时二阶系统动态过程为衰减正弦振荡的角频率。这就是它们分别被称为无阻尼振荡频率和阻尼振荡频率荡的角频率。这就是它们分别被称为无阻尼振荡频率和阻尼振荡频率的原因。而的原因。而，显然，显然，并且随着并且随着值的增值的增大，大，的值将减小。的值将减小。3.43.4控制系统瞬态性能

36、分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应3、临界阻尼（、临界阻尼（1）此时，（此时，（3.4.10）式可以展开成如下部分分式）式可以展开成如下部分分式（3.4.15）对上式进行拉氏反变换，得对上式进行拉氏反变换，得（3.4.16）是一条无超调的单调上升的曲线，如图是一条无超调的单调上升的曲线，如图3.21所示。所示。图图3.21临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二

37、、典型二阶系统的单位阶跃响应4、过阻尼（、过阻尼（1）这时，系统有两个不同的负实根，即这时，系统有两个不同的负实根，即于是，（于是，（3.4.10）式可以展开成如下的部分分式）式可以展开成如下的部分分式取上式的拉氏反变换，得取上式的拉氏反变换，得 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应4、过阻尼（、过阻尼（1）当当远大于远大于1时，闭环极点时，闭环极点s1将比将比s2到虚轴的距离远得多。在到虚轴的距离远得多。在（3.4.18）式的两个衰减的指数项中，包含）式的两个衰减的指数项中，包

38、含s1的项要比包含的项要比包含s2的项衰减的项衰减快得多，所以快得多，所以s1对系统过渡过程的影响，要比对系统过渡过程的影响，要比s2对系统过渡过程的影对系统过渡过程的影响小得多。因此响小得多。因此,在求取输出信号在求取输出信号c(t)的近似解时，可以忽略的近似解时，可以忽略s1对系统对系统的影响，把二阶系统近似地看成一阶系统，近似一阶系统传递函数为的影响，把二阶系统近似地看成一阶系统，近似一阶系统传递函数为:（3.4.18）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应4、过阻尼（、过阻

39、尼（1）可以得到近似一阶系统的单位阶跃响应可以得到近似一阶系统的单位阶跃响应此时二阶系统就近似与一个惯性系统，单位阶跃的瞬态响应无超调此时二阶系统就近似与一个惯性系统，单位阶跃的瞬态响应无超调，无振荡，过渡过程比临界阻尼时长。，无振荡，过渡过程比临界阻尼时长。（3.4.19）（3.4.20）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析上图中画出了对应于不同阻尼比上图中画出了对应于不同阻尼比的一簇曲线。应当指出，在图的一簇曲线。应当指出，在图3.23中，横

40、坐标不是时间中，横坐标不是时间t，而是相对时间，而是相对时间，因而曲线只是，因而曲线只是的函数。这样取标度是为了更好地反映的函数。这样取标度是为了更好地反映对系统输出响应的影响。对系统输出响应的影响。可以看出，阻尼比可以看出，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，振荡程越小，超调量越大，上升时间越短，振荡程度越加严重，度越加严重，1)当当0时时出现等幅不衰减振荡出现等幅不衰减振荡;2)当当时，动态过程具有单调上升的特性时，动态过程具有单调上升的特性;3)在欠阻尼（在欠阻尼（01)系统中，对应于系统中，对应于0.40.8的动态过程的动态过程，不仅具有比，不仅具有比1时更短的调节时间，而且振荡程度

41、也不严重。时更短的调节时间，而且振荡程度也不严重。因因此此，在在一一般般情情况况下下，希希望望二二阶阶系系统统工工作作在在 0.4 0.8的的 欠欠 阻阻 尼尼 状状 态态。因因为为在在这这种种状状态态下下系系统统将将有有一一个个振振荡荡特特性性适适度度、持持续续时时间间较较短短的的瞬瞬态态过过程程。而而对对于于有有些些不不允允许许瞬瞬态态过过程程出出现现超超调调的的情情况况（例例如如指指示示仪仪表表系系统统和和记记录录仪仪表表系系统统），则则需需要要采采用用临临界界阻阻尼尼系系统统或或过过阻阻尼尼系系统统。5、负阻尼情况（、负阻尼情况（）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控

42、制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标对对于于不不允允许许产产生生振振荡荡的的控控制制系系统统，应应工工作作在在过过阻阻尼尼状状态，它的瞬态响应指标类似一阶系统，可参考之。态，它的瞬态响应指标类似一阶系统，可参考之。对对于于大大多多控控制制系系统统通通常常允允许许有有适适度度的的振振荡荡特特性性，因因此此系系统统经经常常工工作作在在欠欠阻阻尼尼状状态态。下下面面是是二二阶阶系系统统在在欠欠阻阻尼尼状态时的瞬态响应指标。状态时的瞬态响应指标。1、上升时间、

43、上升时间tr t=tr时，时，c(t)=1。即。即 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标因为因为所以所以（k=1，2，；)3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标由上图由上图即：即：,由于为第一次达到输出稳态值的时间，所以由于为第一次达到输出稳态值的时间，所以k=1。得：。得：上升时间上升时间阻尼比一定时，要求上升时间阻尼比一定时，要求上升时间tr较短，则无阻尼自然频率较短，则无阻尼自然频率n

44、应较应较高。高。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标2、峰值时间、峰值时间t=tp时，时，c(t)=0 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标2、峰值时间、峰值时间因为峰值时间对应于第一个峰值的超调量，又因为峰值时间对应于第一个峰值的超调量，又tp0，所以：，所以：k=1得得可可见见峰峰值值时时间间tp为为阻阻尼尼振振荡荡周周期期的的Td一一半半，它它的的变变化化趋趋势势与与上上升升时间相同

45、。时间相同。3最大超调量最大超调量Mp：最大超调量发生在峰值时间：最大超调量发生在峰值时间当当有最大值有最大值 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标3最大超调量最大超调量Mp：最大超调量发生在峰值时间：最大超调量发生在峰值时间 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标3最大超调量最大超调量Mp：最大超调量发生在峰值时间：最大超调量发生在峰值时间可可见见最最大大超超调调量量只只是是阻阻尼尼比比的

46、的函函数数，与与无无阻阻尼尼自自然然频频率率无无关关，阻阻尼比越小，超调量越大，尼比越小，超调量越大，=1时，时，Mp=0。=0时，时，Mp=1。若若系系统统的的超超调调量量已已经经确确定定，则则系系统统的的阻阻尼尼比比就就可可以以被被相相应应地地计计算算出出来来，通通常常取取控控制制系系统统的的最最大大超超调调量量251.5，所所以以阻阻尼尼 比比 为为=0.4 0.8。3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标4调节时间调节时间ts根据定义，当根据定义，当tts 时，应有时，应有为了简便起见，

47、我们用为了简便起见，我们用的包络线近似地代替的包络线近似地代替作为求作为求的的第一次近似，由图第一次近似，由图可见，可见，的曲线总在一对包络线内。包络线的曲线总在一对包络线内。包络线为为 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标4调节时间调节时间ts 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标4调节时间调节时间ts 当当 t=时，有时，有用用近似表示近似表示，得，得当当较小时，可取较小时，可取作为第

48、二次近似，有作为第二次近似，有（取2）（取5）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标4调节时间调节时间ts ts与与n成反比，当成反比，当n一定时，一定时，越大越大ts越小，这一点与上越小，这一点与上升时间和最大超调时间的变化相反。升时间和最大超调时间的变化相反。5、振荡次数、振荡次数根据定义，有根据定义，有（取2）（取5）3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标是系统的阻尼振荡周期。是系统的阻

49、尼振荡周期。取取2时，时，有，有取取5时，时，有，有若已知若已知，考虑到，考虑到，即，即从而可以求得振荡次数与超调量从而可以求得振荡次数与超调量的关系为的关系为 3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标取取2时时取取5时时振荡次数振荡次数N只与阻尼比有关，只与阻尼比有关，3.43.4控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析控制系统瞬态性能分析三二阶系统的瞬态响应指标三二阶系统的瞬态响应指标6结论：结论：a)二阶系统的瞬态指标由二阶系统的瞬态指标由和和n共同决定，综合考虑它们共

50、同决定，综合考虑它们的影响来进行选择。的影响来进行选择。b)增大无阻尼自然频率增大无阻尼自然频率n，可提高系统的快速响应性能，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。而不会改变超调量。c)增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差，当允许使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差，当允许误差范围为误差范围为0.02-0.05时调整时间在时调整时间在=0.7左右时最小。因此称左右时最小。因此称=0.707为最佳阻尼比。一般综合考虑系统的稳定性和快速性为最佳阻尼比。一般综合考虑系统的稳定