预备知识高斯随机过程.ppt

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1、预备知识高斯随机过程现在学习的是第1页，共47页随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例现在学习的是第2页，共47页相关函数相关函数R（t，t+）利用随机过程基础解决通信中问题利用随机过程基础解决通信中问题随机过程随机过程(t)（噪声、信号）（噪声、信号）数学期望数学期望E(t)方差方差D(t)统计、观测、计算统计、观测、计算如果平稳如果平稳与时间起点无关与时间起点无关E(t)=mD(t)=2 R（）如果各态历经如果各态历经用时间平均代替集平均用时间平均代替集平均通信系统中所遇到的信号通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态与噪声一般都能满足各态历经条件历经条件最终求出功率谱，从而

2、获得了频率域最终求出功率谱，从而获得了频率域上的功率分布，获得其带宽、功率性上的功率分布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系统的目的能，达到了研究通信系统的目的现在学习的是第3页，共47页数字特征的计算数字特征的计算数学期望数学期望方差方差相关函数相关函数现在学习的是第4页，共47页2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声现在学习的是第5页，共47页随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例现在学习的是第6页，共47页为什

3、么研究高斯过程中心极限定理表明：中心极限定理表明：一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机变量之和，一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影响，那么，这一总和的而其中每一个对总和只发生不大的影响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。分布就近似于正态分布。高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪声，高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯过程的特分子热运动产生的热噪声等都具有高斯过程的特性。性。高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪声的高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪声的重要数学模型。重要数学模型。现在学习的

4、是第7页，共47页高斯随机过程：定义 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1,2,）分布都是正态分）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其其n维正态概率维正态概率密度函数表示如下：密度函数表示如下：现在学习的是第8页，共47页高斯随机过程：重要性质高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数学期望、个随机变量的数学期望、方方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。差和两两之间的归一化协方差函数所决定。只需要其数字特征，就可以确定高斯过程只需要其数字特征，就可以确定高斯过程对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价对高斯过

5、程：广义平稳与狭义平稳等价如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是统计独如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是统计独立的。立的。高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程现在学习的是第9页，共47页a=0，=1一维高斯分布*a=+/-2，=0.8/1.2现在学习的是第10页，共47页一维高斯分布*现在学习的是第11页，共47页一维高斯分布的数值计算在通信系统中，通常需要计算随机变量在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数的概率：大于某常数的概率：无法直接无法直接计算出计算出查查Q数值数值计算表计算表现在学习的是第12页，共47页一维高斯

6、分布的数值计算Q函数的意义函数的意义 面积面积=Q（）查查Q函数表可以求出概率函数表可以求出概率现在学习的是第13页，共47页一维高斯分布的数值计算误差函数误差函数互补误差函数互补误差函数X2时互补误差函数时互补误差函数近似表示近似表示Q函数与误差函数函数与误差函数关系关系现在学习的是第14页，共47页一维高斯分布的数值计算例例011-00-1误码率误码率1错成错成0的概率加的概率加0错成错成1的概率，的概率，已知均值、方差，查已知均值、方差，查Q表即可求出表即可求出现在学习的是第15页，共47页白噪声 信信号号在在信信道道中中传传输输时时，常常会会遇遇到到这这样样一一类类噪噪声声，它它的的功

7、功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 这这种种噪噪声声被被称称为为白白噪噪声声，它它是是一一个个理理想想的的宽宽带带随随机机过过程程。式式中中n0为为一一常常数数，单单位位是是瓦瓦/赫赫。白白噪噪声声的的自自相相关关函函数数可可借借助于下式求得，即助于下式求得，即现在学习的是第16页，共47页高斯白噪声 如如果果白白噪噪声声又又是是高高斯斯分分布布的的，我我们们就就称称之之为为高高斯斯白白噪噪声声。由由 可可以以看看出出，高高斯斯白白噪噪声声在在任任意意两两个个不不同时刻上的取值之间，是统计独立的。同时刻上的取值之间，是统计独立的。应应当当指指出出，我我们

8、们所所定定义义的的这这种种理理想想化化的的白白噪噪声声在在实实际际中中是是不不存存在在的的。但但是是，如如果果噪噪声声的的功功率率谱谱均均匀匀分分布布的的频频率率范范围围远远远远大大于于通通信信系系统统的的工工作作频频带带，我我们们就就可可以以把把它它视视为为白噪声。白噪声。现在学习的是第17页，共47页2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声现在学习的是第18页，共47页随机过程通过线性系统确知信号通过线性时不变系统时确知信号通过

9、线性时不变系统时线性时不变系统线性时不变系统现在学习的是第19页，共47页随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立线性时不变系统线性时不变系统？现在学习的是第20页，共47页随机过程通过线性系统输出过程的数学期望输出过程的数学期望输入直流分量输入直流分量与直流增益的积与直流增益的积现在学习的是第21页，共47页随机过程通过线性系统输出过程的自相关函数输出过程的自相关函数输出也是平稳过输出也是平稳过程程现在学习的是第22页，共47页随机过程通过线性系统输出过程的功率谱密度输出过程的功率谱密度“功率功率”谱增益谱增益现在学习的

10、是第23页，共47页随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统线性时不变系统线性时不变系统现在学习的是第24页，共47页随机过程通过线性系统例例:输出过程的概率分布输出过程的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过下式：从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过下式：总总可可以以确确定定输输出出过过程程的的概概率率分分布布，其其中中一一个个十十分分有有用用的的情情形形是是：如如果果线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯斯型型的的，则则系系统统的的输输出出过过程程也也是是高高斯斯型型的的。但但要要注注意意，由由于于线线性性系系统统的的介介入入，与与输输入

11、入高高斯斯过过程程相相比比，输输出出过过程程的的数数字字特特征征已已经经改变了。改变了。现在学习的是第25页，共47页随机过程通过线性系统例题：带限白噪声例题：带限白噪声 试求功率谱密度为试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为：想低通的传输特性为：现在学习的是第26页，共47页随机过程通过线性系统现在学习的是第27页，共47页2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性

12、系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声现在学习的是第28页，共47页窄带随机过程窄带窄带(带通带通)信号信号(过程过程)示意示意 通信中信号与噪声都满足通信中信号与噪声都满足“窄带窄带”假设，即假设，即ffc。f为信号带宽，为信号带宽，fc为载频。其包络和相位相对于为载频。其包络和相位相对于fc是是缓慢变化的，波形和频谱示意如下缓慢变化的，波形和频谱示意如下:现在学习的是第29页，共47页窄带随机过程窄带信号的两种描述方法窄带信号的两种描述方法包络与相位参数的描述方法包络与相位参数的描述方法同相分量和正交分量的描述方法同相分量和正交分量的描述方

13、法两种描述方法对随机过程仍然适用两种描述方法对随机过程仍然适用现在学习的是第30页，共47页窄带随机过程现在学习的是第31页，共47页窄带随机过程的性质数学期望数学期望现在学习的是第32页，共47页窄带随机过程的性质相关函数相关函数Rx是平稳过程，与是平稳过程，与t无关无关现在学习的是第33页，共47页窄带随机过程的性质现在学习的是第34页，共47页窄带随机过程的性质输入为高斯过程时输入为高斯过程时根据平稳性，因此：根据平稳性，因此：I、Q分量也是高斯过程分量也是高斯过程 一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量I和和正交分量正交分量Q也是平稳高

14、斯过程，也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差相同，而且均值都为零，方差相同，在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。高斯变量高斯变量现在学习的是第35页，共47页包络和相位的统计特性将同相与正交的联合分布函数进行二维转换，变将同相与正交的联合分布函数进行二维转换，变成包络与相位的联合成包络与相位的联合PDF现在学习的是第36页，共47页包络和相位的统计特性相互独立相互独立现在学习的是第37页，共47页包络和相位的统计特性利用雅各比利用雅各比行列式行列式现在学习的是第38页，共47页包络和相位的统计特性包络包络符合符合瑞利瑞利分布分布相位相位符合符合均匀均匀

15、分布分布求条件求条件边际分布边际分布现在学习的是第39页，共47页窄带高斯噪声高斯噪声时域波形高斯噪声时域波形近似高斯白噪声频谱近似高斯白噪声频谱示意图示意图窄带滤波窄带滤波窄带高斯噪声示窄带高斯噪声示意图意图包络符合瑞利分布包络符合瑞利分布现在学习的是第40页，共47页平稳高斯过程通过窄带系统输出结论平稳高斯过程通过窄带系统输出结论 一一个个均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，它它的的同同相相分分量量I和和正正交交分分量量Q也也是是平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且均均值值都都为为零零，方方差差相相同同，在在同同一一时时刻刻同同相相分分量量和和正正交交分分量量互互不相关。不

16、相关。均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，其其包包络络符符合合瑞瑞利利分布、相位符合均匀分布。分布、相位符合均匀分布。现在学习的是第41页，共47页2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声现在学习的是第42页，共47页正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声发送端信道接收端噪声源窄带调制后，窄带调制后，近似为高频正近似为高频正弦波弦波现在学习的是第43页，共47页正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声等效为同相正等效为同相正交分量交分量现在学习的是第44页，共47页正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声同相、正交分量的联合概率密度同相、正交分量的联合概率密度包络、相位联合概率密度包络、相位联合概率密度求包络、相位的条件边际分布求包络、相位的条件边际分布同相、正交分量相互独立的高斯过程同相、正交分量相互独立的高斯过程雅各比行列式进行变换雅各比行列式进行变换现在学习的是第45页，共47页正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声广义瑞利分布，莱斯分布广义瑞利分布，莱斯分布现在学习的是第46页，共47页正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声现在学习的是第47页，共47页