矩阵的相似变换和特征值.ppt

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1、矩阵的相似变换和特征值现在学习的是第1页，共28页第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 一一.特征值特征值,特征向量的定义和计算特征向量的定义和计算 1.设设A是是n阶方阵阶方阵,为数为数,为为n维维非零非零向量向量.若若A =,则称则称 为为A的的特征值特征值,称称 为为A 的对应于的对应于 的的特征向量特征向量.2.由由A =得齐次线性方程组得齐次线性方程组(IA)=,它有非零解它有非零解系数行列式系数行列式|IA|=0,这个这个 关于关于 的一元的一元n次方程次方程,称为称为A的的特征方程特征方程,|IA|称为称

2、为A的的特征多项式特征多项式.现在学习的是第2页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例1.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=4.解之得解之得 A的对应于的对应于 1=2的特征向量为的特征向量为 对于对于 1=2,(2IA)x=即即 现在学习的是第3页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变

3、换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解之得解之得 A的对应于的对应于 2=4的特征向量为的特征向量为 对于对于 2=4,(4IA)x=即即 例例1.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=4.现在学习的是第4页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量

4、解解:|IA|=(2)(1)2.所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=3=1.对于对于 1=2,求得求得(2IA)x=的基础解系的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为kp1(0 k R).对于对于 2=3=1,求得求得(IA)x=的基础解系的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于对应于 2=3=1的特征向量为的特征向量为kp2(0 k R).例例2.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.现在学习的是第5页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5

5、.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解解:|IA|=(+1)(2)2.所以所以A的特征值为的特征值为 1=1,2=3=2.(IA)x=的基础解系的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于对应于 1=1的特征向量为的特征向量为kp1(0 k R).(2IA)x=的基础解系的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于对应于 2=3=2的特征向量为的特征向量为k2p2+k3p3 (k2,k3不同时为零不同时为零).例例3.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.现在学习的是第6页，共28页第五章第五章第五章第五章

6、矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例4 4.设设设设 为方阵为方阵A的特征值的特征值的特征值的特征值,证明证明 2 2为为为为A A2 2的特征值的特征值.证明证明证明证明:因为因为因为因为 为为为为A的特征值的特征值的特征值的特征值,即有非零向量即有非零向量x x使使使使Ax x=x x,于是于是于是于是(A A2)x=A A(Ax)=A(x)=(Ax x)=)=2x,所以所以所以所以 2 2为为为为A A2的特征值的特征值.例例

7、5 5.设设设设 为方阵为方阵A A的特征值的特征值的特征值的特征值,证明证明证明证明 ()=2)=2 2 3 3 +4.为为 (A A)=2A2 2 3 3A+4I的特征值的特征值.证明证明:因为因为因为因为 为为为为A A的特征值的特征值,即有非零向量即有非零向量x使使使使A Ax x=x x,于是于是于是于是(A)x=(2A2 2 3A A+4I)x x =2 =2(A A2 2)x x 3Ax x+4+4x =2 2 2x 3 x x+4x x =(2 2 2 3 +4)x =()x x,所以所以所以所以f f()为为为为f(A A)的特征值的特征值.现在学习的是第7页，共28页第五章

8、第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 二二.特征值特征值,特征向量的特征向量的性质性质 定理定理5.1.设设 1,n(实数或复数实数或复数,可以重复可以重复)是是n阶方阵阶方阵A=aij的的n个个特征值特征值,即即|IA|=(1)(2)(n).则则 i=trA=aii n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=detA=|A|n n i i=1 =1 现在学习的是第8页，共28页第五章第五章第五章第五章

9、矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 定理定理5.2.设设 是方阵是方阵A的的一个特征值一个特征值,f是一个是一个多项式多项式,则则f()是方阵是方阵f(A)的的一个特一个特征值征值.推论推论.若若f是多项式是多项式,A是是一个一个方阵方阵,使使f(A)=O(这时称这时称f为为A的一个的一个零化零化多项式多项式),则则A 的任的任一特征值一特征值 必满足必满足f()=0.注注:A的零化多项式的根未必都是的零化多项式的根未必都是A的特征值的

10、特征值.例如例如f(x)=x2 1,A1=1 0 0 1,A2=1 0 0 1,A3=0 11 0.现在学习的是第9页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 5.2 相似矩阵相似矩阵 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质 设设A,B都是都是n阶方阵阶方阵,若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使得使得 P 1AP=B,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似.记为记为AB.P称为称为相似变换矩阵相似变换矩阵或或过渡矩阵过渡矩阵.易见易见,矩阵间的相似关系满足矩阵间的相

11、似关系满足(1)反身性反身性:AA;(2)对称性对称性:AB BA;(3)传递性传递性:AB,BC AC.即矩阵间的相似关系是一种等价关系即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且且A与与B相似相似 A与与B相抵相抵.但反之未必但反之未必.现在学习的是第10页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 命题命题:设设AB,f是一个多项式是一个多项式,则则f(A)f(B).证明证明:设设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则则 P 1f(A)P=anP 1A

12、nP+A1p 1AP+a0 P 1IP=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0I=P 1(anAn+a1A+a0I)P=anBn+a1B+a0I=f(B).现在学习的是第11页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.5.设设n阶方阵阶方阵A与与B相似相似,则有相同的特则有相同的特 征多项式和特征值征多项式和特征值.事实上事实上,设设P 1AP=B,则则|IA|=|P 1|IA|P|=|IB|.注注:特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩

13、阵未必相似.例如例如 A=1 0 1 1,B=1 0 0 1,它们的特征多项式都是它们的特征多项式都是(1)2.但是若有但是若有P 1AP=B,则则A=PBP 1=B.矛盾矛盾!现在学习的是第12页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.6.n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明:(必要性必要性)

14、设设P 1AP=diag 1,2,n,则则AP=Pdiag 1,2,n,即即P 的列向量依次为的列向量依次为p1,p2,pn.Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn,可见可见,p1,p2,pn就是就是A的的n个线性无关个线性无关 的特征向量的特征向量.现在学习的是第13页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 于是于是P 1AP=diag 1,2,n,p1,p2,pn,对应的特征值依次为对应的特征值依次为 1,2,n,(充分性充分性)设设A的的n个线性无关

15、的特征向量依次为个线性无关的特征向量依次为 则则Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn.记记P=p1,p2,pn,则上式可写成则上式可写成 AP=Pdiag 1,2,n,二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.6.n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.现在学习的是第14页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 推论推论a.n阶复方阵阶复方阵

16、A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A的每个的每个ni重特征值重特征值 i有有ni个线性个线性 无关的特征向量无关的特征向量,即秩即秩(iI A)=n ni.推论推论b.若若n阶方阵阶方阵A有有n个个不同的特征值不同的特征值,则则A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似.三三.方阵的相似对角化方阵的相似对角化 对于对于n阶方阵阶方阵A,求可逆矩阵求可逆矩阵P,使使P 1AP为为 对角矩阵这件事称为矩阵对角矩阵这件事称为矩阵A的的相似对角化相似对角化.现在学习的是第15页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变

17、换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 求求|IA|=0的根的根 有重根吗?无无 A可以相似对角化可以相似对角化 有有 秩(iIA)=nni?否否 Jordan化化 A不能相似对角化不能相似对角化 是是 求求n个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量p1,pn,令令P=p1,pn P 1AP=diag 1,n例例例例1 1 2 2 3 3现在学习的是第16页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例6.A=3 2 0 0 1 0的特征多

18、项式为的特征多项式为 0 0 1 特征值特征值 =3,i中有两个是虚数中有两个是虚数,|IA|=3 2 0 0 1 0 1=(3)(2+1),所以所以A不与实对角矩阵相似不与实对角矩阵相似.在复数范围内在复数范围内,A 3 0 0 0 0 i 0 i 0.现在学习的是第17页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 (3IA)x=的基础解系的基础解系:p1=5,3,1T,(iIA)x=的基础解系的基础解系:p2=0,i,1T,(iIA)x=的基础解系的基础解系:

19、p3=0,i,1T,令令P=5 3 1 0 i 1 0 i 1,则则P 1AP=3 0 0 0 0 i 0 i 0.现在学习的是第18页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 一一.实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量 1.复矩阵的共轭矩阵复矩阵的共轭矩阵 设设A=aijm n,aij C.A的共轭矩阵的共轭矩阵.则称则称A=aij

20、m n为为可以验证可以验证(1)kA=k A;(2)A B=A B;(3)AT=;(4)AB=A B;(5)若若A可逆可逆,则则A也可逆也可逆,且且现在学习的是第19页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 2.实对称矩阵实对称矩阵 定理定理5.7.实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数.从而从而从而从而另一方面另一方面,两式相减得两式相减得两式相减得两式相减得向量向量向量向量x满足满足A

21、Ax=x x,则则则则又因为又因为又因为又因为x x非零非零非零非零,故故故故因此因此可见可见可见可见 为实数为实数.事实上事实上事实上事实上,设复数设复数设复数设复数 为对称矩阵为对称矩阵A A的特征值的特征值,非零复非零复现在学习的是第20页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 事实上事实上,1 p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,定理定理5.8.设设 1,2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个

22、不同的两个不同 的特征值的特征值,p1,p2是对应与它们的是对应与它们的特特 征向量征向量,则则p1与与p2正交正交.于是于是(1 2)p1Tp2=0,但是但是 1 2,故故p1Tp2=0.从而从而 1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.现在学习的是第21页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 定理定理5.9.对于任意对于任意n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A,存在正存在正 交矩阵交矩阵

23、Q,使得使得 Q 1AQ=diag(1,2,n),其中其中 1,2,n为为A的全部特征值的全部特征值,Q=q1,q2,qn的列向量组是的列向量组是A 的的对应于对应于 1,2,n的标准正交的标准正交特特 征向量征向量.二二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 推论推论.设设 是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的r重特征值重特征值,则则 对应于对应于 恰有恰有r个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.现在学习的是第22页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的

24、相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例7.把把正交相似对角化正交相似对角化.解解:|:|I A|=(2)(2)(4)2.所以所以所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1=2,2=3 3=4.=4.(2IA)x x=的基础解系的基础解系 1=(0,1,1)T T.(4I I A A)x x=的基础解系的基础解系 2=(1,0 0,0)T T,3 3=(0,1,1)T.由于由于 1,2 2,3 3已经是正交的了已经是正交的了已经是正交的了已经是正交的了,将它们单位化即将它们单位化即 可得可得可得可得现在学习的是第23页，共28页第五章第五章第五章第五章

25、 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 注注:对于对于 2=3=4,若取若取(4IA)x=的基础解系的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化则需要将它们正交化.取取 1=2,再单位化再单位化,即得即得现在学习的是第24页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实

26、对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例8.设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征多项式为的特征多项式为(1)2(10),且且 3=1,2,2T是对应于是对应于 =10的特征向量的特征向量.(1)证明证明:是对应于是对应于=1的特征向量的特征向量 与与 3正交正交;(2)求求A.证明证明(1):由定理由定理5.8可知可知()成立成立.()因为因为=1是是A的二重特征值的二重特征值,所以所以A有两个有两个 线性无关的特征向量线性无关的特征向量 1,2对应于对应于=1.注意到注意到 1,2,3线性无关线性无关,而而,1,2,3线性相关线性相关,可设可设 =k1 1+k2 2+k3 3,故故

27、 =k1 1+k2 2是对应于是对应于=1的特征向量的特征向量.由由 3,=3,1 =3,2 =0得得k3=0,现在学习的是第25页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 解解(2):由由(1)可知对应于可知对应于=1两个线性无关的两个线性无关的 将正交向量组将正交向量组 1,2,3单位化得正交矩阵单位化得正交矩阵 例例8.设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征多项式为的特征多项式为(1)2(10),且且

28、 3=1,2,2T是对应于是对应于 =10的特征向量的特征向量.(1)证明证明:是对应于是对应于=1的特征向量的特征向量 与与 3正交正交;(2)求求A.特征向量可取为特征向量可取为x1+2x2 2x3=0的基础解系的基础解系:1=2,1,2T,2=2,2,1T,Q=,现在学习的是第26页，共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 Q=,它满足它满足QTAQ=Q 1AQ=,由此可得由此可得A=Q QT.=现在

29、学习的是第27页，共28页教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 1.1.理解理解理解理解矩阵的特征值和特征向量的概念矩阵的特征值和特征向量的概念矩阵的特征值和特征向量的概念矩阵的特征值和特征向量的概念,熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握矩阵的矩阵的特征多项式特征多项式,特征值特征值,特征向量的求法特征向量的求法特征向量的求法特征向量的求法;2.熟练掌握熟练掌握特征多项式特征多项式,特征值特征值,特征向量的性质特征向量的性质;3.了解了解了解了解矩阵

30、的迹的概念矩阵的迹的概念,了解了解矩阵的迹矩阵的迹,行列式与其特行列式与其特行列式与其特行列式与其特征值的关系征值的关系征值的关系征值的关系;4.理解理解矩阵的相似性概念矩阵的相似性概念矩阵的相似性概念矩阵的相似性概念,理解理解理解理解两矩阵相似的必要条两矩阵相似的必要条件件;5.熟练掌握熟练掌握矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件,并并熟练掌握熟练掌握相应的对角矩阵及相似变换矩阵的求法相应的对角矩阵及相似变换矩阵的求法;6.6.熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质,熟练掌握熟练掌握求正交矩阵将求正交矩阵将求正交矩阵将求正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法实对称矩阵化为对角矩阵的方法实对称矩阵化为对角矩阵的方法实对称矩阵化为对角矩阵的方法.现在学习的是第28页，共28页