正、余弦定理及应用举例.ppt

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1、正、余弦定理及应用举例正、余弦定理及应用举例正弦定理正弦定理(1)定理定理：=其其中中R为为三三角角形形外外接接圆圆的的半半径径(2)变式变式：a，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；abc .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC1提提示示：已已知知三三角角形形的的两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，利利用用正正弦弦定定理理求求其其他他的的角角和和边边时时，要要注注意意对对解解的的情情况况进进行行判判断断，这这类类问问题题往往往往有有一一解解，两两解解，无无解解三三种情况种情况2余弦定理余弦定理 (1)定理：定理：a2 ；b2 ；c2 ；(2)变

2、变式：式：cos A ；cos B ；cos C .b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC提示：提示：在在ABC中，已知中，已知a，b，A，求，求c时，利用余弦定理时，利用余弦定理a2b2c22bccos A得到关于得到关于c的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断3三角形面积公式三角形面积公式(1)S (ha表示表示a边边上的高上的高)；(2)S absin C ；(3)S r(abc)(r为为内切内切圆圆半径半径)实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视

3、线的夹角，目标视与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线线在在水水平平视视线线 叫叫仰仰角角；目目标标视视线线在在水水平平视视线线 叫叫俯角俯角(如图如图)上方上方下方下方4(2)方位角方位角指指从从 方方向向顺顺时时针针转转到到目目标标方方向向线线的的水水平平角角，如如B点点的的方方位位角角为为(如如图图)正北正北(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数提提示示：在在解解决决与与三三角角形形有有关关的的实实际际问问题题时时，首首先先要要明明确确题题意意，正正确确画画出出平平面面图图形形或或空空间间图图形形，然然后后根根据据条条件件和

4、和图图形形特特点点将将问问题题归归结结到到三三角角形形中中解解决决1ABC的的内内角角A，B，C的的对对边边分分别别为为a，b，c.若若c ，b ，B120，则则a等于等于()解析：解析：由正弦定理得由正弦定理得 又又C为锐角，则为锐角，则C30，A30，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，ac .答案：答案：D2(2009广东卷广东卷)已知已知ABC中，中，A，B，C的的对边对边分分别为别为a，b，c.若若ac ，且，且A75，则则b()解析：解析：ac，A75，B30，b2a2c22accos 30b2.答案：答案：A3已知已知锐锐角角ABC的面的面积为积为3 ，BC4，CA3，则则角角C的

5、大小的大小为为()A75 B60 C45 D30答案：答案：B4在在200m高的山高的山顶顶上，上，测测得山下一塔的塔得山下一塔的塔顶顶和塔底的俯角分和塔底的俯角分别别是是 30、60，则则塔高塔高为为_m.在在ACD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，解析：解析：如如图图，由已知可得，由已知可得BAC=30，CAD=30，BCA=60，ACD=30，ADC=120，判断三角形的形状，判断三角形的形状，应围绕应围绕三角形的三角形的边边角关系角关系进进行思考，主要看其是行思考，主要看其是否是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝钝角三角形或角三角形或锐锐角三角

6、形，要角三角形，要特特别别注意注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”与与“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的区的区别别依据已依据已知条件中知条件中的的边边角关系判断角关系判断时时，主要有如下两条途径：，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件利用正、余弦定理把已知条件转转化化为边边为边边关系，通关系，通过过因式分解、配方等得出因式分解、配方等得出边边的相的相应应关系，从而判断三角形的形状；关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件利用正、余弦定理把已知条件转转化化为为内角的三角函数内角的三角函数间间的关系，通的关系，通过过三角函三角函数恒等数恒等变变形

7、，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时时要注意要注意应应用用ABC这这个个结论结论 在在 中，中，分别表示三个内角分别表示三个内角 的对边，如果的对边，如果 ，判断三角形的形状，判断三角形的形状思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系角关系【例例1】解：解法一：已知等式可化为解：解法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cos Asin B2b2cos Bsin A由正弦定理可知上式可化为：由正弦定

8、理可知上式可化为：sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0 sin 2Asin 2B，由，由02A,2B2，得得2A2B或或2A2B，即，即AB或或A B，ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形解法二：解法二：同解法一可得同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B，由正、余弦定理，可得由正、余弦定理，可得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0ab或或a2b2c2，ABC为为等腰或直角三角形等腰或直角三角形.三角形一般由三个条件确定，比如已知三三角形

9、一般由三个条件确定，比如已知三边边a，b，c，或两，或两边边a，b及及夹夹角角C，可以将可以将a，b，c或或a，b，C作作为为解三角形的基本要素，根据已知条件，通解三角形的基本要素，根据已知条件，通过过正正弦定理、余弦定理、面弦定理、余弦定理、面积积公式等利用解方程公式等利用解方程组组等手段等手段进进行求解，必要行求解，必要时时可考可考虑虑作作辅辅助助线线，将所，将所给给条件置于同一三角形中条件置于同一三角形中(1)求求ABC的面的面积积；(2)若若c1，求，求a的的值值形面积公式求解即可；形面积公式求解即可；(2)(2)根据第根据第(1)(1)问求出的问求出的bcbc，结合，结合b bc c

10、就可以求就可以求出出b b，c c的值，根据余弦定理求解的值，根据余弦定理求解解：解：(1)因为因为得得bccos A3，所以，所以bc5.因此因此SABC bcsin A2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，所以所以a2 .已知已知ABC顶顶点的坐点的坐标标分分别为别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若若c5，求，求sin A的的值值；(2)若若A为钝为钝角，求角，求c的取的取值值范范围围解：解：(1)解法一：解法一：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.又又C(c,0)，sin B .当当

11、c5时时，|BC|5，由正弦定理得由正弦定理得变式变式2：解法二：解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.当当c5时时，|BC|5.由余弦定理得由余弦定理得(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，|AC|2(c3)242，|BC|2c2.A为钝为钝角，角，cos A0，即，即|AB|2|AC|2|BC|20.52(c3)242c2506c .三角函数作三角函数作为联为联系代数与几何系代数与几何问题问题的的纽带纽带和和桥桥梁，往往出梁，往往出现现在在综综合合题题中中解三角形就是解三角形就是这样这样一种常一种常见见而又典型的而又典型的问题问题，在三角形的三角，在三角形的三角变换变换

12、中，正、余弦定理是解中，正、余弦定理是解题题的基的基础础【例例 3】ABC中中，A，B，C所所 对对 的的 边边 分分 别别 为为 a，b，c，tan C ，sin(BA)cos C.(1)求求A，C；(2)若若SABC3 ，求，求a，c.思维点拨：思维点拨：(1)变换变换tan C ，寻找寻找A，B，C的三角函数之间的关的三角函数之间的关系系；(2)在解决了第在解决了第(1)问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方程的方程组，解这

13、个方程组即可组即可解：解：(1)因为因为tan C所以所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin Ccos B，得得sin(CA)sin(BC)所以所以CABC，或，或CA(BC)(不成立不成立)，即即2CAB，又因又因为为sin(BA)cos C ，由正弦定理，得由正弦定理，得由由、得得变式变式3：(2009山东卷山东卷)已知函数已知函数f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在在x处处取最小取最小值值(1)求求的的值值；(2)在在ABC中中，a，b，c分

14、分别别是是角角A，B，C的的对对边边已已知知a1，b ，f(A)，求角，求角C.解：解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因为因为f(x)在在x处取最小值，所以处取最小值，所以sin()1，故故sin 1.又又0，所以所以 .(2)由由(1)知知因因为为且且A为为ABC的内角，所以的内角，所以由正弦定理得由正弦定理得解解斜斜三三角角形形有有着着广广泛泛的的应应用用，如如测测量量、航航海海、几几何何、物物理理诸诸方方面面都都要要用用到到解解斜斜三三角角形形的的知知识识，解

15、解此此类类问问题题一一般般步步骤骤是是：(1)阅阅读读理理解解，画画出出示示意意图图，分分清清已已知知和和所所求求，尤尤其其要要理理解解应应用用题题中中有有关关名名词词和和术术语语，如如坡坡度度、仰仰角角、俯俯角角、象象限限角角、方方位位角角等等；(2)分分析析与与所所研研究究的的问问题题有有关关的的一一个个或或几个三角形；几个三角形；(3)解解这这些三角形，求出答案些三角形，求出答案 (2009(2009辽辽宁宁卷卷)如如图图，A，B，C，D都都在在同同一一个个与与水水平平面面垂垂直直的的平平面面内内，B，D为为两两岛岛上上的的两两座座灯灯塔塔的的塔塔顶顶测测量量船船于于水水面面A处处测测得

16、得B点点和和D点点的的仰仰角角分分别别为为75，30，于于水水面面C处处测测得得B点点和和D点点的的仰仰角角均均为为60，AC0.1 km.试试探探究究图图中中B，D间间距距离离与与另另外外哪哪两两点点间间距距离离相相等等，然然后后求求B，D的的距距离离(计计算算结结果精确到果精确到0.01 km，1.414，2.449)【例例4】解：解：在在ACD中中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底边底边AD的中垂线，所以的中垂线，所以BDBA.故故B，D的距离的距离约为约为0.33 km.【方法规律方法规律】1正、余弦定理和三角

17、形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题角形，以及利用它们解决一些实际问题2应熟练掌握和运用内角和定理：应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bs

18、in2C2sin Bsin Ccos A，可以进行化简或证明，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换.【高考真题高考真题】(2009安徽安徽)在在ABC中，中，sin(CA)1，sin B .(1)求求sin A的的值值；(2)设设AC ，求，求ABC的面的面积积【规范解答规范解答】解：解：(1)由由sin(CA)1，CA，知知又又ABC，所以，所以2AB ，故故cos 2Asin B，本本题题的的关关

19、键键是是关关系系式式2AB ，命命题题者者把把这这个个关关系系用用sin(CA)1表表达达出出来来，然然后后在在条条件件sin B 下下求求解解sin A(实实际际上上也也可可给给出出sin A或或cos A的的值值求求解解sin B、cos B等等)，重在考，重在考查查方程思想在解方程思想在解题题中的中的应应用用【探究与研究探究与研究】确确定定三三角角形形的的条条件件之之一一就就是是知知道道三三角角形形的的两两个个内内角角的的大大小小(实实际际上上就就是是知知道道了了三三个个内内角角的的大大小小)及及一一个个边边长长，在在解解题题中中要要善善于于利利用用确确定定三三角角形形的的条条件件分分析

20、析解解决决问问题题，如如本本题题中中由由第第(1)问问的的结结果果，实实际际上上就就是是知知道道了了该该三三角角形形的的三三个个内内角角的的大大小小，第第(2)问问中中又又给给出出了了一一个个边边长长，根根据据正正弦弦定定理理可可以以求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式S absin C bcsin A acsin B中的任何一个都可以解决问题中的任何一个都可以解决问题 三角形中的三角恒等三角形中的三角恒等变换变换的关的关键键是三角形内角和定理，离开了三角是三角形内角和定理，离开了三角形内角和定理就无法解决三角形中的三角恒等形内角和定理就无法解决

21、三角形中的三角恒等变换变换，在解，在解题时题时要充分考要充分考虑虑到到这这点，如在必要点，如在必要时时用用sin(AB)代代换换sin C，用，用【发散思维发散思维】本本题给题给出的条件可以出的条件可以归结为归结为sin(CA)1，sin(CA)，按照正弦的和、，按照正弦的和、差角公式展开后就是差角公式展开后就是sin Ccos Acos Csin A1，sin Ccos Acos Csin A ，两个式子相加，得两个式子相加，得sin Ccos 再把交再把交换换后的两个式子相除，得后的两个式子相除，得即即tan C2tan A又在又在ABC中，中，可以可以计计算出算出故有故有2tan A解解这这个方程可以求出个方程可以求出tan A值值，也就可以求出，也就可以求出sin A的的值值这这里的解法看似复里的解法看似复杂杂，实际实际上上这这是解决是解决这类问题这类问题的一般方法，本的一般方法，本题题中的条件中的条件sin(CA)1具有特殊性，具有特殊性，如果如果这这个条件改成个条件改成sin(CA)之之类类的，本的，本题给题给出的解答中的方法就失去了一出的解答中的方法就失去了一般性般性