光学信息技术原理及应.ppt

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1、光学信息技术原理及应用光学信息技术原理及应用抽样定理抽样定理(四)抽样定理的由来和意义抽样定理的由来和意义实实际际的的宏宏观观物物理理过过程程都都是是连连续续变变化化的的，物物理理量量的的空空间间分分布布也也是是连连续变续变化的。化的。在在今今天天的的数数字字时时代代，连连续续变变化化的的物物理理量量要要用用它它的的一一些些离离散散分分布布的的采采样值样值来表示，而且来表示，而且这这些采些采样值样值的表达方式也是离散的的表达方式也是离散的 这这些些离离散散的的数数字字表表示示的的物物理理量量的的含含义义或或者者说说包包含含的的信信息息量量与与原原先先的的连续变连续变化的物理量是否相同？化的物理

2、量是否相同？是否可以由是否可以由这这些抽些抽样值样值准确准确恢复一个恢复一个连续连续的原函数？的原函数？本本书书用用的的是是惠惠特特克克香香农农（Whittaker-ShannonWhittaker-Shannon）抽抽样样定定理理的的二二维维形式形式 函数的抽函数的抽样样 最最简单简单的抽的抽样样方法是用二方法是用二维维梳状函数与被抽梳状函数与被抽样样的函数相乘的函数相乘 如果被抽样的函数为如果被抽样的函数为 ，抽样函数可表示为，抽样函数可表示为 梳状函数是梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘函数的集合，它与任何函数的乘积积就是无数分布在就是无数分布在平面平面 上在上在 ，两方向上两方向

3、上间间距距为为 和和 的的 函数函数 与与该该函函数的乘数的乘积积任何函数与任何函数与 函数相乘的函数相乘的结结果仍然是果仍然是 函数，只是函数，只是 函数的函数的“大小大小”要被要被该该函数在函数在 函数位置上的函数函数位置上的函数值值所所调调制。制。换换句句话说话说，每个，每个 函数下的体函数下的体积积正比于正比于该该点函数的数点函数的数值值 抽抽样样函数函数抽抽样样函数的函数的频谱频谱 利用卷利用卷积积定理和梳状函数的傅里叶定理和梳状函数的傅里叶变换变换，可，可计计算抽算抽样样函数的函数的频谱频谱 抽抽样样函数的原函数的复原函数的原函数的复原图图奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyqu

4、ist）抽）抽样间样间隔隔 假如函数假如函数 是限是限带带函数，即它的函数，即它的频谱仅在频率平面上一个频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在若包围该区域的最小矩形在 和和 方向上的方向上的宽宽度分度分别为别为 和和 欲使欲使图图中周期性复中周期性复现现的函数的函数频谱频谱不会相互混叠，必不会相互混叠，必须须使使 或者或者说说抽抽样间样间隔必隔必须满须满足足 式式中中表示的两方向上的最大抽表示的两方向上的最大抽样间样间距和通常称作奈奎斯特距和通常称作奈奎斯特（NyquistNyquist）抽）抽样间样间隔隔 原函数原函数频谱频谱的复原的复原 要要原函数

5、的复原首先要恢复其原函数的复原首先要恢复其频谱频谱 在在满满足足奈奈奎奎斯斯特特抽抽样样间间隔隔的的情情况况下下，只只要要用用宽宽度度 和和 ,位位于于原原点点的的矩矩形形函函数数去去乘乘抽抽样样函函数数的的频频谱谱就就可可得得到到原原来来函函数数的的频频谱谱。在在频频率率域域进进行行的的这这种种操操作作去去掉掉了了部部分分频频谱谱成成份份，常常常常称称作作“滤滤波波”用用频频域中域中宽宽度度 和和 的位于原点的矩形的位于原点的矩形函数函数为为 滤滤波波过过程可写作程可写作 原函数的复原原函数的复原(1)(1)做反变换就可直接得到原函数做反变换就可直接得到原函数根据卷根据卷积积定理，在空定理，

6、在空间间域得到域得到对上式左边两个因子分别进行化简有对上式左边两个因子分别进行化简有 结果得到无数结果得到无数 函数与函数与SINCSINC函数的卷积和函数的卷积和原函数的复原原函数的复原(2)(2)最后卷积的结果最后卷积的结果,愿函数为愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即若取最大允许的抽样间隔，即 ，并且，并且 ，则，则可见用可见用SINCSINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条当然要满足必要的条件件)抽样定理的意义抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不

7、知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分 抽样定理证明图解（抽样定理证明图解（1 1）抽样定理证明图解（抽样定理证明图解（2 2）

8、空间带宽积空间带宽积 若若限限带带函函数数 在在频频域域中中 ,以以外外恒恒为为零零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为 式中式中 表示函数在空域覆盖的面表示函数在空域覆盖的面积积,表示函数在表示函数在频频域中覆域中覆盖的面盖的面积积。在。在该该区域的函数可由数目区域的函数可由数目为为 的抽的抽样值样值来来近似表示。近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？空空间带宽积间带宽积 就定就定义为义为函数在空域和函数在空域和频频域中所占有的面域中所占有的面积积之之积积：空间带宽积的意义空间带

9、宽积的意义空空间带宽积间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。的能力。空空间带宽积间带宽积决定了决定了图图象最低必象最低必须须分辨的象素数，分辨的象素数，如数码相机的技术如数码相机的技术指标指标空空间带宽积间带宽积表达表达图图象的自由度或自由参数数象的自由度或自由参数数 图图象象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为当当图图象是复函数，每一个抽象是复函数，每一个抽样值

10、为样值为一个复数，要由两个一个复数，要由两个实实数表示。数表示。自由度增大一倍，自由度增大一倍，抽样定理例题（抽样定理例题（1 1）若二若二维维不不变线变线性系性系统统的的输输入是入是“线线脉冲脉冲”，系系统对线统对线脉冲的脉冲的输输出响出响应应称称为线为线响响应应 。如果系。如果系统统的的传递传递函数函数为为 ，求求证证：线线响响应应的一的一维维傅里叶傅里叶变换变换等于系等于系统传递统传递函数沿函数沿 轴轴的截面分布的截面分布 。抽样定理例题（抽样定理例题（1 1）解）解证明证明：线线脉冲脉冲实质上也是二维的函数，只是沿实质上也是二维的函数，只是沿 方向函数值不变，是常方向函数值不变，是常数

11、数1 1。系系统对线统对线脉冲的脉冲的输输出响出响应应，即即线线响响应应也是二维的函数，可表示为也是二维的函数，可表示为线线响响应应的一的一维维傅里叶傅里叶变换变换则为则为这就是这就是系系统传递统传递函数沿函数沿 轴轴的截面分布的截面分布证毕。证毕。抽样定理例题（抽样定理例题（1 1）解续）解续这里要注意的一点是这里要注意的一点是 这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。从从这这一一题题中中我我们们还还要要引引伸伸出出一一个个重重要要的的概概念念，即即二二维维传传递递函函数数测测量量可可以以通通过过一一维维线线响响应应，即即线线扩扩散散函函数数来来测测量量和和计计算算。因因为为两两维维的的测测量量在在过过去去没没有有图图像像传传感感器器时时是是相相当当困困难难的的，而而转转换换成成一一维维信信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。线响应函数和传递函数的关系线响应函数和传递函数的关系习题习题 教科书教科书P22P22习题习题1.21.2，1.51.5，1.61.6