金融数学第六章优秀PPT.ppt

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1、第一节 连续时间金融数学基础 l涉及到的数学：l测度论、实变函数、随机过程、随机微分方程、马尔可夫链 等等l已经超过本教材的范围，l具体内容，参阅下面经典著作：lProtter(1992)lKaratzas和Shreve(1988)lIkeda和Watanabe（1989）lChung和Williams（1990）lWilliams（1991）布朗运动与几何布朗运动 l定义：称随机过程l为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳过程（Wiener process），假如满足4个条件：l（1）该运动起始于0点，即，B0=0；l（2）该运动具有平稳性和独立增量性；l（3）对随意的t0，

2、Bt听从均值为0，方差为t的正态分布，即，BtN（0，t）。l（4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳动 l结论：随机变量BtBs(ts)与随机变量Bt-s的分布相同，l都听从均值为0，方差为t-s的正态分布l分布的相等并不意味着样本路径的相等 l结论：布朗运动l为高斯过程，并且，l均值 E(Bt)=0l协方差 E(BtBs)=min(s,t)l性质6-1：布朗运动为0.5自相像l性质6-2：布朗运动相对于自然过滤Ft=(Bs，ts)而言，为一个鞅 几何布朗运动l在BlackScholes（1973）和Merton（1973）的论文中，都假定价格的波动（运动）听从几何布朗运动，即 Taylor绽

3、开l以双变量的Taylor绽开为例。三阶略去。Ito引理其次节 不确定情形下的连续时间资产组合决策l以Merton（1969）的经典论文为例l在Merton（1969）之前，有少量的文章分析多期下的资产组合问题，或者在分析经济问题的时候运用多期分析的框架l例如，Tobin（1965）、Phelps（1962）和Samuelson（1969）l从严格的意义上讲，Merton（1969）的文章是连续时间金融领域的奠基之作Merton连续时间金融模型 l假设存在一个典型代表性的经济人lW(t)表示该经济人在t时刻的总财宝lXi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,m）lC(t)表示t时刻的单

4、位时间消费l假定任一资产价格听从几何布朗运动l某一时间段资产收益听从大漂移的布朗运动l投资者面临的决策问题是：l在给定的投资期限下（无限期的情形更简洁），如何进行消费决策以及投资决策，使得投资期限内的总效用最大化l在这个决策系统里，消费水平以及投资于m种资产的比例为限制变量l求解Bellman方程时，必需清晰哪些是限制变量，哪些是状态变量l为了求解优化问题，先进行必要计算，以便在求解优化问题的时候将留意力集中于数学背后的经济学简洁思路l财宝变更的平均速率l两种资产的简化状况l投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)，使得效用函数最大化l约束：预算方程（6.15），C(t)0，W(t)0，W(

5、0)=W00。效用函数u0，u0lT表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数，在W(t)上是凹函数最优消费和投资策略l给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解对具有不变的相对风险厌恶系数类的效用函数l最优消费为该时刻财宝的线性函数l投资与风险资产的最优权重与时间及财宝都无关l与风险资产的波动性、经济人偏好有关第三节Black-Scholes 期权定价公式 lBlack和Scholes的期权定价模型，利用无套利定价模型，不依靠于投资者的风险看法l无套利定价，是指假如金融市场上的期权是正确定价的，那么，投资者就不能通过买入或者卖空期权及其标的

6、资产来建立投资组合得到超过无风险资产收益的确定的回报l给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型下的期权定价公式l推导主要基于Black和Scholes(1973)Black-Scholes 模型 lBlack和Scholes(1973)用几何布朗运动作为股票价格运动的随机过程。假设股票价格St过程听从线性随机微分方程（SDE）l R 为股票价格的期望收益率l0 为波动性系数lS0 0为股票的初始价格。假定它们都是常数lWt表示含-代数流的概率空间上的一维标准布朗运动l利用Ito公式，得到股票价格波动过程 l假定无风险资产依据无风险利率r 计连续复利，则，无风险资产的价格过程为 B

7、lack-Scholes对金融市场的假设l1短期利率已知，且不随时间变更；l2股票价格听从连续时间的随机游走，其方差与股票价格的平方成比例。在任何有限时间区间的期末，股票价格听从对数正态分布，且股票收益的方差为常数；l3股票不支付红利，也没有其它支出；l4期权是“欧式的”；l5买卖股票和期权不存在交易费；l6能够以短期利率借入证券价格的随意比例的资金用以购买证券；l7卖空没有交易费。自融资策略 l交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程l循序可测的概念参见严加安的测度论l交易策略为自融资的是指财宝过程满足某条件（略）l在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略，但

8、是已经运用了这个概念l假如不限制投资者所运用的策略为自融资的，则，在无约束的Black-Scholes 模型中也能够构造一个套利机会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）期权定价公式l两种推导期权定价公式的方法l第一，基于无风险收益能够用期权及其标的资产的连续调整的头寸来复制的事实无风险组合方法l其次，基于均衡的要求。也就是说，期权作为一种资产必需使得期望的收益率与其风险相对应均衡推导 无风险组合方法Black-Scholes的均衡推导 第四节 连续时间金融的简洁概括 l一、分析投资者最优组合决策问题l至少包括两种分析框架l其一，假定资产价格听从一个扩散过程；l其二，假定资

9、产价格听从仿射跳扩散过程lLongstaff（2001）利用连续时间方法分析存在事务风险下的投资者优化组合决策问题。价格假定听从一个扩散过程（AJD），也即扩散过程加上一个跳过程lDuffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存在AJD过程的理论分析框架l二、对公司债券定价l包括两类分析思路l其一，对无违约风险的公司债券定价Turbull以及Jarrow在这方面做出了贡献l其二，对存在违约风险、评级突然降低等风险的公司债券定价。l须要相应引入跳过程来处理这些问题l三、处理利率期限结构问题lCox-Ingersoll-Ross（1985），简称CIR模型。后来者包括Heath.D、J

10、arrow.R、Singleton.K等 l四、利用连续方法处理公司财务相关问题l问题包括公司的风险对冲策略问题、公司资本结构、公司复合证券的定价问题等等lLeland（1994）是这方面的优秀论文l五、各种期权定价问题l从确定意义上讲，这可以被认为是连续时间金融的分析方法应用得最紧密的一个领域；同时，期权定价的经济思想有被广泛运用于其他衍生证券的定价问题。因此，这一领域始终是连续时间金融的活跃之地。l六、解析解不存在下的数学处理l连续时间方法在确定程度上简化了对经济问题的分析；然而，在求解连续时间问题的时候，却出现了技术上的困难。假如没有特殊设定，难以得到分析解l方法包括：有限差分近似法（Brennan-Schwartz（1076a，1976b，1976c）、数值积分法（Parkinson（1976），以及Boyle（1976）供应的Monte Carlo模拟 l七、连续时间金融的实证分析l指出这一方向，目的在于表明连续时间方法在实证领域同样具有重要的地位 l关于连续时间金融的著作，以供理论工作者参考阅读：Merton（1990）、Duffie（1992，1996），以及Edgar公司组织编写的一套经济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、“公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，