专题跟踪检测（十五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题.docx

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1、k一 2，且不+必=一：2, XX2 =121+4修专题跟踪检测(十五)锥曲线中的最值、范围、证明问题1.已知双曲线的中心在原点，焦点后，尸2在坐标轴上，离心率为小,且过点(4, -y/ld). 求双曲线的方程；(2)若点MQO)为X轴上一定点，尸为双曲线右支上一点，求线段PM长的最小值.解：(1)因为则双曲线的实轴、虚轴相等，所以可设双曲线方程为x2-y2=2(20).因为双曲线过点(4, -y/10)9所以1610=2,即2=6,所以双曲线方程为 - 2=1. O O(2)设尸(X, y)(x2黄)，则 |PM|=:(+y2=12底-2ax+一十“2杂).令八)=2%22x+26=2x一丹

2、+当一6(x2 而).当即aW2加时，当X=加时，/U)min = (加一尸，|PMmin=h/ 一3；2当会由，即心2加时，当时，/U)min=-6, I尸M|min =2.已知点(一1,在椭圆E：，+方上，E的离心率为坐(1)求E的方程；(2)设过定点4(0,2)的直线，与E交于不同的两点8, C,且NCO为锐角，求/的斜率 的取值范围.解：(11点(- 1,嗡在椭圆5+=13。0)上，*+奈=1,又椭圆的离心率为坐,a=2,由层=+。2,解得. Cl /b=l,椭圆的方程为，+y2=i.依题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设，：y=kx+29 B(xi, ji), C(x2,竺),y=

3、fcr+2,联立1_ 化简整理有（1+4公）*2+ 16履+12=0,/ = （16旬248（1+4左2）0,解得由NC03为锐角, 0C OB =xiX2 + JiJ2=(1+k2)xX2+2k(xi+X2)+4=32k21212A:2 _1+4幺+ 1+4 炉1+4k2+40,12+12超- 32A2+4+16欠=164幺0,.直线/的斜率的范围是(一2, 一坐)U 曾，2).3.已知椭圆。济=13。0)的离心率为手，且过点(一/噌，点M在圆0： x2+j2=5 .h.(1)求椭圆。的方程；(2)若点A, B是圆。上异于M的两点，且直线MA, M3与椭圆。相切，求证：A, B 关于原点0对

4、称.解：依题意,J_+旦一 4/十16 Ta2=b2+c29c a= 2 9解得。2 = 42, 故椭圆。的方程为%+)2= 1.1=1,4 .(2)证明：设点M(xo, yo)在圆“2+,2=5上运动，当过点M且与椭圆C相切的直线斜率存在时，设切线的方程为y=A(x-xo)+yo,AWO.fj = *(x-Xo)+jo,由J)I / n消去 y 得(1+442)x2+83oAxo)x+4(yo一履0)24=0,x2+4j24=0,则/=6442G0fcxo)24(1+4Zr2)4(yokx()24 = 0,整理得(4端店+2x()y()k +1 yi=0,设直线MA, MB的斜率分别为ki,

5、 k2f则k#2=设直线MA, MB的斜率分别为ki, k2f则k#2=lyi_ 1yi 4x8-4(5jS)= -l,即A3为圆*2+y2=5的直径，故此时A, B关于原点O对称.当直线MA的斜率不存在时，直线的方程为x=2或工=一2,当直线MA的方程为x=2时，不妨设M(2,l),则A(2, -1), 5(2,1),此时A, B关 于原点O对称；当直线MA的方程为“=-2时，不妨设M(2,1),则A(2, -1), 5(2,1), 此时A, 3关于原点O对称.当直线M5的斜率不存在时，同理可得，A, 8关于原点。对称.综上所述，A, 3关于原点。对称.4.如图，椭圆C：，+方=1360)的

6、左顶点为4,离心率为3，长轴长 7 为4,椭圆。和抛物线尸：y2=2px0o)有相同的焦点，直线/： x-y+m= 毕露.0与椭圆交于M, N两点，与抛物线交于P,。两点.(1)求抛物线F的方程；(2)若点。，满足诟=刀宓+启，AE = AP + A0,求而索的取值范围.f2a=4,解：因为椭圆。的离心率为3，长轴长为4,即所以q=2, c=19因为椭圆。和抛物线厂有相同的焦点，所以与=1,即=2,(2)由(1)知椭圆 C: y+-=l,由，得722+8皿+4征一12=0,/-y+/w=0,A i=64m2 - 4 X 7 X (4m2 -12)0,得混7, 解得 y7m0,得 m.设 P(g

7、, J3), 2(X4, J4),则 X3 + X4 = 4 -2% 所以+山=(3 + 工4)+ 2瓶=4,所以 AE =AP + A0 =(X3+x4+4, J3+J4)=(82m,4).6ni,刁(824)42加)+华X 4=竽机2苧帆+32, m (市,1),易知函数y=m2m+32在mG(一市,1)上单调递减,所以前衣 (等，48+”平5.已知点3是圆C (xl)2+y2=i6上的任意一点，点万(-1,0),线段8户的垂直平分 线交BC于点P.求动点P的轨迹E的方程；设曲线E与轴的两个交点分别为Ai, 42,。为直线x=4上的动点，且。不在X所以抛物线厂的方程为y2=4x.轴上，。4

8、与的另一个交点为M, Q2=FC9x2所以动点尸的轨迹是以死。为焦点，且长轴长为4的椭圆，设椭圆的方程为方+ ay22=l（aZ0）,则 a=2, c=l,e=3,22因此轨迹E的方程为7+（=1.Hr J(2)证明:如图，不妨设 4(一2,0), A2(2,0), 0(4,。(岸0), M(xu 山），Ng, J2）,则直线4。的方程为7=木+2）,直线的方程为y得(27+d)x2+4f2x+4f2 108=0,A = 164(27+0)(4/2108)0,，4 108 -542d所以(-2)xi= 27+F 所以 修=3+/2，所以眼系，鼎）同理可得儡清）.所以直线MN的方程为,6t 6Z （ 2d6、，+市=一事”_干）即产一各+氏一港/T），故直线MN过定点(1,0).记 (1,0),则引MN 的周长 L=|M|+|NP|+|MN|=|MP|+|MP |+|Nr|+|NF |= 2。+2=4=8,所以工FMN的周长为定值8.