中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解.docx

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1、中考总复习:的有关概念、性质与有关的位置关系知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降 趋势，不会有太复杂的大题出现；2,中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究 型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步表达数学来源于生活，又应用于 生活.【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1 .圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角. 要点诠释

2、：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.2 .圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性.3 .圆确实定不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.4 .垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.DC【总结升华】此题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做 好辅助线构建直角三角形，求证NCPD+NDPA+NA+NACO=90 ,

3、即可求出NCDP=45.Cg.如下图，AB是。的直径，AF是。的弦，AE平分NBAF,交。于点E,过点E作直线 EDJ_AF于点D,交AB的延长线于点C.(1)求证：CD是。的切线；3假设DE = 4, sinC=一,求AE的长.【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形.【答案与解析】解：(1)证明：连接0E, BF,交于点G, 那么 BFLAF, BFCD.0A=0E, AZ0AE=Z0EA.Z0AE= ZFAE, Z. Z0EA= ZFAE.0EAF, VAF1DE, A0E1CD. ，CD为。的切线.解：BFDE, 0EAF, ZD = 90 , 四边形DEGF为矩形.BF=2GF

4、=2DE=8.VBFCD, AZC=ZABF.可求得0A=0B=5, 0G = 3.DF=EG = 2, AF=AB sinC = 6.AAD=8, AE=742 + 82 = 4a/5 .【总结升华】3(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC=?, DE = 4,集中到一个直角三角形中，使问题最5终得到解决；3(2)此题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：假设DF=2, sinC=,求AE的长；53(3)第(2)问还可以过0作0M1AF于M后得0M=DE=4, sinZAOM=sinC=加以解决.5 -要点诠释：在图中直径CD, (2)CDAB, (3)AM=MB, (4)

5、 AC = BC, (5) AD = BD.假设上述5个条件有2个成立，那么另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径.5 .圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量也相等.6 .圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径

6、.要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.考点二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设。的半径为n点P到圆心的距离0P = d,那么有:点P在圆外Od点P在圆上。d = r；点P在圆内Odr.要点诠释：圆确实定：过一点的圆有无数个，如下图.过两点A、B的圆有无数个，如下图.经过在同一直线上的三点不能作圆.不在同一直线上的三点确定一个圆.如下图.AAB2.直线和圆的位置关系直线和圆 的位置相离相切相交图形,O公共点的 个数012公共点 名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直 线的距离 d与半径 厂的关系d=rdR + r外切Od=R + r相交R 一厂Vdr)内切d=Rr (R厂)内含

7、04dVR一厂（R厂）要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.同心圆是内含的特殊情况.圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.（4） “R-r”时，要特别注意，Rr.【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1 .：如下图，在。中，弦AB的中点为C,过点C的半径为0D.(1)假设 AB=2g, OC=1,求 CD 的长;假设半径OD = R, ZA0B=120 ，求CD的长.【思路点拨】njiR而njiR而如下图，一般的，假设NA0B=2n。，ODLAB 于 C, OA = R, OC=h,那么 AB=2R sin n =2n tan n = 2JR?

8、-； CD=R h； AD 的长=【答案与解析】解：半径0D经过弦AB的中点C, 工半径ODJ_AB.（1） VAB=2/3 , AC=BC=G.VOC=L由勾股定理得0A=2.ACD=OD-OC=OA-OC = 1, 即 CD=LV0D1AB, OA = OB, AZA0D=ZB0D. .ZA0B=120 , .ZA0C = 60 .VOC = OA cosZAOC = OA cos60 =-/?, 2CD = OD-OC = R-R = -R. 22【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一 半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的

9、计算问题.举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随 冲到B点(如下图)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？(不考虑其他因 素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C,那么NMANVNMCN.而NMCN=NMBN, A ZMAN ZMBN.因此在B点射门较好.即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门.C2.如下图，。是aABC的外接圆，弦CM_LAB, CN是直径，F是的中点.(1)求证：CF 平分 NNCM； (2)求证：AN = BM .【思路点拨】CN为。的直径.连接AN,可知NCAN=9

10、0。.V ZN=ZB, .CANc-ACHB,那么两个问题均可证.【答案与解析】证明：（1）连接AN.CN 为。的直径，.ZCAN=90 .VZCHB = 90 , AZCAN=ZCHB.又AACANACHB, AZ3=Z4.又TF 是 AB 中点，ACF=NBCF, AZ1 = Z2,即 CF 平分 NNCM.(2)由(1)得/3=N4,: AN = BM .【总结升华】此题综合运用了垂径定理及圆周角定理的相关知识，由此题要细心领会遇直径，找90。的 圆周角的思想方法.举一反三：【变式】如下图，。是aABC的外接圆，ZC = 30 , AB = 2 cm,那么。的半径为 cm.【答案】解：如

11、下图，作直径AD,连接DB,*/ AD为。的直径， AZABD = 90o .又ND：NC=N30。,AAB=-AD.1; AB = 2cm,。0的半径为2cm.答案：2次类型二、圆的切线判定与性质的应用Cs.如下图，AB=AC,。是BC的中点，。与AB相切于点D,求证：AC与。0相切.【思路点拨】AC与。有无公共点在条件中没有说明，因此只能过点。向AC作垂线段0E,长等于 。的半径，那么垂足E必在。0上，从而AC与。0相切.【答案与解析】证明：连接0D,作OEJ_AC,垂足为E,连结0A.TAB与。相切于点D, A0D1AB.VAB=AC, OB = OC, AZ1 = Z2, AOE=OD

12、.0D为。0半径，,AC与（DO相切.【总结升华】如果直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果直线与圆是否有公共点在条 件中并没有给出，那么作垂直，证半径.举一反三：【变式】如下图，在RtZXABC中，ZC = 90 , BC=a, AC = b, AB=c.求AABC的内切圆的半径.【答案】解：设AABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F,根据切线长定理可得: AE=AF, BF=BD, CD=CE,而 AE+CE = b, CD+BD = a, AF+BF=c,可求 +2连接OE、OD,易证OE=CE.即直角三角形的内切圆半径A（1）求证：AD是。的切线;假设AC = 6,求AD的长.

13、（1）连接0A,根据圆周角定理求出NO的度数，根据三角形的内角和定理求出NOAD,根据切线的 判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC,求出OA,根据勾股定理求出AD的长即可.【答案与解析】(1)证明:连接OA,V sinB = -, AZB=30 .2V ZAOC = 2ZB, A ZA0C = 60 .VZD=30 , .Z0AD=180 -ZD-ZA0D = 90 . AD是。的切线.ZA0C = 60 , 1AOC是等边三角形，OA=AC = 6. VZ0AD = 90 ， ZD=30 ，/.AD= 3 A0= 6V3 .【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：有半径，证垂直；有垂直，证

14、半径.举一反三：【变式】如下图，半径OALOB, P是0B延长线上一点，PA交。于I),过D作。的切线交P0于C 点，求证：PC=CD.【答案】证明：连接0D.TCE 切。于 D, AODXCE.AZ2+Z3 = 90 .V0A10B, AZP+ZA = 90 .VOD=OA, AZ3=ZA. AZP=Z2.又.N1 = N2, A ZP=Z1.A PC=CD.类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用C5.AB是。0的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作。的切线，切点为C, ZAPC 的平分线交AC于点D,求NCDP的度数.【思路点拨】连接 0C,根据题意，可知 OC_LPC, NCPD+NDPA+NA+NACO90。，可推出 NDPA+NA=45 , 即 NCDP=45。.【答案与解析】解：连接0C,VOC=OA, PD 平分NAPC,NCPD=NDPA, NA=NACO, PC为。的切线，AOC1PC,V ZCPD+ZDPA+ZA+ZAC0=90 , .ZDPA+ZA=45 , 即 NCDP=45。.