高考大题专项(五)　圆锥曲线的综合问题.docx

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1、高考大题专项（五）锥曲线的综合问题突破1锥曲线中的最大（小）值、范围问题1.（2020河南郑州模拟）已知椭圆马+0）上的点到右焦点/（。,0）的最大距离是应+1,且 Q b1,加4,4c成等比数列.求椭圆的方程；过点尸且与x轴不垂直的直线/与椭圆交于48两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点求实数2的取值范围.求椭圆。的方程;若直线/与椭圆。分别相交于两点，且炀+%8=）（。为坐标原点），求直线/的斜率的取值范 围.3.已知椭圆E的中心在原点樵点见&在y轴上，离心率等于等P是椭圆E上的点,以线段所为直径的圆经过尸2,且9耐房=1.求椭圆的方程；（2）作直线/与椭圆E交于两个不同的点MN,如果线段

2、A/N被直线2尤+1=0平分,求直线/的倾斜角的 取值范围.所以椭圆的方程为4+f=L(2)因为直线与轴垂直，且由已知得直线/与直线%=微相交，所以直线/不可能与轴垂直，所以设直线/的方程为y=kx+m.ryj - kx _1_ -vvi由Q 2 _L 2 _Q得(标+9),+2攵如+加2-9=0.因为直线/与椭圆交于两个不同的点M,N,所以 /=4后%2_4(%2+9)(根2.9)0,即加2M-9Vo.设 A/(xi,yi),N(X2j2),mi-2km贝I1Xl+X2=.r+9因为线段MN被直线2%+1=0平分，所以2x出罗+1=0,口口-2/c?!1 八即个一+1=0.+9m2-忆2-9

3、 0,z.2 9x2由等+1 = 0,得（H）-窗+9）。.3+92因为F+90,所以q-13,解得Q8或k-V3. 4k4 .解由题意知，尸iF2|=2c=2,A(2q),4 .解由题意知，尸iF2|=2c=2,A(2q),因为丽=2丽，所以仍为线段的中点，则/=3/2=2,所以椭圆方程为1+ =1.2(2)当直线与x轴垂直时,石匚生=力,此时MN=2a=2,四边形DMEN的面CLA/ 3积s二吗到=4.乙同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DMEN的面积s=叫叫必=4. 乙当直线。区政V与x轴均不垂直时，设直线DE:尸左。+1)(后0),。(即,y1),七02),代入椭圆方程，消去y可得 (

4、2+3S)f+6&+3 氏 2-6=0,X1+X2 =X1+X2 =-6fc23/-6斯凶2二谢,所以M-X2| 二所以M-X2| 二4V3xJk2+l4V3同理|MN|二2+3必任)”，所以 DE =y/k2 + 1 |xi-X21 =4V34V3(k2+l)2+3必2+3信, 2口=一些一，所以四边形DMN的面积S= r I J2+?DEiMN _ 1 22X4国(必+ 1)2+3/4码打1) _X 3 一2+4k/24(/+4+21令“必+者则s=4-6俨+24 13+6?/+ 13因为“=打,当且仅当上七时，等号成立，此时s嘿且s是以“为自变量的增 函数，则言5l,yi),N(X2,y

5、2),则 Xl+X2=-因为直线AM与直线AN的斜率之和为2,所以kAM+kAN=丫1+1 + 为+1 _ 依 1+t+1 +依2 + t+l_2k I（1+1）（巧+%2）=2k-%1%2（t+l）-4fet_z?2t2-2 -，整理得Ul-k所以直线/的方程为丁=履+/=丘+1-女二女(1)+1,显然直线y-k(x-)+经过定点(1,1). 当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为x=m.因为直线AM与直线AN的斜率之和为2,设加(九),则N(m,/所以am+Mn=巴口 + 二口 =2=2,解得加=1,此时直线/的方程为x=l,显然直线x- m m m也经过定点(1).综上,直线/恒过点(

6、1,1).4.(1)解设中点为MA到准线的距离为di,B到准线的距离为。2,用到准线的距离为d,贝! d-yM+由抛物线的定义可知a 二 |A月02二13月，所以di+d2=|A8|=8,由梯形中位线可得d=华虫=4,所以m+94. 乙乙又加=3,所以3+94,可得=2, 乙所以抛物线。的标准方程为f=4y.2证明设A(xi,yi),5(x2,y2),由x2=2y,得广;则了=工所以直线1的方程为y-y=(x-x), zppp直线L的方程为y-y2=(x-x2),联立得尸殁血,产詈，即直线/ ,/2的交点坐标为(殁合,罗)因为A8过焦点F(091)9由题可知直线AB的斜率存在，故可设直线AB方

7、程为丁普二息，代入抛物线*=2py中,得f-2依-p2=o,所以%2=-p2，产岩所以/12的交点在定直线突破3证明、探索性问题1.(1)解由题意可得c = 1,2=2, 解得a2 = b2 + c2,a = 2, b = V39所以椭圆C的方程为4+4=1.证明设 A/(xi,yi),N(X2,y2)(x#l 且 %2#1).%2 y2 联立疝+ =、消去y,y = k(x-4)得(4於+3)%2-323工+64左2-12=0.22依题意 /=(-32M)-4(4F+3)(64F-12)0,即。於3.贝| +及二 号 及=,4，因为J2/64125/2LV8一 4+3 ) 4+3，(年 1)

8、(%2-1)J2/64125/2LV8一 4+3 ) 4+3，(年 1)(%2-1)，4k + 34k + 3kMF I kNF= yi + 2-= /=4)+/%2-4) _ 碓巧二25(巧+%2)+8 _MF NFi-l %2-1 xrl %2 j _(%1-1)(%2-1) 一=0.所以直线/的倾斜角与直线N/的倾斜角互补，即NOFA = NO/B 又。尸L48,所以|E4| 二 |FB|.2 .解连接AF2,由题意得|A引二层*=|尸山|，所以30为尸1A%的中位线. 又 50，山/2,所以 AF2F1F2,卜2 p且 |AF2|二2|3。匚幺=*CL 3又离心率=1/=及+已得q2=

9、9/2=8,故所求椭圆C的标准方程为4+ 4=1. cl dy o（2）证明由题可知/的方程为1=-3/2的方程为x=3.直线/的方程分别与直线/i2的方程联立得M-3,-3%+帆）,N（3,3左+机），所以钳=（-2,-3左+加）,询=（4,3左+加），所以瓦瓦和=-8+m2_9炉.，、住比联立 98? W-（9A2+8）x2+18Z:mx+9m2-72=0.y = kx + m.因为直线/与椭圆C相切，所以/=（1弘机）2-4（93+8）（9m2-72）=0,化简得 川=93+8.所以铜 ,印二-8+9标+8-9标=0,所以铜 1 印，故/MFN书. 乙同理病=（-4广3攵+加），0?=（

10、2,3%+加）,柄 取二0,所以瓦丽1 印,/MFzN焉故/ MFN=ZMF2N.3 .解：=11-, = ；,.：3。2=4扶.2b2又 |A5|=-=3, .：a=2 力二8.:椭圆。的方程为3+5=1.4 o(2)不存在.理由如下，假设存在点P,使得而？ 1 ON.当直线/的斜率不存在时，/犹二次或尸-服与椭圆C： + y=l相交于MN两点,此时此时丽布=3-| = R。, :当直线/的斜率不存在时,不满足1前. 当直线/的斜率存在时,设尸乙十九+ - 依y2_3 -+ y/4 n立 联+ - 依y2_3 -+ y/4 0,化简得4M小.3.设 M(xi,yD,N(X2,y2),-8 k

11、m4m2-12,+X2=7/1X2=y,37n2-12 /3+4必37n2-12 /3+4必一 3+4/c，3+4/c2yyi-(kx +m)(kxi +m) =lxX2+kmx +x2)+m2=OM ON=0,4m2-12 . 3m2-12/c2 八T +t-=0,3+4fcz 3+4：7m2-12-12=0,又直线l与圆f+y2=3相切，.8=4，Ji+fc2：切2=3+36+21F-12F-12=0,解得F=-l,显然不成立,：在圆上不存在这样的点P,使加1而成立.4 .解因为点尸(2,迎)在椭圆。上，且尸产J_%轴，所以c=2.设椭圆。的左焦点为E,则 |EF|=2c=4,|P 日=&

12、.在RtAEFP中,|P6|2=尸产|2+但/平=电所以|P|二3位.所以 2a=PE + PF =4V2=2V2.Z?2=6Z2-c2=4,故椭圆C的方程为+ 4=l o 4(2)直线PA,PM,P3的斜率构成等差数列，理由如下，由题意可设直线A3的方程为 y=Z(x-2),令 x=4 得 y=2Z,点 M 的坐标为(4,2%).联立( 84 ，得QF+Df-gFx+glF-l)=。.(y = k(x-2),设 A(xi,yi),8(x2,y2),则 x +X2=设 A(xi,yi),8(x2,y2),则 x +X2=8/2k2+l8(一J),X1X2 =72kz+l设直线PA,P氏PM的斜

13、率分别为由尼法3,从而心=女色=4火3=牛卓=匕噂. X1-Z %2-，4-2 L因为直线A3的方程为y=Z(x-2),巧+%2-4%1%2-2(%1+%2)+4所以yi二%如2),y2=。(O22),所以k+e噂+若=3+乌凤2+之)=2匕内 %1.2%2-2%i-2%2-2%i-2x4)_42 看将。弋入得k+k2=2k-6 产+1 _=2左-，1 8(dl) 16k乙.222廿+ 1 2廿+ 1又依土三，所以公+左2=2角,故直线PA,PM,PB的斜率成等差数列. 乙.解(1)(方法1)由题意知，动圆圆心。到定点F(1,O)的距离与其到定直线=-1的距离相 等.由抛物线的定义,可得动圆圆

14、心C的轨迹是以方(1,0)为焦点小=-1为准线的抛物线，其 中 p=2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.(方法2)设动圆圆心C(%,y),由题意知+ y2 = |x+l|,化简得V=4x,即动圆圆心C的轨迹E的方程为丁=48.(2)存在.假设存在点N(%o,O),满足题设条件.由NQNM+NPNM=7i可知，直线PN与QV的斜率互为相反数，即 如v+%v=0.(D由题意知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线PQ的方程为x=my-2.联立 4%，得 y2-4my+8=0.(% = my-2,由 A =(-4m)2-4x8 0,W- ma故 m1),。(%2,2),则 yi+”=4九yi

15、”=8.由四得kp/kQN工+ = *-(芋。)巧-%o%2-%0(%1-%0)(2-0)所以 yi(X2-xo)+y2(xi-xo)=O,即 yX2+yvc-x()(y +yi)=0.1 1消去X1,X2,得利1资+制2资-X()(yi +2)=0,利1了2。1 +券)-回。1 +/)=0,因为所以1()二券丁2=2,所以存在点N(2,0),使得/QNM+ /PNM=11.6.解(1)设P(x,y),分析可知动圆的圆心不能在y轴的左侧，故了三0,因为动圆与直线尤=微相切,且与圆。外切，所以|PC|-(% + ；)= 所以 |PC|=x+l,所以(%-1)2 + y2=x+,化简可得产二以.存

16、在.设 A(xi,yi),5(x2,y2),由题意可知，当直线/与y轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线/的方程为x=my+6,联立.x=my+6,联立.(X = my + 6,2 A 消去X, lyz = 4x可得 y2-4my-24=0,显然 J = 16/7t2+960,则,+丫2=4血，7 y，2 = -24,所以 x +x2-(my +6)+(mj2 +6) =4m2+12,22因为工112=今孕，所以11X2=36,44假设存在N(xo,yo),使得而=0,由题意可知州二1：彩,所以y0=2m, 乙由点N在抛物线上可知xo=2即xo=m2,q又N4=(xi-xo,yi-yo),NB

17、=(X2xo,y2-yo)N/l - NB=0,则 xiX2-xo(xi+x2)+%+yiy2- yo(yi+y2)+yo=O,将代入上式化简可得3m4+16m2-12=0,即(/n2+6)(3 加2-2) =0,所以加2=,故所以存在直线3x+俑-18=0或3.、-18=0,使得MILNE4.（2020宁夏银川模拟）如图，椭圆斗+1=1（知0）的左、右焦点分别为0）/2（1,。）,直线l：x=a2 。 b交x轴于点A,且丽=2福.求椭圆的方程；（2）过点6分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于四点，试求四边形OMEN面积的 最大值和最小值.r25.（2020山东济宁一模）已知椭圆求椭圆C的标

18、准方程；过椭圆。的右焦点的直线/与椭圆。分别相交于两点,且与圆。:/+犬=2相交于E产两点，求 IABHE尸F的取值范围.突破2定点、定值问题1 .（2019北京，理18）已知抛物线。：/=2刀经过点（2,-1）.求抛物线。的方程及其准线方程.设。为原点，过抛物线。的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y=-l分别交 直线。例,ON于点A和点8求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.2 .（2020重庆模拟）已知椭圆 谆+，=1（4期0）的左、右焦点分别为品内.点用在椭圆C上运动，若 的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得为直角三角形.求椭圆。的方程；过点PQ1）

19、的直线/与椭圆。分别相交于Af两点,与尤轴交于点Q.设秘4刀，诙印而，求证乂+为定值，并求该定值.223.（202。甘肃白银联考）设椭圆。与+4=130）的左、右焦点分别为b|内,下顶点为A,。为坐标 a b原点，点。到直线”2的距离为唱ABF2为等腰直角三角形. 乙求椭圆C的标准方程；（2）直线/与椭圆C分别相交于MN两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,证明:直线/恒过定 点，并求出该定点的坐标.4.(2020湖南郴州教学质量监测)已知抛物线。4=2(/0)的焦点为F,过点尸的直线分别交抛物线 于A,5两点.(1)若以AB为直径的圆的方程为(*2)2+83)2=16,求抛物线C的标准方

20、程；过点AB分别作抛物线的切线儿公证明力的交点在定直线上.突破3证明、探索性问题221 .已知椭圆。与+ 4=1(。泌。)的右焦点为尸(1,0),离心率为直线/:尸心-4)(厚0)与椭圆。交于不同两点M,N,直线bMEV分别交y轴于两点.求椭圆。的方程；求证:|E4| 二 |五引.2.Ax如图，已知椭圆。:马+4=1（4。0）的离心率为。左、右焦点分别为尸户,4为椭圆。上一点与y a bJ轴相交于点 B,AB=F2B.OB=l求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为442,过点442分别作尤轴的垂线儿&椭圆C的一条切线 /:尸丘+/%（原0）与/i12分别交于MN两点,求证:NMQ

21、Nt/M&N.3.（2020云南曲靖模拟）已知椭圆。:马+弓=1（心/0）的离心率为:/为左焦点，过点E作x轴的垂线a b，交椭圆。于A方两点，且|AB|=3.求椭圆C的方程.在圆/+）心=3上是否存在一点P,使得在点p处的切线/与椭圆。相交于MN两点，且满足丽1 前?若存在，求I的方程;若不存在,请说明理由.22_4.(2020江西新余模拟)已知尸为椭圆。与+马=1(。0)的右焦点，点尸(2,四)在椭圆C上，且PFA.X a b轴.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,过点b的直线/分别交椭圆。于A,3两点,交直线44于点M.判断直线PA,PM,PB的斜率是 否构成等差数列?请说明理由.5.(2

22、020湖南五市十校联考)已知动圆。过定点打1,0),且与定直线x=-l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程.过点M(-2,0)的任意一条直线/与轨迹E分别相交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定 点M异于点M),使得/。凡加+/尸7仞=兀?若存在,求点N的坐标;若不存在，说明理由.6.已知圆C：Ol）2+y2=一动圆与直线相切且与圆。外切.求动圆圆心P的轨迹T的方程.若经过定点Q（6,0）的直线/与轨迹T交于两点为线段AB的中点，过M作x轴的平行线与 轨迹7相交于点N,试问是否存在直线/,使得若存在，求出直线/的方程;若不存在，请说明理 由.参考答案高考大题专项（五）圆锥曲线的综合问

23、题突破1圆锥曲线中的最大（小）值、范围问题（a + c = V2 + 1, （a = V2921.解由已知可得，1 x 4c = 2a2,解得 b = 1,所以椭圆的方程为+）a=L （a2 = b2 + c2, （c = 1,由题意得网1,0）,设直线AB的方程为y=x-l）.与椭圆方程联立得 “丁；：=。消去y可得（1 +23濡-4人+2您-2=0.设4用）乃（孙”）,则 ly KX-L）,2/2XI +X2= 4k yi +,2=Z（X1 +12）-2Z=-日 2 可 得线段 43 的中点为 N（ 2* -f 2）.当 k=0 l+2k1+2-l+2k l+2/cz时，直发MN为y轴，此

24、时7n=0.2当以0时，直线N的方程为y+=4（%-上工），1+2/ 八 l+2k”化简得ky+x-k21+2必=0.令 y=0,得k2x=l+2fc?+2?+2综上所述,实数机的取值范围为o)2.解(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-g,0),所以点到两焦点的距离之和为J(2相)2 +白4.所以。=2.又C=K,所以匕=1,所以椭圆。的方程为5+y2=l.(2)当直线/的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知火不符合题意.故设直线/的方程为y=+皿0),A(xi,yi),3(X2,y2),；%2联立 4 +y 一 可得(4攵2 + 1)/+ 8如吐+4(22.1)=0.则为+%2=/iX2=4(9 -1).而y = kx + m,4k +1 4k +1k0A+k0B +上=(5+m)%2+(入2 +*巧=2一+吗垃=2k+盘之=生 x1 %2%i%2%i%24(mz-l) mz-l由 上。4+%5=-5,可得 m2=4k+l,乙又由/0,得16(4斤-川+1)0,所以必必。,解得k。或Q1,综上，直线/的斜率的取值范围为H，0)u(l,+oo).223,解(1)依题意，设椭圆的方程为马+等=1(0),半焦距为c a b因为椭圆E的离心率为空，所以C二学力2=。2_。2=3.因为以线段为直径的圆经过点b2,所以PF2F1F2.,2所以|PF2匚匕.因为9函配=1,所以9质F二%1.