名师教学设计《椭圆》示范教学教案.docx

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1、椭的性质教学设计【教学目标】1 .知识目标：(1) .使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆标 准方程中a、b、c的几何意义及相互关系；(2)通过对椭圆的标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数 方法研究曲线性质的，逐步领会解析法(坐标法)的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2 .能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。3 .德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、 欣赏数学。人(2)通过“神

2、舟五号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创 新的精神。【教学重点和难点】教学重点：椭圆性质的探索过程及性质的运用。教学难点：利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学工具】多媒体课彳牛、实物投影仪。【教学过程】一.创设情境教师：请同学们看大屏幕(课件展示“神舟十三号”飞船在变轨前绕地球运 行的模拟图)：在2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载 火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十

3、三 号载人飞船与火箭成功别离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3 名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中 心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球外表最近和最远的距 离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方 程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起 探求椭圆的性质。(引出课题)教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程(学 生回答)二.探索研究1 .对称性的发现与证明教师:椭圆的图形给人们以视觉上的美感(课件展示

4、椭圆)，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜测椭圆可能有 什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆 拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜测得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在X22轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是二十二二1CT b教师：这节课就以焦点在X轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y

5、轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。当学生在尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方 向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么 把x换成-x时，方程不变，那么椭圆关于y轴对称”。请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完 整性和推理的严谨性。教师对学生的

6、证明进行评价。教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称，关于原点对称。课件展示22对称性并总综方程方22对称性并总综方程方=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴，有一个对称中心（简称中心）.教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究 椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。投影显示下列图及问题问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆 的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。(此问题也为后面研

7、究平 移变换埋下伏笔)。2 .顶点的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比拟特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。教师启发学生与一元二次函数的图象(抛物线)的顶点作类比，并给出椭圆 的顶点定义教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究，求出四个顶点坐标。即令x=0,得y=b,因此&(0, -b),B2 (0, b) 9 令 y0,得 X 3,因此 Ai (3, 0), A? (a, 0) 0结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半

8、轴长、短半轴长，半焦距, 点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A- A2的距离分别为a+c 和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。3 .图形的范围教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过Ai、A2作y轴的平行线，过3、B2作x轴的平行线(课件展示)，同学们能发现什么？学生能答出：椭圆围在一个矩形内。教师补充完整：椭圆位于四条直线x=a,y=b所围成的矩形里，说明椭圆 是有范围的。教师：下面我们想方法再用方程x2=l(ab0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。 从方程的结构

9、特点出发，师生共同分析，给出证明过程。二1,利用两个实数的平方和为1,结合不等式知识得,x2 Wa?且 y2 Wb?,那么有 | x | Wa, I y I Wb,所以一aWxWa,-bWyWb。4 .离心率教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗？同学们能回答出：不一样，有的圆一些有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=a,y=b围成的矩形 里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

10、矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变 为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。即当比值巳越小，椭圆越扁；比值巳越大，椭圆越接近于圆。aa由于2二运三 他三二a a a a当越大时，2越小，椭圆越扁；当越小时，2越大，椭圆越接近于圆。aaaa把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0b0）o下面该确定的a、b值了，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离 以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。I F2A | =6371+200 , I F2B | =6371+350又I F2 A | = | o A | -

11、 | 0F2 I =a-c因此，有 a-c= I o A I - I oF2 I = I F2 A I =6371+200=6571同理，得 a+c= I o B I + I oF2 I = I F2B I =6371+350=6721解得 a=6646,c=75b2=a2-c2= （a+c） （a-c） =44163691 6645. 582因此，飞船的轨道方程为因此，飞船的轨道方程为226646y + 6645 8y=1学生可能出现的另一种解法：由 2a = I AB I = I BN I + I NM I + I MA | =350+2X6371+200a =6646c = I oF2

12、| = I 0 A I - I F2 A I =6646-6371-200=75以下做法同上。计算过程由学生用计算器求得。教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。四.总结提炼教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识)1 .知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质，掌握这些性质我们是 解决有关问题的基础。2 .数学思想:本节主要用到数形结合、猜测、类比的思想方法，平时学习中 注意运用。3 .数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法一一解析法(坐标 法)，这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。五

13、.研究性作业(1) .以椭圆这局部内容为知识背景，以自述体的形式写一篇200字左右数学小 短文,题目为我的自述，下次课进行展读。(本作业意图是，通过短文的形式 让学生反思学习过程，增强对椭圆知识的理解与领悟，提高学生数学表达能力， 拓展思维，彰显个性。)(2) .在生活中椭圆图形，把你最喜欢的两个图形建立两种不同形式的标 准坐标系，写出标准方程，指出它们的性质。(3) .自己查阅相关数据，编拟题目，利用椭圆的性质解决一个天体运行中的 实际问题。(此题为增强学生的应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题 的能力。)六,课外阅读推荐一本科普读物探索形状奥秘。(本书知识性、趣味兴很强，它图文并茂地揭示了人们日常目睹的各种形状 中蕴涵的科学道理，其中包括椭圆、抛物线等多种曲线。通过阅读欣赏，进一步 激发职中学生对数学的兴趣和探索的欲望，培养学生科学素养。)板书设计椭圆的性质一.性质、x2 y2以方程+ = 1 (a b 0)为例研究 a b.对称性.椭圆关于x轴、y轴及原点对称.1 .顶点.顶点坐标:(a,0), (-a,0), (0,b),(0,-b).2 .范围.椭圆位于x=a,y=b围成的矩形内.3 .离心率.e= (0el)a二.应用