全等三角形中做辅助线的技巧.pdf

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1、 全等三角形中做辅助线的技巧 口诀：三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一

2、般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（）、截取构全等 如图1-1，/AOCh BOC如取OE=OF并连 接DE DF,则有 OEDA OFD从而为我们证 明线段、角相等创造了条件。例 1.如图 1-2，AB/CD，BE平分/BCD CE平分/BCD 点 E 在 AD上,求证：BC=AB+CD 例2.已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD=/CAD DA=DB 求证 DC!AC D

3、C 例3.已知：如图1-4，在 ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？练习 1.已知在 ABC中,AD平分/BAC/B=2/C,求证：AB+BD=AC 2.已知：在厶 ABC中,/CAB=/B，AE平分/CAB交 BC于 E，AB=2AC 求证：AE=2CE 3.已知：在厶ABC中,ABAC,A为/BAC的平分线，M为AD上任一点 求证：BM-CMAB-AC 图1-4 4.已知

4、：D是厶ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DB DC 求证：BD+CDAB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 问题。例 1.如图 2-1，已知 ABAD,Z BACM FAC,CD=BC 求证：/ADCZ B=180 分析：可由C向Z BAD的两边作垂线。近而证Z ADC 与Z B之和为平角。例2.如图 2-2，在 ABC中,Z A=90,AB=ACZ ABDZ CBD 求证：BC=AB+AD 图2-1 例3.已知如图2-3，ABC的角平分线BM CN相交于点 P。求证：Z BAC 的平分线

5、也经过点P。分析：连接AP,证AP平分Z BAC即可，也就是证P到AB AC的距离相等。练习：A1.如图 2-4 Z AOPZ BOP=15，PC/OA PDLO 分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造出 全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。M F C C P O 图2-4 D 图3-2 女口果 PC=4 贝U PD=()A 4 B 3 C 2 D 1 2.已知在厶 ABC中，/C=90,AD平分/CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3.已知：如图 2-5,/BACK CAD,ABAD CEAB 1 AE=2(AB+AD.求

6、证：/D+Z B=180。4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC 上的点，Z FAEZ DAE 求证：AF=AD+CF 5.已知：如图 2-7，在 Rt ABC中,Z ACB=90,CD丄AB,垂足为 D,A E平分Z CAB交 CD于 F,过 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角

7、的另一 边相交）。例 1.已知：如图 3-1,Z BADZ DAC ABAC,Ct!AD于 D,H是 BC中点。1 求证：DH=2（AB-AC 分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证 例2.已知：如图 3-2,AB=ACZ BAC=90,AD为Z A BC的平分线，CE!BE.求证：BD=2CE C F E AD=AB CML AD 交 AD 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线 与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长 交

8、AE于M 求证：AM=ME 分析：由AD AE是/BAC内外角平分线，可得EA 丄AF,从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4，在 ABC中，AD平分/BAC 1 延长线于 M 求证：AM=2(AB+AC 分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作 AB 1 D关于AD的对称 AED然后只需证DM=2EC,另外 1 由求证的结果AM=2(AB+AC,即2AM=AB+AC也可 尝试作 ACM关于CM的对称 FCM然后只需证DF=C F即可。练习：1.已知：在厶ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中点，AE是/BAC的平分 线，且CELAE于E

9、,连接DE,求DE 2.已知BE、BF分别是 ABC的/ABC的内角与外角的平分线，AFLBF 1 于F,AE1 BE于E,连接EF分别交 AB AC于 M N,求证MN=BC E 图 如图,AB/CD AE DE分别平分Z BAD各Z ADE 求证：AD=AB+GD（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。例 4 如图，ABAC,/仁/2,求证：AB-ACBDCD 例 5 如图，BCBA BD平分/ABC

10、且 AD=CD 求证：/A+Z C=18Q 图4-2 B 练习：1.已知，如图，/C=2/A,AC=2BC求证：ABC是直角三角形 2.已知：如图，AB=2AC/仁/2,DA=DB 求证：DCLAC 3.已知CE人。是厶ABC的角平分线，/B=60,求证：AC=AE+CD 4.已知：如图在 ABC中,/A=90，AB=AC BD是/ABC的平分线，求证:BC=AB+AD c C C（1）由线段和差想到的辅助线 口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明

11、剩下部分等 于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可 连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1、已知如图 1-1：D、E ABC 内两点，求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在厶 AMN中,AM+ANMD+DE+NE；）在厶 BDM中,M

12、B+MDB（2）在厶 CEN中,CN+NECE（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G 在厶ABF和 GFCffiA GDE中有：（1）AB+AFBD+DG+G三角形两边之和大于第三边）图1 图1-GF+FOGE+CW上)(2)DG+GED0同上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内 角时如直接证不出来时，可连接两点

13、或延长某边，构造三角形，使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定 理:例如：如图2-1:已知D ABC内的任一点，求证：/BDC/BAC。分析：因为/BDC与/BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当 添加辅助线构造新的三角形，使/BDC处于在外角的位置，/BAC处于在内角 的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/BDC EDC勺外角，/BDC2 DEC 同理/DEC2 BAC BDC2 BAC 证法二：连接AD并廷长交BC于F,这时/BDF是 ABD的 夕卜角，/BDF2 BAD 同理，/CDF*CAD BDF+/CDF*BAD*CAD

14、 即：/BDC*BAC 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,如：例如：如图3-1：已知AD ABC的中线，且*仁/2*3=/4,求证:BE+CFEF。分析要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定 理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由 已知/仁/2，*3=*4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF移到同个三角形中 证明：在DN上截取DN=DB连接NE NF,贝U DN=D C 在厶 DB

15、E?3 NDE中:图2-1 DN=D（辅助线作法）“/仁/2（已知）-ED=E（公共边）DBEA NDE（SAS BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF 在厶EFN中 EN+FNEF三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1:在 ABC中,ABAC/仁/2,P为AD上 任一点 求证：AB-ACPB-PC 分析:要证：AB-AOPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为 欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而

16、想到构造第三边 AB-AC，故可 在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN贝U PC=PN又在 PNB中,PB-PNvBN 即：AB-ACPB-PC 证明：（截长法）在 AB上截取 AN=AC连接 PN,在厶 APNffH APC中 rAN=AC（辅助线作法）仁/2（已知）AP=AP（公共边）APNA APC（SAS,二PC=P（全等三角形对应边相等）在厶BPN中，有 PB-PNvB（三角形两边之差小于第三边）BP-PCvAB-AC 证明：（补短法）延长AC至M 使AM=AB连接PM 在厶 ABP AMP中 AB=A（辅助线作法）/仁/2（已知）AP=AP（公共边）ABPA AM

17、P（SAS PB=P（全等三角形对应边相等）又.在 PCM中有：CMPM-PC三角形两边之差小于第三边）AB-AOPB-PC A C I M 求证：/ADC#B=18G0 例1如图,例 2 如图，在四边形 ABCD中,AC平分/BAD,CEAB于 E,AD+AB=2AE 例4如图，已知 Rt ABC中，/ACB=90,AD是/CAB的平分线，DMLAB 1 于 M,且 AM=MB求证：CD=2 DB【夯实基础】例：.ABC中，AD是/BAC的平分线，且 BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E，作DF丄AC于F，证明二次全等 方法2:辅助线同上，利用面积 方法3:倍长中线AD【方法

18、精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC N A=108,BD平分N ABC 求证：BC=AB+DC 【经典例题】例1:A ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线 AD，利用三角形两边之和大于第三边B ABC 中 AD是BC边中线 方式1:延长AD到E，使 作CF丄AD于F，作BE丄AD的延长线于E 连接BE A A B-延长MD到N,使 DN=MD 连接CD DF=EF，求证：BD=CE 方法 方法 方法 过 D 作 DG/AE 交 BC 于 G,证明 DGF CEF 过E作EG/AB交BC的延长线于 G,

19、证明 EFG DFB H D 过D作DG丄BC于G,过E作EFU BC的延长线于 证明 BDG ECH 例3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC，延长BE交 AC 于 F,求证：AF=EF 提示：倍长 AD至G,连接BG,证明 BDG A CDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在 MBC中，AB式AC,D E在BC上,且DE=EC过D作DF/BA 交 AE于点 F,DF=AC.求证：AE平分.BAC 提示：方法1:倍长AE至G,连结DG 方法2:倍长FE至H，连结CH 例 5:已知 CD=AB，/BDA=/BAD,AE 是厶 ABD的 中线，求

20、证：/C=/BAE 提示：倍长AE至F,连结DF 证明 A ABEA FDE(SAS 进而证明 A ADFA ADC(SAS【融会贯通】1、在四边形 ABCD中，AB/DC,E为BC边的中点，/BAE=/EAF,AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 例2:已知在 ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且 F E A 提示：延长AE、DF交于G 证明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如图，AD为 ABC的中线，DE平分/BDA交AB于E,DF平分/ADC交AC于F.求 证：BE CF EF

21、提示：方法1:在DA上截取 DG=BD，连结EG、FG 证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2:倍长ED至H，连结CH、FH 证明 FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 3、已知：如图,ABC 中,.C=90,CM _AB 于 M,AT平BAC于T,过D作DE/AB 交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TN丄AB于N 证明 BTN ECD 1.如图，AB/CD AE DE分别平分/BAD各Z ADE 求证：AD=AB+C。在AE的异侧,2.如图，ABC中，Z BAC=90,AB=AC AE是过 A的一条直线

22、，且 B,C A A B C BDL AE于 D,CELAE于 E。求证：BD=DE+CE 四、由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到 三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 1 即如图 1，AD是 ABC的中线，贝U SAABD=SACE=1SAABC（因为 ABD与 ACD 是等底同高的）例1.如图2，A ABC中,AD是中线，延长

23、AD到E,使DE=AD DF是A DCE 的中线。已知A ABC的面积为2,求：A CDF的面积。解：因为AD是A ABC的中线，所以SAAC=SAABC=-X 2=1，又因CD是 A AC E 的中线，故 SA CD=SAAC=1，因DF是ACDE的中线，所以5CD=壇X仁。A CDF的面积为图5 （二八 由中点应想到利用三角形的中位线 例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD E、F分别是BC AD的中点，BA CD的延长线分别交EF的延长线 G 耳求证：/BGEM CHE 证明：连结BD并取BD的中点为 M 连结ME MF ME是 A BCD勺中位线，ME CD 二/MEFM CHE

24、=2 MF是 A ABD的中位线,MF AB/MFEM BGE=2 AB=CD 二 ME=MF/MEFM MFE 从而/BGEM CHE （三）、由中线应想到延长中线 例3.图4,已知A ABC中,AB=5 AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长。解：延长 AD至U E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2=4。在 ACD和 EBD中,AD=EDZ ADCh EDB CD=BD ACD A EBD 二 AC=BE 从而 BE=AC=3 在 A ABE中，因 AU+BE=42+32=25=AB,故/E=90,BD=一尸=：-，=匸，故 BC=2BD=2?例4.如图5,已知A ABC中,AD是

25、/BAC的平分线,是BC边號陶 B4 A 图5 上的中线。求证：A ABC是等腰三角形。90 证明：延长 AD到E,使DE=AD 仿例3可证：BE医 CAD 故 EB=ACZ E=Z2,又/仁/2,/仁/E,AB=EB从而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜边中线的性质 例 5.如图 6,已知梯形 ABCD中,AB/DC,AC丄BC ADLBD,求证：AC=BD 证明：取 AB的中点E,连结DE CE贝U DE CE分别为Rt ABD Rt ABC 斜边AB上的中线,故 DE=CE=AB,因此/CDEM DCE 2 AB/DC,/CDEM 1,/DCEM 2,/仁/2,在 A

26、DE和 BCE中,v DE=CE/仁/2,AE=BE ADEA BCE二AD=BC从而梯形 ABCD是等腰梯形,因此 AC=BD（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例6.如图7,ABC是等腰直角三角形,/BAC=90,BD平分/ABC交AC 于点D,CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE 证明：延长BA CE交于点F,在 BEF和 BEC中,v/仁/2,BE=BE/BEF=/BEC=90,BEF BEC 二 EF=EC 从而 CF=2CE 图7 90 又/1+/F=/3+/F=90,故/仁/3。在 ABD和 ACF中，v/1=/3,AB=AC/BAD/CAF=

27、ABD A ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE 注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线（六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。例一：如图 4-1:ABC的中线，且/仁/2，Z 3=Z 4，求证：BE+CF EF0 证明：廷长ED至M 使DM=D，连接CM MF0 在 BDE?3 CDM中,r BD=C（中点定义）“/仁/5（对顶角相等）ED=M（辅助线作法）BDEA CDM（SAS 又/仁/2，Z 3=Z 4（已知）/1+Z 2+Z 3+Z 4=180（平角的定义）/3+Z 2=90

28、 即：/EDF=90 /FDMM EDF=90 在厶 EDFm MDF中 ED=M（辅助线作法）|/EDFW FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFA MDF（SAS EF=MF（全等三角形对应边相等）在 CMF中,CF+CMMf三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF A 图4-1 上题也可加倍FD,证法同上 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构 造全等三角形，使题中分散的条件集中 例二：如图5-1:ABC的中线，求证：AB+AC2AD 分析：要证 AB+AC2AD 由图想到：AB+BDAD,AC+CDA以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2A左边比要证结

29、论多BD+CD故不能直接证出此题，而由 2AD想 到要构造2AD即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至 E,使DE=AD连接BE,CE ABC的中线（已知）BD=C（中线定义）在厶ACDfA EBD中 BD=C（已证）/仁/2（对顶角相等）AD=ED辅助线作法）ACDA EBD（SAS BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边）AB+AC2A。练习:1如图，AB=6 AC=8 D为BC的中点，求AD的取值范围 2 如图，AB=CD E为 BC的中点，/BACK BCA 求证：AD=2AE E 图5-1 B E C 3

30、如图，AB=ACAD=AEM为 BE中点，/BACK DAE=90。求证：AML DC 4,已知 ABC AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外 作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD 5.已知：如图ABC的中线，AE=EF BF=AC 常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思 维模式是全等变换中的“对折”2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等 三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的

31、“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质 加以说明.E D E 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶 点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.（一）、倍长中线（线段）造全等 1:（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5,AC=3贝忡线AD的取值范围是

32、 2:如图，ABC中,E、F分别在AB AC上,DEIDF,D是中点，试比较 B E+CF与 EF的大小.3:如图，ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.中考应用（09崇文二模）以 ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰RtBD和等 腰RL ACE，BAD-CAE=90,连接DE,M N分别是BC DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是 _ -?线段AM与DE的数量关系是 _;C 2:如图,BD（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转二（0厂90）后,如图所示，（1）问中得到的两个

33、结论是否发生改变？并说明理由.（二）、截长补短 1.女口图，AABC 中,AB=2AC AD平分乂BAC，且 AD=BD 求证：CDLAC o o ABC 内，NBAC=60,NC=40,p,Q 分别在 BC,CA 上，并且AP,BQ分别是 BAC,=AB+BP U C AC/Q 4:如图，在四边形 ABCD中，BC BA,AD=CD BD平分 NABC，求证:A C=180 5:如图在 ABC中，ABAC,/1=Z 2,P为AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC中考应用（08海淀一模）如图，在四边men中点E是朋 上一个动点若Z.r=60%4B=Btfl 刿断 W卜1E埼BC的尖系并证

34、明你的结论 例题讲解:、利用转化倍角，构造等腰三角形C C 当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰 三角形 如图中 如图中 是等腰三角形；如图中 AlZ，若/，若/ABC=2/C,ABC=2/C,如果作BD平分/ABC,则厶DBC是等腰三角形；如果延长线 CB到D，使BD=BA，连结 AD，则 ADC 如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ACD=Z ACB，交BA的延长线于点 D，则 DBC是等腰三角形，若/B=2/ACB,A A A D C C B B A il C B A B 9 ABC ABC 2、如图 C D 1如图 中，AB=AC,B

35、D丄AC交AC于D.求证 中，/ACB=2/B,BC=2AC.求证：/A=90 DBC 2 1/BAC D B、利用角平分线 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形 如图中，若 AD平分/BAC,AD/EC,则 ACE是等腰三角形;+平行线，构造等腰三角形 AlZ 4、如图，ABC中,求证：EF/AB.AD 平分/BAC,E、F 分另【J在 BD、AD 上，且 DE=CD,EF=AC.3、如图，ABC中，AB=AC,在AC上取点P,过点P作EF丄BC,交BA的延长线于点 E,垂足为点F.求证：.AE=AP.三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平

36、分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形 若AD平分/BAC,AD丄DC，则 AEC是等腰三角形.如图中，AD平分/如图中，AD平分/如图中，AD平分/BAC,DE/AC,贝U ADE是等腰三角形;BAC,CE/AB,贝U ACE是等腰三角形;A E A E A G BAC,EF/AD,贝U AGE是等腰三角形.F.如图1中,A D 图1 5、如图 2,已知等腰 RtA ABC 中，AB=AC,/BAC=90 BF 平分/ABC,CD 丄 BD 交 BF的延长线于 D。求证：BF=2CD.四：其他方法总结 1截长补短法 6、如图，已知：正方形 ABCD中，/BAC的平分线交 BC于E,求证：A

37、B+BE=AC.2 倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将 分散条件集中在一个三角形内。C 求证：AC=BF P C 图（2）7、如图（7）AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.8、已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 形，如图，求证EF=2ADb 3.平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的中线.9、A ABC 中，/BAC=60。，/C=40 AP 平分/BAC 交 BC 于 P,BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.说明：本题也可以在 AB截取AD

38、=AQ，连0D,构造全等三角形，即“截C A Q 0 E A Q D O P 图（1）长补短法”.本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（1）,过O作OD/BC交AC于D，则 ADO ABO 来解决.如图（2）,过O作DE/BC交AB于D，交AC于E,则厶 ADO AQO,ABO AEO 来解决.D 如图（3）,过P作PD/BQ交AB的延长线于 D，则 APD APC来解决.如图（4）,过P作PD/BQ交AC于D，则 ABP ADP来解决.10、已知：如图，在 ABC中，/A的平分线 AD交BC于D，且 AB=AD，作 CM丄AD 交AD的延长于M.1 求证：AM=(AB+AC)2 巩固

39、练习 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D,E分别为 ABC的AC,BC边的中点，将此三角图（3）图（4）32,且 AB=AC,AD _BC 于 D，ACD 的周 形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若NCDE=48则N APD等于（）A.42 B 48 C 52 D 58 2（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 3、（2009宁夏）如图，ABC的周长为 长为24，那么AD的长为 _ 4、（09年达州）长度为2 cm.3 cm.4 cm.5 c血的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形 的概率是 _ 5、如图，在 ABC 中，AD 丄 B

40、C 于 D，且/ABC=2/C.求证：CD=AB+BD.6、如图，在 ABC中，/BAC、/BCA的平分线相交于点 O，过点O作DE/AC，分别交 AB、BC于点D、E.试猜想线段 AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由 7、（2009年长沙）如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点，BE/DF，求 证：AF 二CE B D A D E B 8、AD为 ABC的中线，求证：AB+AO2ADb 9、已知 口为厶ABC内的任一点，求证：/BDCZ BAG 10、（2009年宁德市）如图（1）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上,（1）遇到等腰三角形，可作底

41、边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。1、已知，如图1,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC BD平分/ABC E是BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形 AEFG.（1）连接 GD，求证：ADG ABE；（2）连接FC,观察并猜测/FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD,AB=a,BC=b（a、b为常 数）,E是线段BC上一动点（不含端点B、C）,以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG,使顶点G恰好落在射线 FCN的大小是否总保持变 图（1）图 求证：/BAB/BCI=180 2、已知，如图2,/仁/2,P为BN上一点，且PD丄BC于点D,ABFBC=2BD 求证：/BAP/BCf=180o 图2 3、已知，如图 3,在厶 ABC中,/C=2/B,/1=/2。求证：AB=A(+CD 4已知，如图4,D E为ZiABC內两点，求证；AB+ACBD+DE+CE.Ao 5、如图5,AD为ZiABC的中线，求证：AB+AC2AD.图5 6、如图6所示，AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF。求证：AC=BF.图6 衿你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生I 二7命的材料 富兰克林I