怎样证明两线段相等与两角相等.pdf

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1、 怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.怎样证明两线段相等 证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：三角形两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；角

2、平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；证特殊四边形平行四边形的对边相等、对角线互相平分；矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；圆同圆或等圆的半径相等；圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；等量代换：若 a=b，b=c，则 a=c；等式性质：若 a=b，则 ac=bc；若cbca

3、，则 a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比 例的性质等证明线段相等.怎样证明两角相等 证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：同角（或等角）的余角、补角相等；证明两直线平行，同位角、内错角相等；到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；全等三角形、相似三角形的对应角相等；同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；

4、通过计算证明两角相等；等量代换，等式性质.【典题精析】例 1 已知：如图，分别延长菱形 ABCD 的边 AB、AD 到点 E、F，使得 BEDF，连结 EC、FC求证：ECFC 分析一 要证明 ECFC，可通过证明BCEDCF，条件为边角边 证明一 菱形 ABCD，BC=DC，ABC=ADC，CBE=CDF(等角的补角相等)又BEDF，BCEDCF，ECFC.分析二 连结 AC，证明ACEACF，条件也为边角边 证明二 连结 AC，菱形 ABCD，AB=AD，BAC=DAC，（菱形的对角线平分一组对角）BE=DF AE=AF（等式性质），又 AC=AC ACEACF，ECFC.通过证三角形全等

5、来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例 2 已知：AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接 AC，过点 C 作直线 CDAB 于点 D，E 是 AB 上一点，直线 CE 与O 交于点 F，连结 AF，与直线 CD 交于点 G.求证：ACD=F；AC2=AGAF.分析 要证明ACD=F，可通过角之间的转化，已知中 AB 是O 的直径是关键的条件，连结 BC，得ACB=90，ACD=B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），F=B，（同弧所对的圆周

6、角相等）.证明：连结 BC，AB 是O 的直径，ACB=90（直径所对的圆周角为直角），即ACD+DCB=90 CDAB DCB+B=90，ACD=B（同角的余角相等）F=B，ACD=F（等量代换）.略 证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联 系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例 1 图 CBDFEA EODGFBAC 例 3 已知：如图，四边形 ABCD 内接于O，过点 A 的切线与 CD 的延长线交于 E，且ADE=BDC.求证：ABC 为等腰三角形；若 A

7、E=6，BC=12，CD=5，求 AD 的长.分析 条件ADE=BDC 的转化：ADE=ABC，（圆的内接四边形的外角等于内对角）BDC=BAC（同弧所对的圆周角相等），可得ABC=BAC，ABC 为等腰三角形.证明：四边形 ABCD 内接于O，ADE=ABC，BDC=BAC，又ADE=BDC ABC=BAC CA=CB（等角对等边）即ABC 为等腰三角形.例 4 已知：如图，正ABC 的边长为 a,D 为 AC 边上的一个动点，延长 AB 至 E 使 BE=CD，连结 DE，交 BC 于点 P.求证：DP=PE；若 D 为 AC 的中点，求 BP 的长.（略）分析 要证明 DP=PE，DP、

8、PE 不在同一三角形中，考虑证三角形全等，但两线段居于的三角形不全等，故考虑添加辅助线平行线，构筑全等的三角形.证明：过点 D 作 DFAB，交 BC 于 F ABC 为正三角形 CDF=A=60 CDF 为正三角形，DF=CD 又 BE=CD，BE=DF 又 DFAB，PEB=PDF 在DFP 和EBP 中，有：PEB=PDF，BPE=FPD，BE=FD DFPEBP，DP=PE.添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.该问题中添加平行线有多种方法，可以自所证线段的各分点处作平行线，如：过点D 作 DFBC，过

9、点 E 作 EFAC 等.思考：若将条件正ABC 改为等腰ABC，AB=AC，结论 DP=PE 是否仍成立？若将条件正ABC 改为等腰ABC，CA=CB，结论 DP=PE 是否仍成立？例 5 已知：ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE，DGCE，G 是垂足，求证：G 是 CE 的中点；B=2BCE.分析：已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明 G 是 CE 的中点，结合已知条件 DGCE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结 DE，证明DCE 是等腰三角形，由 DGCE，可得 G 是 CE 的中点.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，

10、B 转化为EDB.FCPDEBA EGACDB ODBCEA 证明：连结 DE，ADB=90，E 是 AB 的中点，DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又DC=BE，DC=DE，又DGCE，G 是 CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.DE=DC，DCE=DEC（等边对等角），EDB=DEC+DCE=2BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又DE=BE，B=EDB，B=2BCE 直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线

11、.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例 6 如图，O 的内接ABC 的外角ACE 的平分线交O 于点 D，DFAC，垂足为 F，DEBC，垂足为 E，给出下列 4 个结论：CE=CF；ACB=EDF；DE 是O 的切线；=DB；其中一定成立的是（）A.B.C.D.分析 可证得CDFCDE，得 CE=CF 成立；ACB 和EDF（无直接关系，找相关的角）：ACB 与ACE 邻角互补，EDF也和ACE 互补(四边形的内角和 360)，同角的补角相等，即ACB=EDF；所对的圆周角为DCA，DB所对的圆周角为DAB，DAB=DCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又DCA=

12、DCE，DCA=DCE，DA=DB，故选 D.一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.【智能巧练】如图，ABC 中，B 的平分线与ACB 的外角平分线相交于点 D，则D 与 A 的比是_ ABCED BCPP A 如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合.如果 AP=3，那么 PP的长为_.FDA BCEO 如图，B、C 的平分线交于点 P，过点 P 作 EFBC，交 AB 于 E，交

13、 AC 于 F，则()A.EF=EB+FC B.EFEB+FC C.EFAC C.2AB2CD C.AB2CD D.不能确定 如图，已知：平行四边形 ABCD 中，E 是 CA 延长线上的点，F 是 AC 延长线上的点，且 AE=CF 求证：E=F；BE=DF 如图，ABC 中，高 BD、CE 交于点 F，且 CG=AB，BF=AC，连接 AF，求证：AGAF FGEDBCA MDEFCBA EOCDBA 第 4 题 第 5 题 第 6 题 RtABC 中，A=90，AB=AC，D 为 BC 上任意一点，DFAB，DEAC，垂足分别为 F、E，M 为 BC 中点，试判断MEF 是什么形状的三角

14、形，并说明之.如图，AB 是O 的直径，DC 切O 于 C，ADDC，垂足为 D，CEAB，垂足 E 求证：CD=CE.已知：如图，AD 是ABC 外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D.延长 DA交ABC 的外接圆于点 F.EFCBDA 求证：FB=FC；若2 3,4 3FAAD，求 FB 的长.HNMCDBA 第 7 题 第 8 题 梯形 ABCD 中 AB/CD，对角线 AC、BD 垂直相交于 H，M 是 AD 上的点，MH 所 在直线交 BC 于 N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题.AD=BC MNBC AM=D

15、M【探索创新】探求：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，并证明：距离之和是一个定值 已知：如图，AB=AC，P 为 BC 上任意一点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，探求证明：PEPF 为定值.分析 探索定值 由 P 在 BC 上任意性知，当 P 移动到顶点 C 时，PE 即为 C 到 AB 的距离，PF 为 0，此时 PE+PF 等于 C 到 AB 的距离.故作高 CD，猜想 PE+PF 等于一腰上的高.证明定值 截长或补短法 过点 P 作 PGCD 于 G，易证得矩形 DEPG，得 PE=DG；同时易证CPGPCF，得 PF=CG，PE+PF=DG+CG=CD.面积法 题中有多个

16、与高有关垂直关系，又 AB=AC，联想面积法 连结 AP，21SABCABCD，21SABPABPE，21SAPCACPF ABCS=ABPS+APCS，即 ABCD=ABPE+ACPF 又 AB=AC PEPF=CD.运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法 求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值 求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值【答案点击】B C D E A F GDEFPCBA 12 23；A B C；证明ABECDF，或连结ED、FB，证明平行四边形 EBFD；证明CAGBFA，G=BAF，G+GAE=90，BAF+

17、GAE=90，AGAF；MEF 是等腰 Rt，连结AM，证AMEBMF 连结 AC，由 DC 切O 于 C，得 OCDC，ADDC，AD/OC，可证得 AC 是DAB 的角平分线，得 CD=CE DAC=FBC，EAD=FAB=FCB，DAC=EAD，FBC=FCB 证明FBAFDB，得 FB=6 题设 结论 证明略 怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的

18、方法通常有折半法、加倍法、比例法.证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.证明过程中常用的定

19、理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.【典题精析】例 1 已知：E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且 CE=DC，连结 AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于 O，连结 OF，求证：AB=2OF.分分析 题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质，且中点条件居多，可考虑用中位线 证明：连结 BE，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，AO=CO，CE=DC ABCE，四边形 ABEC 为平行四边形，BF=FC，OFAB，AB=2OF 线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例 2 已知：A

20、BC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，GOFEBCDA BDAE 于 D，CEAE 于 E，求证：若 B、C 两点分别在 AE 的异侧，BD=DE+CE；若 B、C 两点分别在 AE 的同侧，其余条件不变，则 BD 与 DE、CE 的关系如何，证明你的猜想.DEBCA CBEAD 分析 一条线段等于两线段之和，这里可找到与 BD 相等的线段 AE，易证得BADACE，同时 AD=CE，故 BD=AE=AD+DE=CE+DE（等量代换），问题得证.同理，易证得BADACE，故 BD+CE=AE+AD=DE.证明：略 例 3 如图，ABC 內接于圆，D 是弧 BC 的中点

21、，AD 交 BC 于 E，求证：ACADAEAB 分析 要证明这四条线段成比例，可放入两三角形ABD、AEC，证三角形相似，条件有两个：D=C，BAD=CAD（等弧所对的圆周角相等）证明：D 是弧 BC 的中点，BAD=CAD D=C，ABDAEC ACADAEAB 例 4 已知：如图，等腰ABC 的顶角为锐角，以腰 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E，DFAC，垂足为 F 求证：FAFEDF2 分析一把线段放入两个三角形中，证两三角形相似 证明一 连接 AD、DE，AB 为直径，ADC=ADB=90，在DEF 和ADF 中，AFD=DFE=90 DEF=ABC=C，ADF=9

22、0DAC=C，DEF=ADF，DEFADF，FDEFFADF，即FAFEDF2.ODFEBCA EDBCA 分析二 由射影定理知FACFDF2，转化为证明 EF=FC 证明二 连结 AD、DE，ADC=DFC=90，C=C，ADCDFC，CFDFDFAF，即FACFDF2.在DEF 和DCF 中，DFE=DFC=90，DEF=ABC=DCF，DF=DF，DEFDCF，EF=FC，FAFEDF2 分析三 证明 DF 是切线，由切割线定理即得 证明三 连结 OD，则 OB=OD，ODB=OBD=ACB，ODAC，又 DFAC，ODDF，DF 是O 的切线，FAFEDF2 解题时，要充分利用已知条件

23、，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例 5 已知：BC 为圆 O 的直径，ADBC 垂足为 D，过点 B 作弦 BF 交 AD 于点 E 交半圆 O 于点 F，弦 AC 与 BF 交于点 H，且 A 为弧 BF 的中点.求证：AE=BE AHBC=2ABBE.分析 AE、BE 在同一三角形中，易证等角对等边 等积式中的四条线段分散在很多三角形中，可将它们相对集中在两三角形AFH、BCH 中，AB 转化为 AF（等弧对等弦）；系数 2 的思考：RtABH 中，AE=BE，反之易证 BH=2BE 证明：略，连结 AF，可证得AFHBCH，BHAHBCAF，又可证得

24、AB=AF，AE=EH=BE，BH=2BE，2BEAHBCAB，AHBC=2ABBE 例 6 如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 H，点 P 是CA上一点（点 P 不 与 A、C 两点重合），连结 PC、PD、PA、AD，点 E 在 AP 的延长线上，PD 与 AB 交于点 F，下列四个结论：CADA EPC=APD DPDFAD2 BHAHCH2 CDHEAFBO 正确的有_.分析 直径 AB 垂直于弦 CD，由圆的轴对称性得CADA；EPC 是圆的内接四边形的外角，EPC=ADC ADC=APD（等弧所对的圆周角相等），EPC=APD；若DPDFAD2成立，则DAFDPA，但两

25、三角形显然不相似（DAFDPA），故不成立；由圆内成比例线段知，显然成立；正确的有、.【智能巧练】在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB=60，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为_.已知：O 为ABC 内的一点，过点 O 作 EF、GH、QP 分别平行于 BC、AB、CA，交 AB、BC、CA 于点 P、E、H、Q、F、G，则ABPECAFGBCHQ_.选择：如图，将ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF，连接 EF交 AB 于 H，则下列结论错误的是（）A.AEAF B.EFAF=21 C.FEFHAF2 D.FBFC=

26、HBEC HADECBF 0EBPCA O1CEDBAO2 第题 第题 第题 如图，正ABC 内接于O，P 是劣弧 BC 上任意一点，PA 与 BC 交于 E，有如下结论:PA=PB+PC PAPE=PBPC PC1PB1PA1 其中正确结论的个数有()A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 如图，已知1O与2O外切于点 C，AB 是两圆的外公切线，切点为 A、B，分别延长 AC、BC 交2O于点 E，交1O于点 D，下列结论，正确的有（）个 DBCFPEAHO FAOGHQPECB AD 为1O的直径 ADBE ACBC=DCCE ACAE=BCBD A.1 B.2 C.3 D.4

27、已知：如图，设 D、E 分别是ABC 外接圆的弧 AB、AC 的中点，弦 DE 交 AB 于点 F，交 AC 于点 G,求证：AFAG=DFEG.GFDBCEA ODBGFECA 第 3 题 第 4 题 O 的两条割线 AB、AC 分别交O 于 D、B、E、C，弦 DFAC 交 BC 圆于 G.求证：ACFG=BCCG;若 CF=AE，求证：ABC 是等腰三角形.如图，已知直线 AB 过圆心 O，交O 于 A、B，直线 AF 交O 于 F（不与 B 重 合），直线 l 交O 于 C、D，交 AB 于 E，且与 AF 垂直，垂足为 G，连结 AC、AD 求证：BADCAG；ACADAEAF 在问

28、题中，直线 l 向下平行移动，与O 相切，其他条件不变 请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 【探索创新】已知：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 M，点 E 是BCA上一动点.如图 1，若 DE 交 AB 于 N，交 AC 于 F，且 DE=AC，连结 AD、CE，求证：CED=ADE 2DN=NFNE 如图 2，若 DE 与 AC 的延长线交于 F，且 DE=AC，那么2DN=NFNE 的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.B O A 图（2）图(1)B O A F D C G E l FNMOECDBA BNMEOCDFA 图 1 图 2 证明：DE=AC，CAED，DCEA CED=ADE 连结 CN CN=DN，NCF=ADE（圆的轴对称性质）CED=ADE，CNF=ENC NCENFC NCNENFNC，NFNENC2 2DN=NFNE【答案点击】连接 DF，由菱形的轴对称性知 DF=BF，要使 EF+BF 最小，必两点之间线段最短，DE 长就是，DE=33 1 B B D 连接 AD、AE，证ADFEAG 连结 CF，证ACBCGF 略，连结 DF，可证得ACEAFD，结论仍成立.