中考压轴题突破几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等).pdf

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1、1/9 中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：定点到定点：两点之间，线段最短；定点到定线：点线之间，垂线段最短。由此派生：定点到定点：三角形两边之和大于第三边；定线到定线：平行线之间，垂线段最短；定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短（长）；定线到定圆：线圆之间，心垂线截距最短；定圆到定圆：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明：定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知O 半径为 r，AO=d，P 是O 上一点，求 AP 的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得 APAO+PO，

2、AOAP+PO，得 d-rAPd+r，AP 最小时点 P 在 B 处，最大时点 P 在 C 处。即过圆心和定点的直线截得的线段 AB、AC 分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。2/9 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。（一）直

3、接包含基本图形 例 1.在O 中，圆的半径为 6，B=30，AC 是O 的切线，则 CD 的最小值是 。简析：由B=30知弧 AD 一定，所以 D 是定点，C 是直线 AC 上的动点，即为求定点 D 到定线 AC 的最短路径，求得当 CDAC 时最短为 3。（二）动点路径待确定 例 2.，如图，在ABC 中，ACB=90，AB=5，BC=3，P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到BCP，连接 BA，则 BA 长度的最小值是 。简析：A 是定点，B是动点，但题中未明确告知 B点的运动路径，所以需先确定 B点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此

4、题中 B的路径3/9 是以 C 为圆心，BC 为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1。例 3.在ABC 中，AB=AC=5，cosABC=3/5，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到ABC，点 E 是 BC 上的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在ABC绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F，求线段 EF长度的最大值与最小值的差。简析：E 是定点，F是动点，要确定 F点的运动路径。先确定线段 AB的运动轨迹是圆环，外圆半径为 BC，内圆半径为 AB 边上的高，F是 AB上任意一点，因此 F的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点 E 到圆环的最短和最长路

5、径。E 到圆环的最短距离为 EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E 到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为 7.2。（三）动线（定点）位置需变换 线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例 4.如图，AOB=30，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP=6，当PMN 的周长最小值为 。4/9 简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段 PM、MN、PN 在 OA、OB 的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段 PM、MN

6、、PN 转化为连接两点之间的路径。如图，把点 P 分别沿 OA、OB 翻折得 P1、P2，PMN 的周长转化为 P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点 P1、P2之间的路径，从而转化为求 P1、P2两点之间最短路径，得PMN 的周长最小值为线段 P1P2OP6。例 5.如图，在锐角ABC 中，AB=4，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 。简析：本题的问题也在于动线段 BM、MN 居于动点轨迹 AD 的同侧，同样把点 N 沿 AD 翻折至 AC 上，BM+MNBM+MN，转化为求点 B 到直线 A

7、C 的最短路径，即 BNAC 时，最小值为 22。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例 6.如图，m、n 是小河两岸，河宽 20 米，A、B 是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使 A、B 之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？5/9 简析：桥长为定值，可以想像把河岸 m 向下平移与 n 重合，同时把点 A 向下平移河宽，此时转化成 n 上的一点到 A、B 的路径之和最短，即转化为定点 A到定点 B 的最短路径。如下图：思路是把动线 AM 平移至 AM，AN+BN 即转化为求定点 A与定点 B 之间的最路径。本题的关键是定长线段 MN 把动线段分隔，此时须通过平移把动线段AN、BN

8、变为连续路径，也可以把点 B 向上平移 20 米与点 A 连接。例 7.如图，CD 是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且 CD=2，点 A（4，0），连接 AC、AD，设 C 点横坐标为 m，求 m 为何值时，ACD 的周长最小，并求出这个最小值。解析：两条动线段 AC、AD 居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把 AC 沿直线 CD 翻折至另一侧，如下图：现在把周长转化为 AC+CD+AD，还需解决一个问题：动线段 AC 与 AD 之间被定长线段 CD 阻断，动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理，把 AC沿 CD 方向平移 CD 的长度即可，

9、如下图。6/9 现在已经转化为 AD+AD 的最短路径问题，属定点到定点，当 AD 与 AD共线时 AD+AD 最短，即为线段 AA的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例 8.如图，A 地在公路 BC 旁的沙漠里，A 到 BC 的距离 AH23，AB219，在公路 BC 上行进的速度是在沙漠里行驶速度的 2 倍。某人在 B 地工作，A 地家中父亲病危，他急着沿直线 BA 赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么，从 B 至 A 怎样行进才能最快到达？简析：BP 段行驶速度是

10、AP 段的 2 倍，要求时间最短即求 BP/2+AP 最小，从而考虑 BP/2 如何转化，可以构造含 30角利用三角函数关系把 BP/2 转化7/9 为另一条线段。如下图，作CBD=30，PQBD，得 PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当 A、P、Q 共线时 AP+PQAQ最小。【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中 PO：BOAO：POPA：PBk。例 9.已知 A(-4，-4)、B(0,4)、C(0,-6)、D(0,-1)，

11、AB 与 x 轴交于点E，以点 E 为圆心，ED 长为半径作圆，点 M 为E 上一动点，求 1/2AM+CM 的最小值。8/9 简析：本题的主要问题在于如何转化 1/2AM，注意到由条件知在 M 的运动过程中，EM：AE1：2 保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与AEM的相似比为 1：2，这样便可实现 1/2AM 的转化，如下图取 EN：EM1：2，即可得EMNEAM，再得 MN=1/2AM，显然，MN+CM 的最小值就是定点 N、C 之间的最短路径。之后便是常规方法先求 N 点坐标，再求 CN 的长。【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。9/9（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）核心方法：同侧变异侧，分散化连续。（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）下图是构造完成的目标图形：再举一例说明上述规律的运用方法：1.如图，菱形 ABCD 中，A=60，AB3，A、B 的半径为 2 和 1，P、E、F 分别是 CD、A、B 上的动点，则 PE+PF 的最小值为 .