双曲线讲义.pdf

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1、 1 双曲线讲义 课前双击巩固 1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作 ,两焦点间的距离叫作.集合 P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a0,c0.(1)当 时,P 点的轨迹是双曲线;(2)当 时,P 点的轨迹是两条射线;(3)当 时,P 点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).3.双曲线的性质 标准方程

2、 x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形 性质 范围 ,yR ,xR 对称性 对称轴:坐标轴.对称中心:原点 顶点 A1 ,A2 A1 ,A2 渐近线 y=y=离心率 e=ca,e 2 a,b,c 的关系 c2=(ca0,cb0)实、虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段 B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a 叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 常用结论 双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x2a2-y2b2=(0).(2)双曲线上的点 P(

3、x0,y0)与左(下)焦点 F1或右(上)焦点 F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作 r1=|PF1|,r2=|PF2|,则 x2a2-y2b2=1(a0,b0),若点 P 在右支上,则 r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点 P 在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.y2a2-x2b2=1(a0,b0),若点 P 在上支上,则 r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点 P 在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一 常识题 1.教材改编 若双曲线 E:x225-y216=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=4,则|

4、PF2|=.2.教材改编 已知双曲线经过点 P(3,-27)和点 Q(62,-7),则该双曲线的标准方程为 .3.教材改编 双曲线 C:12x2-3y2=24 的离心率是 ,渐近线方程是 .题组二 常错题 索引:忽视双曲线定义中的条件“2a0,b0)的离心率为3,左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支上一点,F1PF2的角平分线为 l,点 F1关于 l 的对称点为 Q,|F2Q|=2,则双曲线的方程为()A.x22-y2=1 B.x2-y22=1 C.x2-y23=1 D.x23-y2=1 探究点二 双曲线的几何性质 考向 1 已知离心率求渐近线方程 2 已知双曲线x2a2-y2b2=

5、1(a0,b0)的离心率为62,则其渐近线方程为()A.y=2x B.y=22x C.y=12x D.y=2x 总结反思 已知离心率求渐近线方程,即由 e=cac2=e2a2=a2+b2e2=1+b2a2,得渐近线方程为y=e2-1x.考向 2 已知渐近线方程求离心率 3 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=52x,则该双曲线的离心率等于()A.31414 B.324 C.32 D.43 总结反思 已知渐近线方程为 y=kx,若焦点位置不明确,则要分 k=ba和 k=ab两种情况讨论.已知渐近线方程为 y=bax,可由 c2=a2+b2得c2a2=1+b2a2,

6、从而求得离心率 e=1+(ba)2.考向 3 由离心率研究渐近线夹角问题 4 已知双曲线 E:x2a2-y2b2=1(a0,b0),当其离心率 e2,2时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为()A.0,6 B.6,3 C.4,3 D.3,2 5 总结反思 由离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.考向 4 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 5 已知 F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点 M,若F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(2

7、,+)B.(2,+)C.(1,2)D.(1,2)总结反思 解决此类问题可通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线的交点,把条件转化为一个关于ba的不等式,再利用 a2+b2=c2,转化为关于ca的不等式,即得离心率的取值范围.强化演练 1.【考向 1】若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2x B.y=2x C.y=12x D.y=22x 2.【考向 2】已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=34x,则双曲线 C 的离心率为()A.72 B.53 C.73 D.54 3.【考向 2】已知双曲线 C:x2-y2b2=

8、1(b0)的一条渐近线的倾斜角为3,则双曲线 C 的离心率为()A.2 B.3 C.2 D.22 4.【考向 3】已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为233,则双曲线的两条渐近线的夹角为()6 A.6 B.4 C.3 D.2 5.【考向 4】过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,与双曲线的两条渐近线交于 C,D 两点,若|AB|35|CD|,则双曲线离心率的取值范围为()A.53,+)B.54,+)C.(1,53 D.(1,54 探究点三 直线与双曲线的位置关系 6 已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x

9、 轴上,离心率 e=52,虚轴长为 2.(1)求双曲线 C 的标准方程;(2)若直线 l:y=kx+m 与曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点),且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点.总结反思 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程与双曲线方程联立,消元得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线某支相交于一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 来判定.对于中点弦问题常用“点差法”,但需要检验.7 课时作业 一、填空题 1 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为

10、F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_ 2若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_ 3已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为 _ 4已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于32，则 C 的方程是_ 5已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为52，则 C 的渐近线方程为_ 6已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点，若MF1MF20，则 y0的取值范围是

11、_ 7设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_ 8已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_ 9双曲线x22y21 的焦距是_，渐近线方程是_ 10设 F 是双曲线 C：x2a2y2b21 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为_ 11 已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6 6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为_ 二、解答题 8 12已知椭圆 D：x250y2251 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程 13已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆 x2y210 相交于点 P(3，1)，若此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程