人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加.pdf

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1、-全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二.知识要点:1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接;（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高):过点作,垂足为；（4）作中线：取中点,连接;（5)延长并截取线段:延长使等于;（6）截取等长线段：在上截取，使等于;（7）作角平分线:作平分；作角等于已知角;（8）作一个角等于已知角:作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段）,通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2

2、）截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法,构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;补短:将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）:两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4）角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6）构造特殊三

3、角形：主要是 30、0、90、等腰直角三角形（用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：（）B中 A是 BC 边中线 DABC 方式 1:延长 AD 到 E，使=A,方式 2:间接倍长,作FD 于,方式 3:延长 MD 到N，连接BE 作BEAD的延长线于E,连接BE 使DN=D，连接 CD FEDCBANDCBAM-EDABC （2）由ABBCD 导出 由BEBCD 导出 由ABBCD 导出 BC=BE+ED=AB+D EDAECD EC=-CD（3)角分线,分两边，对称全等要记全 角分线垂线，等腰三角形必呈现(三线合一）()旋转：方法：延长其中一

4、个补角的线段(延长到,使D=,连AE或延长CB到F,使FB=D，连F )结论：MNB+DN ABCCMN2 AM、AN分别平分BMN和 -翻折:思路：分别将AM和ADN以A和AN 为对称轴翻折,但一定要证明 M、P、N三点共线（B+0180且A=AD)(5）手拉手模型 ABE和AF均为等边三角形 结论：(1）AEC；(2)B0EAE=6（“八字型”模型证明）;(3)A 平分EO 拓展：条件:ABC和DE均为等边三角形 结论：（1）、BE (2)、ACB=AO (3）、PCQ为等边三角形 （4)、PAE(）、P=Q （6）、C平分(7)、OAOB+OC （)、OE=O+（()，(8)需构造等边三

5、角形证明）BD和ACE均为等腰直角三角形 -n360180 结论:(1)、BCD (2）BEC AF和ACHD均为正方形 结论：（1)、BDC (2）、BD=CF 变形一：ABEF和ACH均为正方形，ASC交F于T，求证：T 为F的中点.ADFABCSS 方法一:方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形，为FD的中点,求证:AN 当以 A、C 为边构造正多边形时，总有:1=2=-EDFCBADCBAEDCBA PFEDIHGBCA 21PGFEDKJIHACB 四、典型例题：考点一:倍长中线(或类中线)法：核心母题 已知,如图AC 中,B5，AC=3，则中线D 的取值范围是_ 练习

6、：、如图，BC 中,E、F 分别在 A、AC 上,EDF，D 是中点，试比较E+C与 EF 的大小 2、如图，BC 中,B=C=AC，是 DC 的中点，求证:AD 平分BAE -3、如图,E、B 分别是AB与D的中线,且ACBABC，求证：C=2。4、已知：如图，在正方形 ACD 中,E 是 BC 的中点,点在D 上，FAE=AE求证：AF=BC+FC 5、如图,D 是 AB 的中点，AB=90，求证：CD=B.6、已知在BC 中，A，D 在 AB 上,E 在C 的延长线上,DE 交C 于 F，且 D=F,求证：B=CE。7、已知在BC 中，A是C 边上的中线，E 是 AD 上一点,且 BE=

7、AC,延长E 交AC 于F，求证：AFEF。FECABD-8、已知：如图,在ABC中,ACAB,D、E 在 B上，且DEE，过 D 作BADF/交于点 F,F=AC.求证：AE 平分BAC。9、以ABC的两边A、C为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE,M、N分别是C、的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1）如图 当ABC为直角三角形时,AM与E的位置关系是 ,线段AM与E的数量关系是 ;(）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0A,E 为 BC 边的中点,AD 为AC 的平分线,过 E 作 AD 的平行线,交B 于 F,交 CA 的延

8、长线于 G.求证:B=CG 变式一：如图,在ABC中,AD交BC于点D，点E是BC中点,EFAD交CA的延长线于点F,交AB 于点G，若BGCF，求证:AD为BAC的角平分线 变式二:已知：BC 中，是ABC 的角平分线,M 为 BC 的中点，过点 M作 MNA,交 AC 于点,求证:AN+AB=C 变式三:在BC中，AD是B的角平分线.（1)如图，过C作EAD交BA延长线于点E，若F为E的中点，连结F，求证:AA；（）如图 2,为B的中点，过M作MAD交A于点N,若AB=4，AC7,求C的长.图 1 图 2-6、如图，已知BC 中,ABAC，A10，的平分线交于,求证：ADBDBC 7、如图

9、，在AC 中，ADBC 于，CD=A+D,B 的平分线交C 于点 E，求证:点 E 恰好在 B的垂直平分线上。8、如图 1,在AC 中，ACB2B,的平分线 AO 交 B于点 D，点为 AO 上一动点,过点 H 作直线 l于 H,分别交直线 AB、AC、BC 于点 N、（1）当直线经过点 C 时（如图 2),证明:BCD；A C B D E A D B C-21ECBAMDCBA（2)当 M 是 B中点时,写出E 和 CD 之间的等量关系,并加以证明；（3)请直接写出 BN、C、CD 之间的等量关系 9、如图所示，在中,AB=3C，AD 是BAC 的平分线，AD 于 F,求证:2BE=AC-B

10、 变式:如图,已知在ABC中，3ABCC，12,BEAE.求证:2ACABBE 10、如图所示，在ABC中,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M，求证2ABACAM 变式一:如图1=2，B 为 AC 中点，CMB 于 M,FB 于 N,求证：F=2BM；FB=21（FF）-变 式 二：如 图，在 ODC中，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过 点E作.之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF 变式三:如图所示，在ABC 中,ACAB,M 为C 的中点,AD 是BAC 的平分线，若 CFAD 且交 AD 的延长线于 F,求证：F21（ACB)。MFDCBA 考点五:

11、角含半角、等腰三角形的（绕顶点)旋转重合法 核心母题 如图，在正方形BCD 中,E、分别是、D 边上的点，EA=45，求证:E=B+DF -变式一：如图，E、F 分别是边长为 的正方形 ACD 的边 BC、C上的点,若ECF 的周长是,求EAF 的度数?变式二：如图，在正方形BCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点,EQ=,HEF，求证：AH=AB.综合：在正方形ABD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MB+DN，求证：.MN=45.ABCCMN2.AM、AN分别平分BM和D 练习 -1、如图，在四边形 ABC中,AB=BC，=C=0,135，K、N 分别是 AB、BC 上的

12、点,若K的周长是 AB 的 2 倍,求KN 的度数？2、已知：正方形CD 中,MAN=4,MAN 绕点顺时针旋转,它的两边分别交 CB、（或它们的延长线）于点、.当MN 绕点旋转到 BM=DN 时（如图1）,易证M+D=M（1)当MAN 绕点 A 旋转到MDN 时（如图2），线段 BM、D和N 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明;)2（当A绕点 A 旋转到如图的位置时，线段 BM、D和 M之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想 3、如图，在四边形 ABC中,AB=D，+D=180，E、F 分别是边 BC、D 上的点，且 2EAF=BAD，（1）求证:EE+FD（2）如果 E、分别是

13、边 BC、CD 延长线上的点，其他条件不变,结论是否仍然成立?说明理由。5、如图所示,在五边形 ACD中，A=A，BC+DC，AC+AD=1求证:AD 平分CD -6、如图，已知 ABD=AE=BC+DE=2,AB=AD,求五边形CE 的面积 7、如图 1.在四边形 ABCD 中B=AD，BD=18，E、分别是边 BC、D 上的点，且AD=2EA（1)求证:EF=BE+DF;2(）在（）问中,若将AEF 绕点 A 逆时针旋转,当点 E、分别运动到 BC、CD 延长线上时,如图 2 所示,试探究 EF、B、F 之间的数量关系.8、如图，在AC 中,AB9，C=BC，是ABC 内一点，且 PA=3

14、,=，PB=1.求BC 的度数 考点六:构造特殊三角形 核心母题 如图,在BC 中，A交边 BC 于点 D,BAD=1，AC4D，DC2B.)1（求B 的度数；)2（求证:CA=B-练习 、在平面直角坐标系中,点 A(,0)、B(0,)，以 AB 为斜边作等腰直角AB，则点的坐标为?2、如图，在正方形网格图中，求2+3 的度数和。3、已知：平面直角坐标系中的三个点，（1,0）、(2，1)、(0,）,求CA+OC的度数.4、已知2AD,4BD,以B为一边作等边三角形C使C、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当ADB=60时，求B及D的长；A C-EDCBA图（3）CBDAE（2）当A变化,且

15、其它条件不变时,求D 的 最大值，及相应ADB的大小.5、已 知:2PA,4PB,以A B为 一 边 作 正 方 形A D，使P、D两 点 落 在 直 线A 的两侧.（1)如图,当AP=5时,求AB及的长;（）当P变化,且其它条件不变时，求PD 的 最大值,及相应PB的大小 6、在四边形B中,C是BD边的中点.(1）如图（1),若AC平分BAE，ACE=90,则线段E、AB、的长度满足的数量关系为?（直接写出答案）(2）如图(2),平分BAE，平分AED,若120ACE，则线段AB、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明;(3)如图（3),BD=8，A2,DE=8，CE120,则线段长度的最大值是多少?如果AE=1，此时线段AE长度的最大值是多少?EDCBA图（2）