2022年新高考全国Ⅱ卷数学试题(含答案解析).pdf

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1、数学试题第1页（共 5 页）绝密启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 适用地区：辽宁、重庆、海南 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1已知集合 1,1,2,4,|1|1ABx x，则AB A 1,2 B1,2 C1,4 D

2、1,4 2(22i)(12i)A24i B24i C62i D62i 3图 1 是中国古代建筑中的举架结构，,AA BB CC DD是桁，相邻桁的水平距离称为 步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图其中1111,DD CC BB AA是 举，1111,OD DC CB BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111,0.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA已知123,k k k成公差为 0.1 的等差数列，且直线 OA的斜率为 0.725，则3k A0.75 B0.8 C0.85 D0.9 数学试题第2页（共 5 页）4已知向量(3,4),(1,0),t

3、abcab，若,a cb c，则实数t A6 B5 C5 D6 5甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A12 种 B24 种 C36 种 D48 种 6若sin()cos()2 2cossin4，则 Atan()1 Btan()1 Ctan()1 Dtan()1 7已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A100 B128 C144 D192 8若函数()f x的定义域为 R，且()()()(),(1)1f xyf xyf x f yf，则221()kf k A3 B

4、2 C0 D1 二、选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知函数()sin(2)(0)f xx的图象关于点2,03对称，则（）A()f x在50,12单调递减 B()f x在 11,12 12有两个极值点 C直线76x 是曲线()yf x的一条对称轴 D直线32yx是曲线()yf x的切线 10 已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypx p的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点(,0)M p，若|AFAM，则 A直线AB的斜率

5、为2 6 B|OBOF C|4|ABOF D180OAMOBM 数学试题第3页（共 5 页）11如图，四边形ABCD为正方形，ED 平面ABCD，,2FBED ABEDFB，记三棱 锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,V V V则 A322VV B31VV C312VVV D3123VV 12若实数 x，y 满足221xyxy，则 A1xy B2xy C222xy D221xy 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13随机变量 X 服从正态分布22,N，若(22.5)0.36PX，则(2.5)P X _ 14曲线ln|yx过坐标原点的两条切线方程为_，_

6、15设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共 点，则 a 的取值范围为_ 16 已知直线 l 与椭圆22163xy在第一象限交于 A，B 两点，l 与 x 轴、y 轴分别相交于 M，N 两点，且|,|2 3MANBMN，则 l 的方程为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分）已知 na为等差数列，nb为公比为 2 的等比数列，且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1,1500kmk baam中元素个数 数学试题第4页（共 5 页）18（12 分）记ABC的内角

7、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,S S S，且12331,sin23SSSB（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求 b 19（12 分）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了 100 位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图 （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出一人，若此人的年

8、龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）20（12 分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E 为PB的中点 （1）证明：OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB正余弦值 数学试题第5页（共 5 页）21（12 分）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx （1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点1122,P x yQ xy在 C 上，且1210,0 x

9、xy过 P 且斜率为3的直线与过 Q 且斜率为3的直线交于点 M从下面中选取两个作为条件，证明另一个成立 M 在AB上；PQAB；|MAMB 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 22（12 分）已知函数()eeaxxf xx（1）当1a 时，讨论()f x的单调性；（2）当0 x 时，()1f x ，求 a 的取值范围；（3）设nN，证明：222111ln(1)1122nnn 数学试题第6页（共 5 页）绝密启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题参考答案 一、选择题 1B 2D 3D 4C 5B 6D 7A 8A 二、选择题 9AD 10ACD 11CD 12

10、BC 三、填空题 130.14或750 14.1eyx .1eyx 151 3,3 2 1622 20 xy 四、解答题 17（1）设数列 na的公差为d，所以，11111111224283adbadbadbbad，即可解得，112dba，所以原命题得证 （2）9 18（1）28 （2）12 19（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014 数学试题第7页（共 5 页）20（1）证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥PABC的高，所以PO 平面ABC，,AO BO 平面ABC，所以POAO、POBO，又PAPB，所以POAPOB，即OAOB，所以OABOB

11、A，又ABAC，即90BAC，所以90OABOAD，90OBAODA，所以ODAOAD 所以AODO，即AODOOB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以/OE PD，又OE 平面PAC，PD 平面PAC，所以/OE平面PAC （2）1113 21（1）2213yx （2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对 称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线

12、AB的斜率为k,直线AB方程为2yk x,则条件M在AB上，等价于2000022yk xkykx；两渐近线的方程合并为2230 xy,联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk 设3334,A x yB x y,线段中点为,NNN xy,则2342226,2233NNNxxkkxyk xkk,数学试题第8页（共 5 页）设00,M xy,则条件AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220 xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxk yy,即200283kxkyk；由题意

13、知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,由101020203,3yyxxyyxx,1212032yyxxx,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330 xy,即333xyxy中，得：000032 333yxxyx,解得P的横坐标：100001332 33xyxyx,同理：200001332 33xyxyx，00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx 003xmy,条件/PQAB等价于003mkkyx，综上所述：条件M在AB上，等价于2002kykx；条件/PQAB等

14、价于003kyx；数学试题第9页（共 5 页）条件AMBM等价于200283kxkyk；选推:由解得：2200002228,433kkxxkyxkk,成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，003kyx，成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，02623xk，2002kykx，成立.22（1）fx的减区间为,0，增区间为0,.（2）12a （3）取12a，则0 x，总有12ee10 xxx 成立，令12ext，则21,e,2lnxttxt，故22 ln1ttt即12lnttt 对任意的1t 恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn，整理得到：21ln1lnnnnn，故222111ln2ln1ln3ln2ln1ln1122nnnn ln1n，故不等式成立.