13.4课题学习最短路径问题.pdf

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1、 人教版义务教育教科书数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 教学目标 1了解将军饮马及造桥选址两个常见类型 2会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题 3能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目 教学重点难点 1将实际问题抽象为数学问题 2解答最短路径问题 课时安排 2课时 教案 A、B 第 1 课时 教学内容 将军饮马 教学过程 一、导入新课 问题1 如下图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？教师备课系统多媒体教案 二、探究新知 1将实际问题抽象为数学问题 师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后

2、达成共识（1）把 A、B 两地抽象为两个点；（2）把河边 l 近似地看成一条直线（下图），C 为直线 l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小 2尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求（2）现在要解决的问题是：点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找

3、到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？（3）如何能把点 B 移到 l 的另一侧 B处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB与 CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点 B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于l 的对称点 B，利用轴对称的性质，可以得到 CBCB（下右图）连接AB，则AB与l 的交点即为所求 3证明“最短”师生共同分析，合作证明“ACBC”最短 证明：如上右图，在直线 l 上的任一点 C（与点 C 不重合），连接 AC，BC，BC，人教版

4、义务教育教科书数学八年级上册 由轴对称的性质知：BC BC，BC BC AC BC AC BC AB，AC BC AC BC 在 ABC中，AB AC BC，AC BC AC BC 即 AC BC 最短 提问：证明AC BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC BC AC BC？这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识 三、巩固练习 已知P 是ABC 的边BC 上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q 和 R，使PQR的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导 四、课堂小结 总结用数学解决实际问题的步骤 第 2 课时 教学内容 造桥

5、选址 教学过程 一、导入新课 造桥选址问题：如下图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A 到 B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）二、探究新知 1将实际问题抽象为数学问题 把河的两岸看成两条平行线a 和 b（下图），N 为直线b 上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a 于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N 在直线教师备课系统多媒体教案 b 的什么位置时，AM MN NB 最小？2尝试解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM NB 最小时，AM MN NB 最小这样，问题就进一步转化为：当点N 在

6、直线b 的什么位置时，AM NB 最小？（2）如下左图，将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N，点A 移动到点 A，则AA MN，AM NB AN NB这样，问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AN NB 最小？（3）如上右图，在连接A，B 两点的线中，线段AB 最短因此，线段AB 与直线b 的交点N 的位置即为所求 3证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线 b上另外任意取一点N，过点N作NM a，垂足为M，连接AM，AN，NB，证明AM MN NB AM MN NB你能完成这个证明吗？证明：如上右图，在ANB 中，AB AN BN，AN BN MN AM BN MN AM MN BN AM MN BN 即 AM MN BN 最小 三、课堂小结 归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择