【精编】2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_7解三角形实际应用举例教师用书文北师大版.pdf

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1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.2018 版高考数学大一轮复习第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形实际应用举例教师用书文 北师大版1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)【知识拓展】1三角形的面积公式：Sppapbpc(pabc2)，Sabc4Rrp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切

2、圆半径，pabc2)2坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2 ()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是 0,2)，方向角大小的范围一般是0，2)()1(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A502 m B 503

3、 m C 252 m D.2522 m 答案A 解析由正弦定理得ABsin ACBACsin B，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.又B30，ABACsin ACBsin B502212502(m)2 若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10答案B 解析如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.3(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A

4、望C和B成 60视角，从B望C和A成 75视角，则BC等于()A103 n mile B.1063 n mile C52 n mile D56 n mile 答案D 解析如图，在ABC中，AB10，A60，B75，BCsin 60 10sin 45，BC56.4如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为 60，30，则A点离地面的高度AB_.答案32a解析由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，AD3a，又在RtADB中，AB12AD32a.5在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中文档来源为:从网络收集整理.wo

5、rd 版本可编辑.欢迎下载支持.3文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案60203 解析如图，AOB60，由余弦定理知OC2202 202800cos 120 1 200，故OC203，COY303060.题型一求距离、高度问题例 1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是 60 m，则河流的宽度BC等于()A240(31)m B180(21)m C120(31

6、)m D30(31)m(2)(2016 三明模拟)在 200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高是 _ m.答案(1)C(2)4003解析(1)如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 60603(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 15 60(2 3)(m)所以BCCDBD 60360(2 3)120(31)(m)文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.4文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.(2)如图，设塔AB高为h，在 RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC2

7、00cos 30 40033(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得BCsin 120 ABsin 30，ABBCsin 30 sin 120 4003(m)思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4

8、 h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)302(2)30 303 解析(1)如图，由题意，BAC30，ACB105，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.5文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.B45，AC 60 km，由正弦定理BCsin 30 ACsin 45，BC302 km.(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15 sin(45

9、30)sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 22322212624，由正弦定理得PBsin 30 ABsin 15，PB126062430(62)，树的高度为PBsin 45 30(62)22(30 303)(m)题型二求角度问题例 2 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为 _答案2114解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 120

10、2 800?BC207.由正弦定理，得ABsin ACBBCsin BAC?sin ACBABBCsin BAC217.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB277.由ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30 sin ACBsin 30 2114.思维升华解决测量角度问题的注意事项：文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.6文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问

11、题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是 _(仰角为直线AP与平面ABC所成角)答案539解析如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OP33x m.在 RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m.所以 cosBCA45.所以AO625x2225x45x240 x625(m)所以 tan 33xx240 x6253

12、3140 x625x2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.7文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.3325x452925.当25x45，即x1254时，tan 取得最大值为3335539.题型三三角形与三角函数的综合问题例 3(2016长春质检)已知函数f(x)2sin xcos x23cos2x3.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a7，若锐角A满足f(A26)3，且 sin Bsin C13314，求bc的值解(1)f(x)2sin xcos x23cos2x3 sin 2x3

13、cos 2x2sin(2x3)，因此f(x)的最小正周期为T22.由 2k22x32k32(kZ)，得k12xk712，kZ，即f(x)的单调递减区间为k12，k712(kZ)(2)由f(A26)2sin2(A26)3 2sin A3，又A为锐角，则A3，由正弦定理可得2Rasin A732143，sin Bsin Cbc2R13314，则bc13314143 13，由余弦定理可知，cos Ab2c2a22bcbc22bca22bc12，可求得bc40.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.

14、8文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题设f(x)sin xcos x cos2x4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA20，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x21cos 2x22sin 2x21 sin 2x2sin 2x12.由2 2k2x22k，kZ,可得4kx4k，kZ；由22k2x322k，kZ,可得4kx34k，kZ.所以f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)；单调递减区间是4k，34k(kZ)(2)由fA2 sin A1

15、20，得 sin A12，由题意知A为锐角，所以cos A32.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得 13bcb2c22bc，即bc23，当且仅当bc时等号成立文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.9文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.因此12bcsin A234.所以ABC面积的最大值为234.10函数思想在解三角形中的应用典例(12 分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30且与该港口相距20 海里的A处，并正以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时

16、的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 1 分 S900t2400230t20cos9030900t2600t400900t132300.3分 故当t13时，Smin103，v1031

17、3303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6 分(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，8 分 故v2900600t400t2.0v30，900600t400t2900，即2t23t0，解得t23.又t23时，v30，故v30 时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在OAB中，有OAOBAB20.11分 故可设计航行方案如下：文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.10文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.航行方向为北偏东30，航行速度为30 海里/小时 12 分 1一艘海轮从A处出

18、发，以每小时40 海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A102 海里B103 海里C203 海里D202 海里答案A 解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30 ABsin 45，解得BC102.2在相距2 km 的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A.6 km B.2 km C.3 km D 2 km 答案A 解析如图，在ABC中，由已知可得ACB4

19、5，ACsin 60 2sin 45，AC22326.3一船向正北航行，看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5 海里B53 海里C10 海里D103 海里答案C 解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在 RtABC中，得AB5，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.于是这艘船的速度是50.510(海里/时)4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD

20、的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B 45 C 60 D 75答案B 解析依题意可得AD2010，AC305，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCADAC2AD2CD22ACAD305220102 502230520106 0006 000222，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A56 B153 C52 D1

21、56 答案D 解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得BCsin 30 30sin 135，所以BC152.在 RtABC中，ABBCtan ACB1523156.故选 D.6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进 100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B 100 m C 120 m D 150 m 答案A 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.12文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.解析设水

22、柱高度是h m，水柱底端为C，在 RtBCD中，CBD30，BC3h.在 ABC中，A 60，ACh，AB 100，根据 余 弦定 理得，(3h)2h2 10022h100cos 60，即h250h 5 000 0，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.7江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和 60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案103 解析如图，OMAOtan 45 30(m)，ONAOtan 30 3330103(m)，在MON中，由余弦定理得，MN9003002301 03323

23、00103(m)8.如图，一艘船上午9：30 在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距82 n mile.此船的航速是_ n mile/h.答案32 解析设航速为v n mile/h，在ABS中，AB12v，BS 82，BSA45，由正弦定理得82sin 30 12vsin 45，v32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了 2 分钟，从D沿DC走到C用了 3 分钟若此人步行的速度为每分

24、钟50 米，则该扇形的半径为_米答案507 解析如图，连接OC，在 OCD中，OD 100，CD 150，CDO 60.由 余 弦 定 理 得OC2 1002 1502文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.13文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.2100150cos 60 17 500，解得OC507.10.在 RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足abcx，则实数x的取值范围是 _答案(1，2 解析xabcsin A sin Bsin Csin Acos A2sinA4.又A 0，2，sin 4sinA4sin 2，即x(1，2

25、 11要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解如图，设电视塔AB高为x m，则在 RtABC中，由ACB45，得BCx.在 RtADB中，ADB30，则BD3x.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(3x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.12(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.14文档收集于互联网，已整

26、理，word 版本可编辑.315，bc2，cos A14.(1)求a和 sin C的值；(2)求 cos 2A6的值解(1)在ABC中，由 cos A14，可得 sin A154.由SABC12bcsin A315，得bc24，又由bc2，解得b6，c 4.由a2b2c2 2bccos A，可得a 8.由asin Acsin C，得 sin C158.(2)cos2A6cos 2Acos 6sin 2Asin632(2cos2A1)122sin Acos A157316.13.在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(31)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西 75方向，距A处 2 海里的C处的我方

27、缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解如图，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，则CD103t海里，BD 10t海里，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.15文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A(31)2222(31)2cos 120 6，解得BC6.又BCsin BACACsin ABC，sin ABCACsin BACBC2sin 120 622，ABC45，故B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得BDsin BCDCDsin CBD，sin BCDBDsin CBDCD10tsin 120 103t12.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即 10t6，解得t610小时 15 分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15 分钟