最新人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测题(附答案).pdf

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1、1/23最新人 教版九年级数学 上册第 22章二次函 数单元检测题（附答案）班级：_ 姓名：_等级：_时间：120 分钟满分：150 分一 选择题（共 10 小题）1.二次函 数 y=x2+bx+1 的对称轴 是直 线 x=3，则 b 的值 是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由对称轴 公式可求得二次函数的对称轴，结合条件可得到 关于 b 的方程，可求得b 的值【详 解】y=x2+bx+1，对称轴为x=-2b，y=x2+bx+1 的对称轴 是直 线 x=-3，-2b=-3，解得 b=6，故选 C【点睛】本 题主要考 查二次函 数的 对称轴，掌握二次函数的对称轴 公式是解 题的

2、 关键，即二次函 数y=ax2+bx+c（a0）的 对称轴为x=-2ba2.在下列 4 个不同的情境中，两个变 量所 满足的函 数关 系属于二次函 数关 系的有（）设 正方形的 边长为 x 面积为 y，则 y 与 x 有函 数关 系；x 个 球队参 加比 赛，每 两个队 之间比 赛一场，则比赛 的场次数 y 与 x 之间有函 数关 系；设 正方体的 棱长为 x，表面 积为 y，则 y 与 x 有函 数关 系；若一 辆汽车以 120km/h 的速度 匀 速行 驶，那 么汽车行驶的里程 y（km）与行驶时间 x（h）有函 数关 系A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】根据 题意

3、列出函 数关 系式，然后由二次函数的定 义进 行判 断【详 解】依 题意得：y=x2，属于二次函 数关 系，故正确；依 题意得：y=x（x-1）=x2-x，属于二次函 数关 系，故正确；依 题意得：y=6x2，属于二次函 数关 系，故正确；依 题意得：y=120 x，属于一次函 数关 系，故 错误；2/23综上所述，两个变 量所 满足的函 数关 系属于二次函 数关 系的有 3 个故选 C【点睛】本 题考查二次函 数的定 义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常 数，a0）的函 数，叫做二次函数 其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次 项系数，b 是一次 项系数，c

4、是常 数项 yax2+bx+c（a、b、c 是常 数，a0）也叫做二次函数的一般形式3.对 抛物 线 y=x2+2x3 而言，下列 结论 正确的是（）A.与 x 轴有 两个 公共点；B.与 y 轴的交点坐 标是（0，3）；C.当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随 x 的增大而 减小；D.开口向上【答案】C【解析】根据二次函 数的解析式 结合二次函 数的性 质，逐一分析四个选项 的正 误即可得出 结论【详 解】A、方程-x2+2x-3=0 中，=22-4（-1）（-3）=-8 0，抛物 线 y=-x2+2x-3 与 x 轴 无交点，A错误；B、当 x=0 时，y=-3，抛

5、物 线 y=-x2+2x-3 与 y 轴 的交点坐 标为（0，-3），B错误；C、抛物 线 y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，该 抛物 线的对称轴为x=1，a=-1 0，当 x1时 y 随 x 的增大而增大，当 x1 时 y 随 x 的增大而 减 小 C正确；D、在抛物 线 y=-x2+2x-3 中 a=-1 0，抛物 线 y=-x2+2x-3 开口向下，D错误 故选 C【点睛】本 题考查 了二次函 数的性 质以及二次函 数图 象与系数的 关系，熟 练掌握二次函 数图 象与系数之间的关 系是解 题的关键 4.已知二次函 数 y=x22mx+m2+3（m是常 数），把 该函数的图象沿 y

6、 轴平移后，得到的函数图 象与 x 轴只有一个 公共点，则应 把该函数的图象（）A 向上平移3 个单 位B.向下平移3个单 位3/23C.向上平移1 个单 位D.向下平移1个单 位【答案】B【解析】先化成 顶点式，根据 顶点坐 标和平移的性质得出即可【详 解】y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，把函 数 y=（x-m）2+3 的图象沿 y 轴向下平移3 个单 位长度后，得到函 数 y=（x-m）2的图象，它的顶点坐 标是（m，0），因此，这个 函数的 图象与 x 轴只有一 个公共点，所以，把函 数 y=x2-2mx+m2+3 的图象沿 y 轴 向下平移 3 个单 位长度后，得到的函

7、数的图象与 x 轴只有一 个公共点故选 B【点睛】本 题考查 了二次函 数和 x 轴的交点 问题，利用平移的性质，二次函 数的 图象与几何 变换 的应用是解答此 题的关键 5.在美化校 园的活 动中，某 兴趣小 组想借助如 图所示的直角 墙角（两边 足够长），用 28m长 的篱笆围成一 个矩形花 园 ABCD（篱笆只 围 AB，BC两边），设 AB=m 若在 P处有一 棵树与墙CD，AD的距离分 别是 15m和 6m，要将这棵树围 在花 园内（含 边界，不考 虑树 的粗 细），则花园面积 S的最大 值为（）A.193 B.194 C.195 D.196【答案】C【解析】根据 长方形的面 积 公

8、式可得 S关于 m的函 数解析式，由 树与墙 CD，AD的距离分 别是 15m和 6m求出 m的取值范 围，再 结合二次函 数的性 质可得答案【详 解】解：AB=m 米，BC=（28-m）米则 S=AB?BC=m（28-m）=-m2+28m 即 S=-m2+28m（0 m 28）4/23由题 意可知，62815mx，解得 6m 13在 6m 13 内，S随 m的增大而增大，当 m=13时，S最大 值=195，即花 园面积的最大 值为 195m2故选 C【点睛】此 题主要考 查了二次函 数 的应用以及二次函 数最值求法，得出S与 m的函 数关 系式是解 题关键 6.如 图是抛物 线形拱 桥的剖面

9、 图，拱底 宽 12m，拱高 8m，设计 警戒水位 为 6m，当拱桥内 水位 达到警戒水位时，拱 桥内 的水面 宽度是（）A.3m B.6m C.33m D.63m【答案】B【解析】根据 题意建立直角坐 标系，如 图，设抛物 线的解析式 为 y=ax2+c，由待定系 数法求出其解即可.【详 解】解：如 图 建立直角坐 标系，设抛物 线的解析式 为 y=ax2+c，由 题意，得3608acc，解得：298ac，y=-29x2+8；5/23当 y=6 时，即 6=-29x2+8，解得：x=3，拱 桥内 的水面 宽 度=6m，故选 B【点睛】本 题考查 二次函 数的实际应 用此 题为数学 建模 题，

10、借助二次函数解决实际问题 7.如 图，已知二次函 数 y1=ax2+bx+c 的图 象分 别与 x 轴的正半 轴、y 轴的负半轴于 A、B两点，且 OA=OB，则一次函 数 y2=（acb）x+abc 的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由抛物 线的开口向下、对称轴 在 y 轴的右 侧且与 y 轴交点在原点下方知a0、b0、c0，即 abc0，由B（0，c）且 OA=OB 知点 A（-c，0），代入解析式得ac-b=-1 0，据此解答可得【详 解】解：抛物线的开口向下、对称轴 在 y 轴的右 侧且与 y 轴交点在原点下方，a0、b 0、c0，则 abc0，点 B（0，c）、且 O

11、A=OB，点 A（-c，0），将点 A（-c，0）代入解析式，得：ac2-bc+c=0，ac-b=-1 0，则一次函 数 y2=（ac-b）x+abc 的图象经过 第一、二、四象限，故选 D【点睛】本 题主要考 查二次函 数图 象上点的坐 标特征，解 题的关键 是明确 题意，利用 数形结合的思想，找出所求 结论 需要的 条件，可以判 断 所求 结论 是否正确8.将 抛物 线 y=x2 4x+3 向上平移至 顶点落在 x 轴上，如 图所示，则两条 抛物 线、对称轴 和 y 轴围 成的 图形6/23的面 积 S（图中阴影部分）是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】把点 A、B、C代

12、入抛物 线解析式 y=ax2+bx+c 利用待定系 数法求解即可；把抛物 线解析式整理成 顶点式形式，然后 写出顶点坐 标；根据 顶点坐 标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面 积等于平行四 边形的面 积，列式 进行计算即可得解【详 解】解：抛物线 y=ax2+bx+c 经过 点 A（0，3），B（3，0），C（4，3），把点 A、B、C代入抛物 线解析式 y=ax2+bx+c 得39301643cabcabc，解得143abc；抛物 线的函 数表 达式为 y=x2 4x+3=（x2）2 1，抛物 线的顶点坐 标为（2，-1），PP=1，阴影部分的面 积等于平行四 边形 A APP的面 积，

13、平行四 边形 AAPP 的面 积=12=2，阴 影部分的面 积=2故 选 B7/23【点睛】本 题考查 了待定系 数法求二次函 数解析式，二次函数的性 质，二次函 数图 象与几何 变换，根据平移的性 质，把 阴影部分的面 积转 化 为平行四 边形的面 积是解 题的 关键 9.若二次函 数 y=x23x+2 的自 变量 x 分别 取 x1、x2、x3，且 x1、x2、x3，且 0 x1x2x3，则对应 的函数值 y1、y2、y3的大小 关系正确的是（）A.y3y2y1B.y1 y2 y3C.y1y3y2D.y2y3y1【答案】A 试题 分析：抛物线 y=x23x+2 的对称轴 x=2ba=32，

14、a=10，当 x32时，y 随 x 增大而 减小，0 x1x2 x3时，y1y2y3，故选 A【考点】二次函数 的性 质10.已知抛物 线 y1=2x2+2，直 线 y2=2x+2，当 x 任取一 值时，对应 的函 数值 分别为 y1、y2若 y1y2，取y1、y2中的 较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1例如：当 x=1 时，y1=0，y2=4，y1y2，此 时 M=0 下列判 断：当 x0时，y1y2；当 x0 时，x 值 越大，M值越大；使得M大于 2 的 x 值不存在；使得M=1的x 值是 12或22其中正确 结论 的 个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】

15、关键 函数的增 减性，以及M的定 义，逐一判 断即可8/23【详 解】解：x0 时，函 数 y2的图象在上面，y2y1，故 错误 当 x 0 时，M的值=y1或 y2，x0，y 随 x 增大而增大，x 值 越大，M值越大，故正确刚才 图象可知 M的最大 值为 2，使得 M大于 2 的 x 值不存在，故正确，y2=1 时，x=-12，y1=1 时，x=22，观察 图象可知：x=-12或22时，M=1，故正确故选 D【点睛】本 题考查 二次函 数的性 质，解 题的关键 是理解 题意，灵 活运用函 数的性 质解决问题二 填空 题（共 6 小题）11.已知抛物 线 y=3x2+6x+c 经过 点（2，

16、0），则与 x 轴的另一 个交点坐 标为 _【答案】（4，0）【解析】先根据二次函 数的性 质得到抛物 线 的对称轴为 直线 x=1，然后根据抛物线的 对称 性确定抛物 线与 x 轴的另一个交点坐 标【详 解】解：抛物线的对称轴为 直 线 x=-623)（=1，而抛物 线与 x 轴的一 个交点 为（-2，0），所以抛物 线与 x 轴 的另一 个交点坐 标为（4，0）故答案 为（4，0）【点睛】本 题考查了抛物 线与 x 轴 的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常 数，a0）与 x 轴的交点坐 标问题转 化为 解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标 也考 查了二次函

17、数的性 质12.将抛物 线 y=2x212x 23 先向左平移4 个单 位长度，再向下平移6 个单 位长度得到的抛物 线的解析式 为_【答案】y=2（x+1）247 9/23【解析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐 标为（3，-41），再利用点平移的规律得到点（3，-41）平移后所得 对应点的坐 标为（-1，-47），然后根据 顶点式 写出平移后的抛物线解析式【详 解】解：y=2x2-12x-23=2（x-3）2-41，抛物 线的顶点坐 标为（3，-41），把点（3，-41）先向左平移4 个单 位长度，再向下平移6 个单 位长度所得对应 点的坐 标为（-1，-47），所以平移后的抛物线 解析式

18、为 y=2（x+1）2-47 故答案 为 y=2（x+1）2-47【点睛】本 题考查 了二次函 数图 象 与几何 变换：由于抛物 线平移后的形 状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物 线解析式通常可利用两种 方法：一是求出原抛物线上任意 两点平移后的坐 标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的 顶点坐 标，即可求出解析式13.已知二次函 数 y=ax2+bx+c 的部分 图象如 图所示，其对称轴为 直线 x=1 若其 与 x 轴的一 个交点 为 A（2，0），则由图象可知，当自变量 x 的取 值范围是_时，函 数值 y0【答案】x 2 或 x4【解析】利用二次函 数的对称 性，得出

19、图象 与 x 轴的另一 个交点坐 标，再 结合图象，得出y 的取 值小于 0 时，图象为 x 轴下方部分，即可得出自变量 x 的取 值范围【详 解】解：二次函数对称轴为 直线 x=-1，与 x 轴交点 为 A（2，0），根据二次函 数的 对称 性，可得到 图象与 x 轴的另一 个交点坐 标为（-4，0），又函 数开 口向下，x 轴下方部分y0，x2 或 x-4，故答案 为 x2 或 x-4【点睛】此 题主要考 查了二次函 数 的对称 性，以及 结合二次函 数图 象观察函 数的取 值问题 14.教练对 小明推 铅球的 录 像进行技 术分析（如 图），发现铅 球行 进 高度 y（m）与水平距离x（

20、m）之 间的关系为 y=112x2+23x+53，由此可知小明铅 球推出的距离是_m 10/23【答案】10【解析】当 y=0 时代入解析式y=-112x2+23x+53，求出 x 的 值就可以求出 结论【详 解】解：由 题 意，得当 y=0 时，0=-112x2+23x+53，解得：x1=10，x2=-2（舍去）故答案 为 10【点睛】本 题考查 了由函 数值 求自 变量的 值的运用，二次函 数的解析式的 运用，一元二次方程的解法的运用，解答 时由二次函 数的解析式建立方程是关键 15.如图是二次函 数 y=ax2+bx+c 过点 A（3，0），对称轴为 x=1给 出四 个结论：b24ac，

21、2a+b=0；ab+c=0；5ab其中正确 结论 是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由抛物 线的开口向下知a0，与y轴的交点在y轴的正半 轴上得到c0，由对称轴 公式可以判定的正误；由图 象与x轴有交点，结 合对称轴 公式，与y轴的交点在y轴的正半 轴上，可以推出b2-4ac0，即b24ac，则可判 断的正 误；由x=-1 时y有最大 值，由 图象可知y0，则的正 误也就知道了.【详 解】图象 与x轴有交点，对称轴为x=-2ba=-1，与y轴的交点在y轴的正半 轴上，又二次函 数的图 象是抛物 线，与 x 轴有两个 交点，b2-4ac0，即b24ac，正确；11/23抛物 线的开口向下，

22、a0，与y轴的交点在y轴的正半 轴上，c0，对称轴为x=-2ba=-1，2a=b，2a+b=4a，a0，错误；x=-1 时y有最大 值，由图 象可知y0，错误；把x=1，x=-3 代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边 相加整理得5a-b=-c 0，即 5ab，正确.故选 B【点睛】本 题考查 了二次函 数图 象 与系数的关系，二次函 数的对称 性，二次函 数图 像上点的坐 标 特征，二次函 数y=ax2+bx+c（a0）系 数 符号由抛物 线开 口方向、对称轴、抛物 线与y轴的交点、抛物 线与x轴交点的 个数 确定16.函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的 图象如 图所示，

23、有以下 结论：b24c0；3b+c+6=0；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0；223 2bc准确的有【答案】试题 分析：函 数 y=x2+bx+c 与 x 轴 无交点，b24ac 0；故 错误；当 x=3 时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；正确；当 1x3 时，二次函 数值 小于一次函 数值，x2+bx+c x，x2+（b1）x+c 0故正确当 x=1 时，y=1+b+c=1，b+c=0；12/23当 x=3 时，y=9+3b+c=3；3b+c=-6 b=-3;c=3,则；故正确；考点:二次函 数图 象与系数的关系三解答 题（共 7 小题）17.已知二次函 数的图象经过 点（3

24、，0），对称轴 是直 线 x=2，与 y 轴 的交点（0，3）（1）求抛物 线与 x 轴的另一 个交点坐 标；（2）求抛物 线的解析式【答案】（1）（7，0）（2）y=17x2+47x3【解析】（1）根据抛物 线的对称 性确定抛物 线与 x 轴的另一 个交点坐 标；（2）设交点式 y=a（x+7）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a 即可【详 解】解：（1）抛物 线与 x 轴 的一 个交点坐 标为（3，0），对称轴 是直 线 x=-2，抛物 线与 x 轴的另一 个交点坐 标为（-7，0）；（2）设抛物 线解析式 为 y=a（x+7）（x-3），把（0，-3）代入得a（0+7）（0-3）=-

25、3，解得 a=17，抛物 线解析式 为 y=17（x+7）（x-3），即 y=17x2+47x-3【点睛】本 题考查了抛物 线与 x 轴 的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常 数，a0）与 x 轴的交点坐 标问题转 化解 关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考 查了二次函 数的性 质18.经研 究表明，某市跨河大桥上的 车流速度 V（单位：千米/时）是 车流密度 x（单位：辆/千米）的函 数，函数图 象如 图所示（1）求 当 28x 188 时，关于 x 的函 数表达式；（2）求 车流量 P（单位：辆/时）与车 流密度 x 之间的函 数关 系式；（注：车流量是

26、单位时间内 通过观测 点的车辆数，计算公式 为：车流量=车流速度 车流密度）（3）若 车流速度 V不低于 50 千米 时，求 当车 流密度 x 为多少 时，车流量 P达到最大，并求出 这一最大 值13/23【答案】（1）V=12x+94；（2）P=2801942xxx；（3）当 x=88 时，P取得最大 为 4400【解析】（1）根据 题 意列方程 组即可得到 结论；（2）根据 题 意即可求得函数的解析式；（3）根据二次函数的性 质 即可得到 结论【详 解】解：（1）由 图象可知，当 28x188 时，V是 x 的一次函 数，设 函数解析式 为 V=kx+b，则28801880kbkb，解得1

27、294kb，所以 V=-12x+94；（2）当 0 x28 时，P=Vx=80 x；当 28x188 时，P=Vx=（-12x+94）x=-12x2+94x，所以 P=280(028)194(28188)2xxxxx；（3）当 V50 时，包含 V=80，由函 数图 象可知，当 V=80时，0 x28，此 时 P=80 x，P随 x 的增大而增大，当 x=28 时，P最大=2240；由题 意得，V=-12x+9450，解得：x88，又 P=-12x2+94x，14/23当 28x88 时，P随 x 的增大而增大，即当 x=88 时，P取得最大 值，故 P最大=-12882+9488=4400，

28、2240 4400，所以 当 x=88 时，P取得最大 为 4400【点睛】此 题主要考 查了二次函 数 的应用，以及求一次函数解析式，关键 是利用待定系数法求出一次函数解析式19.如图，在平面直角坐标 系中，RtABC的顶点 C在第一象限，顶点 A、B 的坐 标分别为（1，0），（4，0），CAB=90，BC=5抛物 线 y=212x+bx+c 与边 AC，y 轴的交点的 纵坐标分别为 3，32（1）求抛物 线 y=212x+bx+c 对应 的函 数关 系式；（2）若 将抛物 线 y=212x+bx+c 经过 平移后的抛物线的 顶点是 边 BC的中点，写 出平移 过程；（3）若抛物 线 y=

29、212x+bx+c 平移后得到的抛物 线 y=21()2xh+k 经过（5，y1），（3，y2）两点，当 y1y2 k 时，直接 写出 h 的取 值范围【答案】（1）y=212x+x+32；（2）将 y=12（x+1）2+1向右平移3.5 个单 位 长度，再向上平移1 个单 位长度后得到抛物 线的顶 点是 边 BC的中点；（3）h 的取 值范围为 h 1且 h3【解析】（1）根据抛物 线 y=12x2+bx+c 与边 AC，y 轴的交点的 纵坐 标分别为 3，32，可得抛物 线 y=12x2+bx+c 过点（1，3），（0，32），根据待定系数法可求抛物 线 y=12x2+bx+c 对应 的函

30、 数关 系式；（2）根据勾股定理可求AC的长，可得 C点坐 标，进一步得到BC中点的坐 标为（2.5，2），将 y=12x2+x+32配方得 y=12（x+1）2+1，依此即可 写出平移 过程；（3）先求出抛物线 y=12x2+x+32=12（x+1）2+1 的对称轴为x=-1，可得 h 的取 值范围【详 解】（1）抛物 线 y=212x+bx+c 与边 AC，y 轴的交点的 纵坐标分别为 3，3215/23抛物 线 y=212x+bx+c 过点（1，3），（0，32），把点（1，3），（0，32）代入 y=212x+bx+c 得13232bcc132bc，抛物 线 y=212x+bx+c 对

31、应 的函 数关 系式 为：y=212x+x+32；（2）在 RtABC中，CAB=90，AB=41=3，BC=5，AC=2222534BCAB，C（1，4），BC中点的坐 标为（2.5，2），将 y=212x+x+32配方得，y=12（x+1）2+1，将 y=12（x+1）2+1 向右平移3.5 个单 位 长度，再向上平移1 个单 位长 度后得到抛物 线 的顶点是 边 BC的中点；（3）抛物 线 y=212x+x+32=12（x+1）2+1 的对称轴为x=1，抛物 线 y=212x+bx+c 平移后得到的抛物线y=21)2xh（+k 经过（5，y1），（3，y2）两点，h 的取 值范围为 h1

32、 且 h3【点睛】考 查了二次函 数的应用，涉及的知 识点有：待定系 数法，勾股定理，中点坐标公式，二次函 数的性质，平移的性 质，综合性 较强，有一定的 难度20.某超市 销 售一 种成本 为 每台 20 元的台灯，规定 销售单价不低于成本价，又不高于每台32 元 销售中平均每月 销售量 y（台）与销 售单价 x（元）的 关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：x 22 24 26 28 y 90 80 70 60（1）请直接 写出 y 与 x 之 间的函 数关 系式；（2）为了实现 平均每月 375 元的台灯 销售利 润，这种 台灯的售价 应定为多少？这时 每月 应购进 台灯多少 个？16

33、/23（3）设超市每月台灯 销售利 润为（元），求 与 x 之间的函 数关 系式，当 x 取何 值时，的 值最大？最大 值是多少？【答案】（1）y=5x+200；（2）这种 台灯的售价 应 定 25 元，这时 每月 应购进 台灯 75 个；（3）当 x=30 时，取得最大 值，最大 值是 500【解析】（1）根据表格中的数据可以求得y 与 x 之 间的函 数关 系式；（2）根据 题 意可以得到相应的方程，从而可以解答本题；（3）根据 题 意可以求得 与 x 之 间的函 数关 系式，当 x 取何 值时，的值最大，最大 值是多少【详 解】（1）设 y 与 x 之间的函 数关 系式是 y=kx+b，

34、90228024kbkb，得5200kb，即 y 与 x 之间的函 数关 系式是 y=-5x+200；（2）由 题意可得，（x-20）（-5x+200）=375，解得，x1=25，x2=35（舍去），y=-525+200=75，答：这种 台灯的售价 应定 25 元，这时 每月 应购进 台灯 75 个；（3）由 题意可得，=（x-20）（-5x+200）=-5（x-30）2+500，20 x32，当 x=30 时，取得最大 值，最大 值是 500【点睛】本 题考查 二次函 数的应用、一元二次方程的应用，解答本 题的关键 是明确 题意，找出所求 问题 需要的 条件，利用函 数和方程的思想解答21.

35、如图，在 AOB中，O90，AO 18cm，BO 30cm，动点 M从点 A开始沿 边 AO以 1cm/s 的速度向 终点 O移动，动点 N从 点 O开始沿 边 OB以 2cm/s 的速度向 终 点 B移动，一 个 点到 达终 点时，另一 个点也停止运动 如果 M、N两点分 别从 A、O两点同 时出发，设运动时间为ts 时四 边形 ABNM 的面 积为 Scm2(1)求 S关于 t 的函 数关 系式，并直接 写出 t 的取 值范围；(2)判断 S有最大 值还 是有最小 值，用配方法求出这个值 17/23【答案】（1）S=t2 18t+270（0t 15）；（2）S有最小 值，这个值 是 189

36、【解析】（1）根据 题 意和三角形的面积公式求出S关于 t 的函 数关 系式；（2）利用配方法把一般式化为顶 点式，根据二次函数的性 质解答【详 解】解：（1）由 题意得，AM=t，ON=2t，则 OM=OA-AM=18-t，四边 形 ABNM 的面 积 S=AOB的面 积-MON 的面 积=121830-12（18-t）2t=t2-18t+270（0t 15）；（2）S=t2-18t+270=t2-18t+81-81+270=（t-9）2+189，a=10，S有最小 值，这个值 是 189【点睛】本 题考查的是二次函 数的最 值，正确列出二次函数的解析式、掌握二次函数的性 质是解 题 的关键

37、 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物 线 y=ax2+bx+4 交 x 轴于点 A（2，0）和 B（B在 A右侧），交 y 轴于点 C，直 线 y=32kxk经过 点 B，交 y 轴于点 D，且 D为 OC中点（1）求抛物 线的解析式；（2）若 P是第一象限抛物线上的一点，过 P点作 PH BD于 H，设 P点的 横坐标是 t，线 段 PH的 长度是 d，求 d 与 t 的函 数关 系式；（3）在（2）的 条 件下，当 d=49 1010时，将射线 PH绕着点 P顺时针 方向旋 转 45交抛物 线于点 Q，求点Q的坐 标18/23【答案】（1）y=13x2+43x+4（2）P（52，214）

38、（3）Q（0，4）试题 分析：(1)首先求出点B坐标,利用待定系 数法即可解 决问题.(2)设P（t，13t2+43t+4），,由 cosHPM=cosDBO，可得PHOBPMBD,由此 构 建二次函 数,利用二次函数的性 质解决问题.(3)过点P作PFx轴于点F，过点H作HGPF于点G，BD与PQ交于点N,过N作NEHG于E.由全等三角形PHG HNE，的性 质,(2)中函 数解析式求得点P、N的坐 标,然后由直 线与 抛物 线 的解析式求得交点Q的坐 标.解：（1）y=2kx 12k 经过 B点，当 y=0，x=6，B（6，0），又 A（2，0），解得，y=x2+x+4（2）如 图，过点

39、P作 PM y 轴交 BD于点 M，设 P（t，t2+t+4），CD=OD，当 x=0 时 y=4，C（0，4）OD=2，19/23D（0，2），BD=2，设直 线 BD解析式 为 y=mx+n，6m+n=0，n=2，yBD=x+2，M（t，t+2），PM=t2+t+2，HPM=DBO，cosHPM=cos DBO，=，=，d=t2+t+，d=（t）2+，当 t=时，PH值最大，P（，）（3）过点 P作 PFx 轴于点 F，过点 H作 HG PF于点 G，BD与 PQ交于点 N，过 N作 NE HG于 EHPN=45，PHBD，PH=HN，PHG HNE，HG=NE，PG=EH，由（2）知，d

40、=t2+t+，即：d=（t）2+，当 t=时，PH=，20/23P（，）当 PH=时，HG=PG=，EH=，EN=，N（，），P（，），yPN=x+4，由，解得或，Q（0，4）点睛：本 题考查二次函 数综 合题、一次函 数的应用、待定系 数法、全等三角形的判定和性质、锐 角三角函数等知 识，解 题的 关键 是灵活运用所 学知识，会利用方程 组确定 两个 函数的交点坐 标，属于中考 压轴题 23.如图，在平面直角坐标系中，ABC的一 边 AB在 x 轴上，ABC=90，点C（4，8）在第一象限 内，AC与 y 轴交于点 E，抛物 线 y=234x+bx+c 经过 A、B两点，与 y 轴 交于点

41、D（0，6）（1）请直接 写出抛物 线的表 达式；（2）求 ED的长；（3）点 P是 x 轴下方抛物 线 上一 动点，设点 P的横坐标为 m，PAC的面 积为 S，试求出 S与 m的函 数关 系式；（4）若点 M是 x 轴上一点（不 与点 A重合），抛物 线上是否存在点N，使 CAN=MAN 若存在，请直接 写出点 N的坐 标；若不存在，请说 明理由21/23【答案】（1）y=233642xx；（2）263；（3）S=94m2+172m+26（2m 4）；（4）（143，103）；（43，203）【解析】（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物 线 解析式 为 y=233642xx；

42、（2）先利用待定系数法求得直 线 AC的解析式 为 y=43x+83，则可确定 E（0，83），然后 计算 DE的长；（3）如 图 1，作 PQ y 轴交 AC于 Q，设 P（m，43m2-32m-6），则 Q（m，43m+83），则 PQ=-34m2+176m+263，然后根据三角形面积公式，利用S=SPAQ+SPCQ计算即可；（4）如 图 2，当点 M在 x 的正半 轴，AN交 BC于 F，作 FH AC于 H，根据角平分线的性 质得 FH=FB，易得AH=AB=6，再利用 ACB的余弦可求出CF=5，则 F（4，3），接着求出直线 AF的解析式 为 y=12x+1，于是通过解方程 组23

43、3642112yxxyx得 N点坐 标为（143，103）；当点 M 在 x 的负半轴 上时，AN 交 y 轴与 G，先在 证明 RtOAG Rt BFA，在利用相似比求出OG=4，所以 G（0，-4），接下 来利用待定系 数 法求出直线 AG的解析式 为 y=-2x-4，然后解方程 组22433642yxyxx得 N的坐 标【详 解】解：（1）BC x 轴，点 C（4，8），B（4，0），把 B（4，0），C（0，-6）代入 y=34x2+bx+c 得12406bcc，解得326bc，抛物 线解析式 为 y=34x2-32x-6；（2）设直线 AC的解析式 为 y=px+q，把 A（-2，0

44、），C（4，8）代入得22/232048pqpq，解得4383pq，直 线 AC的解析式 为 y=43x+83，当 x=0 时，y=43x+83=83，则 E（0，83），DE=83+6=263；（3）如 图 1，作 PQ y 轴交 AC于 Q，设P（m，43m2-32m-6），则 Q（m，43m+83），PQ=43m+83-（43m2-32m-6）=-34m2+176m+263，S=S PAQ+S PCQ=126PQ=-94m2+172m+26（-2 m 4）；（4）如 图 2，当点 M在 x 的正半 轴，AN交 BC于 F，作 FH AC于 H，则 FH=FB，易得 AH=AB=6，AC=

45、22226810ABBC，CH=10-6=4，cosACB=CHBCCFAC，CF=1048=5，F（4，3），易得直 线 AF的解析式 为 y=12x+1，23/23解方程 组233642112yxxyx得20 xy或143103xy，N点坐 标为（143，103）；当点 M 在 x 的负半轴 上时，AN 交 y 轴与 G，CAN=M AN，KAM=CAK，而 CAN=MAN，KAC+CAN=90，而 MAN+AFB=90，KAC=AFB，而KAM=GAO，GAO=AFB，Rt OAG RtBFA，OGOAABBF，即263OG，解得 OG=4，G（0，-4），易得直 线 AG的解析式 为 y=-2x-4，解方程 组22433642yxyxx得20 xy或43203xy，N的坐 标为（43，-203）.综上所述，满足条 件的 N点坐 标为（143，103）,（43，-203）【点睛】本 题考查 了二次函 数的综 合题：熟 练掌握二次函 数图 象上点的坐 标特征和角平分 线的性 质；会利用待定系 数法求函 数解析式；能通过解方程 组求一次函 数与 抛物 线的交点坐 标；会利用勾股定理、锐角三角函 数的定 义和相似三角形的性质进 行几何 计算；理解坐 标与图 形性 质