高中数学第1章计数原理1_5_1二项式定理学案北师大版选修2-3.pdf

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1、精品教案可编辑5.1 二项式定理1能用计数原理证明二项式定理(难点)2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(难点)精品教案可编辑基础初探 教材整理二项式定理阅读教材 P23P24“例 1”以上部分，完成下列问题1二项式定理：(ab)n_.【答案】C0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn2二项式系数：_.【答案】Crn(r 0,1,2，n)3二项式通项：_，即二项展开式的第_ 项精品教案可编辑【答案】Crnanrbrr14 在 二 项 式 定 理 中，如 果 设a 1，bx，则 得 到 公 式：(1 x)n_.【答案】1C1nxC2nx2 Crnxrxn判断(正确的打“”，错误

2、的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Cknankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()【解析】(1)因为(ab)n展开式中共有n1 项(2)因为二项式的第k1 项 Cknankbk和(ba)n的展开式的第k1 项Cknbnkak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)因为 Cknankbk是(ab)n展开式中的第k1 项(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“

3、小伙伴们”探讨交流：精品教案可编辑疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型 二项式定理的正用、逆用精品教案可编辑(1)用二项式定理展开2x32x25；(2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n 1 C2n(x1)n2(1)kCkn(x 1)nk(1)nCnn.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1 看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解【自主解答】(1)2x32x25C05(2x)5 C15(2x)432x2 C5532x2532x5120 x2180 x135x44058x724332x10.(2)原式 C0n(

4、x 1)nC1n(x1)n 1(1)C2n(x 1)n 2(1)2 Ckn(x1)nk(1)k Cnn(1)n(x1)(1)nxn.精品教案可编辑1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数精品教案可编辑再练一题 1(1)求3x1x4的展开式；(2)化简：12C1n4C2n 2nCnn.【解】(1)法一：3x1x4C04(3x)4C14(3x)31xC24(3x)2

5、1x2C34(3x)1x3C441x481x2108x5412x1x2.法二：3x1x43x14x21x2(81x4108x354x212x1)81x2108x5412x1x2.(2)原式 12C1n22C2n2nCnn(1 2)n3n.精品教案可编辑二项式系数与项的系数问题(1)求二项式2x1x6的展开式中第 6 项的二项式系数和第6 项的系数；(2)求x1x9的展开式中x3的系数【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1Cr6(2x)6r 1xr(1)rCr626r，T612.第 6 项的二项式系数为

6、C566，第 6 项的系数为C56(1)212.精品教案可编辑(2)Tr1Cr9x9r 1xr(1)rCr9x92r，92r3，r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C39 84.1二项式系数都是组合数Crn(r 0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第r1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Crn.例如，在(1 2x)7的展开式中，第四项是T4C3717 3(2x)3，其二项式系数是C3735，而第四项的系数是 C3723280.精品教案可编辑再练一题 2(1)(2015安徽高考)

7、x31x7的展开式中x5的系数是 _(用数字填写答案)(2)二项式2x12x6的展开式中的常数项为_【解析】(1)Tr1Cr7(x3)7r1xrCr7x21 4r，令 21 4r5，得r4，C4735.故展开式中x5的系数为35.(2)Tr1Cr6(2x)6r12xr(1)rCr6262rx62r，令 62r0，得r3，所以常数项为T4(1)3C36 20.【答案】(1)35(2)20探究共研型 精品教案可编辑求展开式中的特定项探究 1 如何求x1x4展开式中的常数项【提示】利用二项展开式的通项Cr4x4r1xrCr4x42r求解，令42r0，则r2，所以x1x4展开式中的常数项为C24432

8、6.探究 2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到探究 3 如何求x1x(2x 1)3展开式中含x的项？【提示】x1x(2x1)3展开式中含x的项是由x1x中的x与1x分别与(2x1)3展开式中常数项C331 及x2项 C1322x2 12x2分别相乘再把积相加得xC331xC13(2x)2x12x13x.即x1x(2x1)3展开式中含x的项为 13x.精品教案可编辑已知在3x33xn的展开式中，第6 项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【精彩点拨】写出通项Tr1

9、 令r 5，x的指数为零1求出n值 修正通项公式2求x2项的系数 考察x指数为整数 分析求出k值3写出有理项【自主解答】通项公式为：Tr1Crn(3)rCrn(3)r.(1)第 6 项为常数项，r5 时，有n2r3 0，即n 10.(2)令10 2r32，得r12(10 6)2，所求的系数为C210(3)2405.精品教案可编辑(3)由题意得，10 2r3Z，0r 10，r Z.令10 2r3k(kZ)，则 10 2r3k，即r532k.rZ，k应为偶数，k2,0，2 即r2,5,8，所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x 2.精品

10、教案可编辑1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCk1nank 1bk1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即 0 次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致精品教案可编辑再练一题 3(1)在(1x3)(1 x)10的展开式中，x5的系数是 _(

11、2)若xax26展开式的常数项为60，则常数a的值为 _【解析】(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为 C510C210(1)207.(2)xax26的展开式的通项是Tk1Ck6x6k(a)kx2kCk6x63k(a)k，令 63k0，得k2，即当k2 时，Tk1为常数项，即常数项是C26a，根据已知得C26a 60，解得a4.【答案】(1)207(2)4构建体系 精品教案可编辑1在(x3)10的展开式中，含x6的项的系数是()A 27C610B27C410C 9C610D9C410【解析】含x6的项是T5C410 x6(3)49C410 x6.【答案

12、】D2在x213x8的展开式中常数项是()A 28 B 7 C7 D28【解析】Tk 1Ck8x28k13xk(1)kCk8128k，当 843k0，即k6 时，T7(1)6C681227.【答案】C3在2x21x6的展开式中，中间项是_【解析】由n6 知中间一项是第4 项，因T4C36(2x2)3 1x3C36(1)323x3，所精品教案可编辑以T4 160 x3.【答案】160 x34 在x212x9的展开式中，第 4 项的二项式系数是_，第 4 项的系数是 _.【导学号：62690021】【解析】Tk1Ck9(x2)9k 12xk 12kCk9x18 3k，当k3 时，T4123C39x

13、9212x9，所以第4 项的二项式系数为C3984，项的系数为212.【答案】84 2125求x323x25的展开式的第三项的系数和常数项【解】T3C25(x3)323x22C2549x5，所以第三项的系数为C2549409.通项Tk 1Ck5(x3)5k23x2k23kCk5x15 5k，令 155k0，得k3，所以常数项为T4C35(x3)223x238027.精品教案可编辑我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标 精品教案可编辑一、选择题1设S(x1)33(x1)23(x 1)1，则S等于()A(x 1)3B(x2)3Cx3D

14、(x1)3【解析】S(x 1)13x3.【答案】C2已知x1x7的展开式的第4 项等于 5，则x等于()A.17B17C7 D 7【解析】T4 C37x41x35，则x17.【答案】B3若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A 3 B6C9 D12【解析】x3 2(x2)3，a2C23 2 6.【答案】B4使3x1xxn(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A 4 B5C6 D7【解析】Tr1Crn(3x)nr1xxrCrn3nr，当Tr1是常数项时，n52r0，当r2，n5 时成立【答案】B精品教案可编辑5在1x1x2 01510的展开式

15、中，含x2项的系数为()A 10 B30C45 D120【解析】因为1x1x2 015101x1x2 01510(1x)10C110(1x)91x2 015 C10101x2 01510，所以x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为 C210 x2，系数为 C210 45，故选 C.【答案】C二、填空题6(2015北京高考)在(2x)5的展开式中，x3的系数为 _ (用数字作答)【解析】设通项为Tr1Cr525rxr，令r3，则x3的系数为C3522 10 4 40.【答案】407设二项式xax6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是 _【解析】对于Tr

16、1Cr6x6r(a)r Cr6(a)r，BC46(a)4，AC26(a)2.B4A，a0，a2.【答案】289192被 100 除所得的余数为_.【导学号：62690022】【解析】法一：9192(100 9)92 C092 10092 C192 10091 9C292 1009092 C9292992，展开式中前92 项均能被100 整除，只需求最后一项除以100 的余数 992(10 1)92C092 1092C192 1091C9092 102C9192 10 1，前 91 项均能被100 整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 精品教案可编辑000，结果为1 000

17、 919 81，故 9192被 100 除可得余数为81.法二：9192(90 1)92C092 9092C192 9091 C9092 902C9192 90 C9292.前 91 项均能被100 整除，剩下两项和为92 90 18 281，显然 8 281 除以 100 所得余数为 81.【答案】81三、解答题9化简：S 12C1n 4C2n 8C3n(2)nCnn(nN)【解】将S的表达式改写为：SC0n(2)C1n(2)2C2n(2)3C3n(2)nCnn1(2)n(1)n.S(1)n1，n为偶数时，1，n为奇数时.10 (2016淄博高二检测)在2x1x6的展开式中，求：(1)第 3

18、 项的二项式系数及系数；(2)含x2的项【解】(1)第 3 项的二项式系数为C2615，又T3C26(2x)41x224C26x，所以第 3 项的系数为24C26240.(2)Tk1Ck6(2x)6k1xk(1)k26kCk6x3k，令 3k2，得k1.所以含x2的项为第 2 项，且T2 192x2.能力提升 1(2016吉林高二期末)若 C1nxC2nx2Cnnxn能被 7 整除，则x，n的值可能为()Ax4，n3 Bx 4，n4Cx5，n4 Dx6，n5精品教案可编辑【解析】C1nxC2nx2Cnnxn(1x)n1，分别将选项A，B，C，D 代入检验知，仅 C 适合【答案】C2已知二项式x

19、13xn的展开式中第4 项为常数项，则1(1x)2(1x)3(1 x)n中x2项的系数为()A 19 B19C20 D 20【解析】x13xn的通项公式为Tr1Crn(x)nr13xr Crn，由题意知n25360，得n5，则所求式子中的x2项的系数为C22C23C24C2513610 20.故选 C.【答案】C3(2016成都高二检测)在(x43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有_项【解析】Tr1Cr20 x20r(43y)r Cr20 x20ryr，其系数为Cr20.要使 Cr20为有理数，r4Z，又 0r 20，则r 0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6 项【

20、答案】64求x21x25的展开式的常数项【解】法一：由二项式定理得x21x25x21x25 C05x21x5精品教案可编辑C15x21x4 2C25x21x3(2)2C35x21x2(2)3C45x21x(2)4C55(2)5.其中为常数项的有：C15x21x4 2中的第 3 项：C15C24122 2；C35x21x2(2)3中的第 2 项：C35C1212(2)3；展开式的最后一项C55(2)5.综上可知，常数项为C15C24122 2C35C1212(2)3C55(2)56322.法二：原式x222x22x5132x5(x2)25132x5(x2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x2)10的展开式中含x5的项的系数，即C510(2)5，所以所求的常数项为C51025326322.