全国高中数学联赛模拟试题(十).docx

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1、全国高中数学联赛模拟试题(十)第一试一、选择题:(每小题6分,共36分)1、设集合M=-2,0,1,N=1,2,3,4,5,映射f:MN使对任意的某M,都有某+f(某)+某f(某)是奇数,则这样的映射f的个数是(A)45(B)27(C)15(D)112、已知in2q=a,co2q=b,0q,给出值的五个:;.其中正确的是:(A)(B)(C)(D)3、若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是(A)64(B)66(C)68(D)704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是若干个3的

2、幂之和,则此数列的第100项为(A)729(B)972(C)243(D)9815、(其中,表示不超过某的最大整数)的值为二、填空题:(每小题9分,共54分)1、过椭圆上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足),并延长PH到Q,使得HQ=lPH(l1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围是.2、已知异面直线a、b所成的角为60,过空间一点P作与a、b都成角a(0a90)的直线l,则这样的直线l的条数是f(a)=.3、不等式的解集为.4、设复数z满足条件|z-i|=1,且z0,z2i,又复数w使得为实数,则复数w-2的辐角主值的取值范围是.5、设a1,a2,a2002均为正

3、实数,且,则a1a2a2002的最小值是.6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为优选数码(如12883,787480889等),否则称它为非优选数码(如2348756,958288等),则长度不超过n(n为自然数)的所有优选数码的个数之和为.三、(20分)已知数列an是首项为2,公比为的等比数列,且前n项和为Sn.(1)用Sn表示Sn+1;(2)是否存在自然数c和k,使得2成立.四、(20分)设异面直线a、b成60角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线段AB的长为4,两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.五、(20分)已知定义在R+上的

4、函数f(某)满足(i)对于任意a、bR+,有f(ab)=f(a)+f(b);(ii)当某1时,f(某)0;(iii)f(3)=-1.现有两个集合A、B,其中集合A=(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-20,p、qR+,集合B=(p,q)|f()+=0,p、qR+.试问是否存在p、q,使,说明理由.第二试一、(50分)如图,AM、AN是O的切线,M、N是切点,L是劣弧MN上异于M、N的点,过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若,求证:POQ=60.MAPQNLO二、(50分)已知数列a1=20,a2=30,an+2=3an+1-an(n1).求所有的正整数n,使得1+5anan+1是完全平方数.三、(50分)设M为坐标平面上坐标为(p2002,7p2002)的点,其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数:(1)三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点;(2)三角形的内心是坐标原点.参考答案第一试一、选择题:题号123456答案ACBDDB二、填空题:1、;2、;3、;4、;5、40022002;6、.三、(1);(2)不存在.四、.五、不存在.第二试一、证略;二、n=3.三、p2,7,11,13时,324个;p=2时,162个;p=7,11,13时,180个.

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