大学精品课程离散数学课件 图的基本概念51.ppt

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1、第五局部第五局部 图论图论本局部主要内容本局部主要内容 图的根本概念图的根本概念 欧拉图、哈密顿图欧拉图、哈密顿图 树树 平面图平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色1第十四章第十四章 图的根本概念图的根本概念主要内容主要内容l图图l通路与回路通路与回路l图的连通性图的连通性l图的矩阵表示图的矩阵表示l图的运算图的运算预备知识预备知识l多重集合多重集合元素可以重复出现的集合元素可以重复出现的集合l无序集无序集A B=(x,y)|x A y B214.1 图图定义定义14.1 无向图无向图G=,其中其中(1)V 为顶点集，元素称为顶点为顶点集，元素称为顶点(

2、2)E为为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边的多重集，其元素称为无向边，简称边实例实例 设设 V=v1,v2,v5,E=(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)那么那么 G=为一无向图为一无向图3有向图有向图定义定义14.2 有向图有向图D=,只需注意只需注意E是是V V 的多重子集的多重子集图图2表示的是一个有向图，试写出它的表示的是一个有向图，试写出它的V 和和 E 注意：图的数学定义与图形表示，在同构待叙的意义下注意：图的数学定义与图形表示，在同构待叙的意义下是一一对应的是一一对应的4相关概念相关概念1.图图 可

3、用可用G泛指图无向的或有向的泛指图无向的或有向的 V(G),E(G),V(D),E(D)n阶图阶图2.有限图有限图3.n 阶零图与平凡图阶零图与平凡图4.空图空图5.用用 ek 表示无向边或有向边表示无向边或有向边6.顶点与边的关联关系顶点与边的关联关系 关联、关联次数关联、关联次数 环环 孤立点孤立点7.顶点之间的相邻与邻接关系顶点之间的相邻与邻接关系58.邻域与关联集邻域与关联集 v V(G)(G为无向图为无向图)v 的关联集的关联集 v V(D)(D为有向图为有向图)9.标定图与非标定图标定图与非标定图10.基图基图相关概念相关概念6多重图与简单图多重图与简单图定义定义14.3 (1)无

4、向图中的平行边及重数无向图中的平行边及重数(2)有向图中的平行边及重数注意方向性有向图中的平行边及重数注意方向性(3)多重图多重图(4)简单图简单图在定义在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念中定义的简单图是极其重要的概念 7顶点的度数顶点的度数定义定义14.4 (1)设设G=为无向图为无向图,v V,d(v)v的度数的度数,简称度简称度 (2)设设D=为有向图为有向图,v V,d+(v)v的出度的出度 d(v)v的入度的入度 d(v)v的度或度数的度或度数 (3)(G),(G)(4)+(D),+(D),(D),(D),(D),(D)(5)奇顶点度与偶度顶点奇顶点度与偶度顶点8定理定理1

5、4.1 14.1 设设G=G=为任意无向图，为任意无向图，V=v1,v2,vn,|E|=m,V=v1,v2,vn,|E|=m,那么那么证证 G中每条中每条边边(包括包括环环)均有两个端点，所以在均有两个端点，所以在计计算算G中各中各顶顶点点度数之和度数之和时时，每条，每条边边均提供均提供2度，度，m 条条边边共提供共提供 2m 度度.本定理的证明类似于定理本定理的证明类似于定理14.1握手定理握手定理定理定理14.2 设设D=为任意有向图，为任意有向图，V=v1,v2,vn,|E|=m,那么那么9握手定理推论握手定理推论推论推论 任何图任何图(无向或有向无向或有向)中，奇度顶点的个数是偶数中，

6、奇度顶点的个数是偶数.证证 设设G=为任意图，令为任意图，令 V1=v|v V d(v)为奇数为奇数 V2=v|v V d(v)为偶数为偶数 那么那么V1V2=V,V1 V2=，由握手定理可知，由握手定理可知由于由于2m,均为偶数，所以均为偶数，所以 为偶数，但因为为偶数，但因为V1中中顶点度数为奇数，所以顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数必为偶数.10例例1 无向图无向图G有有16条边，条边，3个个4度顶点，度顶点，4个个3度顶点，其余度顶点，其余顶点度数均小于顶点度数均小于3，问，问G的阶数的阶数n为几？为几？解解 此题的关键是应用握手定理此题的关键是应用握手定理.设除设除3度与度与4度

7、顶点外，还有度顶点外，还有x个顶点个顶点v1,v2,vx，那那么么 d(vi)2，i=1,2,x，于是得不等式于是得不等式 32 24+2x得得 x 4,阶数阶数 n 4+4+3=11.握手定理应用握手定理应用11图的度数列图的度数列1.V=v1,v2,vn为无向图为无向图G的顶点集，称的顶点集，称d(v1),d(v2),d(vn)为为G的的度数列度数列 2.V=v1,v2,vn为有向图为有向图D的顶点集，的顶点集，D的的度数列度数列：d(v1),d(v2),d(vn)D的的出度列出度列：d+(v1),d+(v2),d+(vn)D的的入度列入度列：d(v1),d(v2),d(vn)3.非负整数

8、列非负整数列d=(d1,d2,dn)是是可图化的可图化的，是，是可简单图化可简单图化的的.易知：易知：(2,4,6,8,10)，(1,3,3,3,4)是可图化的，后者又是是可图化的，后者又是可可简单图化的，而简单图化的，而(2,2,3,4,5)，(3,3,3,4)都不是可简单图都不是可简单图化化的，特别是后者也不是可图化的的，特别是后者也不是可图化的12图的同构图的同构定义定义14.5 设设G1=,G2=为两个无向图为两个无向图(两个两个有向有向图图)，假设存在双射函数，假设存在双射函数f:V1 V2,对于对于vi,vj V1,(vi,vj)E1 当且仅当当且仅当(f(vi),f(vj)E2

9、E1 当且仅当当且仅当 E2)并且并且,(vi,vj)与与(f(vi),f(vj)的重数相的重数相同，那么称同，那么称G1与与G2是同构的，记作是同构的，记作G1 G2.l图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.l能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：l 边数相同，顶点数相同边数相同，顶点数相同;度数列相同度数列相同;l 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等l 假设破坏必要条件，那么两图不同构假设破坏必要条件，那么两图不同构l判断两个图同构是个

10、难题判断两个图同构是个难题13图同构的实例图同构的实例图中图中(1)与与(2)的度数列相同，它们同构吗？为什么？的度数列相同，它们同构吗？为什么？(1)(2)(3)(4)图中，图中，(1)与与(2)不同构度数列不同，不同构度数列不同，(3)与与(4)也不同构也不同构.(1)(2)14n 阶完全图与竞赛图阶完全图与竞赛图定义定义14.6(1)n(n 1)阶无向完全图阶无向完全图每个顶点与其余顶点均相邻每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作的无向简单图，记作 Kn.简单性质：边数简单性质：边数(2)n(n 1)阶阶有向完全图有向完全图每对顶点之间均有两条方向相每对顶点之间均有两条方向相反的有向

11、边的有向简单图反的有向边的有向简单图.简单性质：简单性质：(3)n(n 1)阶阶竞赛图竞赛图基图为基图为Kn的有向简单图的有向简单图.简单性质：边数简单性质：边数 15n 阶阶 k 正那么图正那么图(1)为为K5，(2)为为3阶有向完全图，阶有向完全图，(3)为为4阶竞赛图阶竞赛图.(1)(2)(3)定义定义14.7 n 阶阶k正那么图正那么图=k 的无向简单图的无向简单图简单性质：边数由握手定理得简单性质：边数由握手定理得Kn是是 n1正那么图，正那么图，彼得松图见书上图彼得松图见书上图14.3(1)所示，记住它所示，记住它16子图子图定义定义14.8 G=,G=(1)G G G 为为G的子

12、图，的子图，G为为G 的母图的母图(2)假设假设G G且且V=V，那么称，那么称G 为为G的生成子图的生成子图(3)假设假设V V或或E E，称，称G 为为G的真子图的真子图(4)V V V且且V的导出子图，记作的导出子图，记作GV(5)E E E且且E的导出子图，记作的导出子图，记作GE 17例例2 画出画出K4的所有非同构的生成子图的所有非同构的生成子图实例实例18补图补图定义定义14.9 设设G=为为n阶无向简单图，以阶无向简单图，以V为顶点集，以为顶点集，以所有使所有使G成为完全图成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，的添加边组成的集合为边集的图，称为称为G的补图，记作的补图，记

13、作 .假设假设G ,那么称那么称G是自补图是自补图.相对于相对于K4,求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图图.问：互为自补图的两个图的边数有何关系？问：互为自补图的两个图的边数有何关系？1914.2 通路与回路通路与回路定义定义14.11 给定图给定图G=无向或有向的，无向或有向的，G中顶点与中顶点与边的交替序列边的交替序列 =v0e1v1e2elvl，vi1,vi 是是 ei 的端点的端点.(1)通路与回路：通路与回路：为通路；假设为通路；假设 v0=vl，为回路，为回路，l 为回为回路长路长 度度.(2)简单通路与回路：所有边各异，简单通路与回

14、路：所有边各异，为简单通路，又假设为简单通路，又假设v0=vl，为简单回路为简单回路(3)初级通路初级通路(路径路径)与初级回路与初级回路(圈圈)：中所有顶点各异，中所有顶点各异，那么称那么称 为初级通路为初级通路(路径路径)，又假设除，又假设除v0=vl，所有的顶，所有的顶点各不相同且所有的边各异，那么称点各不相同且所有的边各异，那么称 为初级回路为初级回路(圈圈)(4)复杂通路与回路：有边重复出现复杂通路与回路：有边重复出现20几点说明几点说明表示法表示法 定义表示法定义表示法 只用边表示法只用边表示法 只用顶点表示法在简单图中只用顶点表示法在简单图中 混合表示法混合表示法环长为环长为1的

15、圈的长度为的圈的长度为1，两条平行边构成的圈长度为，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度，有向简单图中圈的长度2.不同的圈以长度不同的圈以长度3的为例的为例 定义意义下定义意义下 无向图：图中长度为无向图：图中长度为ll3的圈，定义意义下为的圈，定义意义下为2l个个 有向图：图中长度为有向图：图中长度为ll3的圈，定义意义下为的圈，定义意义下为l个个 同构意义下：长度相同的圈均为同构意义下：长度相同的圈均为1个个试讨论试讨论l=3和和l=4的情况的情况21通路与回路的长度通路与回路的长度定理定理14.5 在在n 阶图阶图G中，假设从顶点中

16、，假设从顶点vi 到到vjvi vj存在通存在通路，路，那么从那么从vi 到到 vj 存在长度小于或等于存在长度小于或等于n1 的通路的通路.推论推论 在在 n 阶图阶图G中，假设从顶点中，假设从顶点vi 到到 vjvi vj存在通路，存在通路，那么那么从从vi 到到vj 存在长度小于或等于存在长度小于或等于n1的初级通路路径的初级通路路径.定理定理14.6 在一个在一个n 阶图阶图G中，假设存在中，假设存在 vi 到自身的回路，那到自身的回路，那么一么一定存在定存在vi 到自身长度小于或等于到自身长度小于或等于 n 的回路的回路.推论推论 在一个在一个n 阶图阶图G中，假设存在中，假设存在

17、vi 到自身的简单回路，那到自身的简单回路，那么一么一定存在长度小于或等于定存在长度小于或等于n 的初级回路的初级回路.2214.3 图的连通性图的连通性无向图的连通性无向图的连通性(1)顶点之间的连通关系：顶点之间的连通关系：G=为无向图为无向图 假设假设 vi 与与 vj 之间有通路，那么之间有通路，那么 vi vj 是是V上的等价关系上的等价关系 R=|u,v V且且u v(2)G的连通性与连通分支的连通性与连通分支 假设假设 u,v V，u v，那么称，那么称G连通连通 V/R=V1,V2,Vk，称，称GV1,GV2,GVk为连为连通分通分 支，其个数支，其个数 p(G)=k (k 1

18、)；k=1，G连通连通23短程线与距离短程线与距离(3)短程线与距离短程线与距离 u与与v之间的之间的短程线短程线：u v，u与与v之间长度最短的通路之间长度最短的通路 u与与v之间的之间的距离距离：d(u,v)短程线的长度短程线的长度 d(u,v)的性质：的性质：d(u,v)0,u v时时d(u,v)=d(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)d(u,w)24无向图的连通度无向图的连通度1.删除顶点及删除边删除顶点及删除边 Gv 从从G中将中将v及关联的边去掉及关联的边去掉 GV 从从G中删除中删除V 中所有的顶点中所有的顶点 Ge 将将e从从G中去掉中去掉 GE 删除删除E 中所

19、有边中所有边 2.点割集与边割集点割集与边割集 点割集与割点点割集与割点定义定义14.16 G=,V V V 为点割集为点割集p(GV)p(G)且有极小性且有极小性 v为割点为割点v为点割集为点割集定义定义14.17 G=,E E E 是边割集是边割集p(GE)p(G)且有极小性且有极小性 e是割边桥是割边桥e为边割集为边割集25点割集与割点点割集与割点例例3 v1,v4，v6是点是点割集，割集，v6是割点是割点.v2,v5是点割集吗？是点割集吗？e1,e2，e1,e3,e5,e6，e8等是边割集，等是边割集，e8是是桥，桥，e7,e9,e5,e6 是边是边割割集吗？集吗？几点说明：几点说明：

20、Kn中无点割集，中无点割集，Nn中既无点割集，也无边割集，其中中既无点割集，也无边割集，其中Nn为为 n 阶零图阶零图.假设假设G 连通，连通，E 为边割集，那么为边割集，那么 p(GE)=2，V 为点割集，为点割集，那么那么 p(GV)2 26点连通度与边连通度点连通度与边连通度定义定义14.18 G为连通非完全图为连通非完全图 点连通度点连通度 (G)=min|V|V 为点割集为点割集 规定规定 (Kn)=n1 假设假设G非连通，非连通，(G)=0 假设假设 (G)k，那么称，那么称G为为 k-连通图连通图 定义定义14.19 设设G为连通图为连通图 边连通度边连通度(G)=min|E|E

21、 为边割集为边割集 假设假设G非连通，那么非连通，那么(G)=0 假设假设(G)r，那么称，那么称G是是 r 边边-连通图连通图图中，图中，=1，它是，它是 1-连通图连通图 和和 1边边-连通图连通图27几点说明几点说明l(Kn)=(Kn)=n 1lG非连通，那么非连通，那么 =0l假设假设G中有割点，那么中有割点，那么=1，假设有桥，那么，假设有桥，那么=1l假设假设(G)=k,那么那么G是是1-连通图，连通图，2-连通图，连通图，k-连通图，连通图，但不是但不是(k+s)-连通图，连通图，s 1l假设假设(G)=r,那么那么G是是1-边连通图，边连通图，2-边连通图，边连通图，r-边边连

22、通图，但不是连通图，但不是(r+s)-边连通图，边连通图，s 1l,之间的关系之间的关系.l定理定理7.5 (G)(G)(G)l请画出一个请画出一个 的无向简单图的无向简单图28有向图的连通性有向图的连通性定义定义14.20 D=为有向图为有向图 vi vjvi 可达可达 vjvi 到到vj 有通路有通路 vi vjvi 与与vj 相互可达相互可达性质性质 具有自反性具有自反性(vi vi)、传递性、传递性 具有自反性、对称性、传递性具有自反性、对称性、传递性 vi 到到vj 的短程线与距离的短程线与距离类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同(无向图中

23、无向图中d(vi,vj)，有向图中，有向图中d)及及 d无对称性无对称性29有向图的连通性及分类有向图的连通性及分类定义定义14.22 D=为有向图为有向图 D弱连通弱连通(连通连通)基图为无向连通图基图为无向连通图 D单向连通单向连通 vi,vj V，vivj 或或 vjvi D强连通强连通 vi,vj V，vivj易知，强连通易知，强连通单向连通单向连通弱连通弱连通判别法判别法定理定理14.8 D强连通当且仅当强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次中存在经过每个顶点至少一次的回路的回路定理定理14.9 D单向连通当且仅当单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一中存在经过每个顶点至少一

24、次的通路次的通路30扩大路径法扩大路径法无向图中无向图中设设G=为为 n 阶无向图，阶无向图，E.设设 l 为为G中一条路径，假中一条路径，假设设此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到通此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到通路中来，继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端点不路中来，继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端点不与通路外的顶点相邻为止与通路外的顶点相邻为止.设最后得到的路径为设最后得到的路径为l+k长度长度为为 l 的路径扩大成了长度为的路径扩大成了长度为 l+k 的路径，称的路径，称l+k为为“极大极大路路径，称使用此种方法证明问题的方法为径，称使用此

25、种方法证明问题的方法为“扩大路径法扩大路径法.有向图中类似讨论，只需注意，在每步扩大中保证有向边方有向图中类似讨论，只需注意，在每步扩大中保证有向边方向的一致性向的一致性.31实例实例由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是图中最长的路径图中最长的路径上图中，上图中，(1)中实线边所示的长为中实线边所示的长为2的初始路径的初始路径，(2),(3),(4)中实线边所示的都是它扩展成的极大路径中实线边所示的都是它扩展成的极大路径.还能找到另外的极大路径吗？还能找到另外的极大路径吗？(1)(2)(4)(3)32扩大路径法的应用扩大路径法的应

26、用例例4 设设 G 为为 nn 3阶无向简单图，阶无向简单图，2，证明，证明G 中存在中存在长度长度 +1 的圈的圈.证证 设设 =v0v1vl 是由初始路径是由初始路径 0 用扩大路径法的得到用扩大路径法的得到的极的极大路径，那么大路径，那么 l 为什么？为什么？.因为因为v0 不与不与 外顶点相邻，又外顶点相邻，又 d(v0)，因而在，因而在 上除上除 v1外，至少还存在外，至少还存在 1个顶点与个顶点与 v0 相邻相邻.设设 vx 是离是离 v0 最远最远的顶的顶点，于是点，于是 v0v1vxv0 为为 G 中长度中长度 +1 的圈的圈.33二部图二部图定义定义14.23 设设 G=为一

27、个无向图，假设能将为一个无向图，假设能将 V分成分成 V1和和V2(V1V2=V，V1 V2=)，使得，使得 G 中的每条边的两个端点都中的每条边的两个端点都是是一个属于一个属于V1，另一个属于，另一个属于V2，那么称，那么称 G 为二部图为二部图(或称二或称二分分图、偶图等图、偶图等)，称，称V1和和V2为互补顶点子集，常将二部图为互补顶点子集，常将二部图G记为记为.又假设又假设G是简单二部图，是简单二部图，V1中每个顶点均与中每个顶点均与V2中所有的顶点中所有的顶点相相邻，那么称邻，那么称G为完全二部图，记为为完全二部图，记为 Kr,s，其中，其中r=|V1|，s=|V2|.注意，注意，n

28、 阶零图为二部图阶零图为二部图.34二部图的判别法二部图的判别法定理定理14.10 无向图无向图G=是是二部图二部图当且仅当当且仅当G中无奇圈中无奇圈 由定理由定理14.10可知图可知图9中各图都是二部图，哪些是完全二部中各图都是二部图，哪些是完全二部图？哪些图是同构的？图？哪些图是同构的？3514.4 图的矩阵表示图的矩阵表示无向图的关联矩阵对图无限制无向图的关联矩阵对图无限制定义定义14.24 无向图无向图G=，|V|=n，|E|=m，令，令 mij为为 vi 与与 ej的关联次数，称的关联次数，称(mij)n m为为G 的关联矩阵，记为的关联矩阵，记为M(G).性质性质36有向图的关联矩

29、阵无环有向图 定义14.25 有向图D=，令那么称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).(4)平行边对应的列相同平行边对应的列相同性质性质有向图的关联矩阵37有向图的邻接矩阵无限制有向图的邻接矩阵无限制定义定义14.26 设有向图设有向图D=,V=v1,v2,vn,E=e1,e2,em,令为顶点令为顶点 vi 邻接到顶点邻接到顶点 vj 边的条数，称为边的条数，称为D的的邻接矩邻接矩阵阵，记作，记作A(D)，或简记为，或简记为A.性质性质 38推推论论 设设Bl=A+A2+All 1，那么，那么 Bl中元素中元素为D中长度为 l 的通路总数，定理定理14.11 设设 A为为有向有向图图

30、D 的的邻邻接矩接矩阵阵，V=v1,v2,vn为顶为顶点集，那么点集，那么 A 的的 l 次次幂幂 All 1中元素中元素为D中vi 到vj长度为 l 的通路数，其中为vi到自身长度为 l 的回路数，而为为D中中长长度小于或等于度小于或等于 l 的回路数的回路数为为D中中长长度小于或等于度小于或等于 l 的通路数的通路数.邻接矩阵的应用邻接矩阵的应用为为D 中长度为中长度为 l 的回路总数的回路总数.39例例5 有向图有向图D如下图，求如下图，求 A,A2,A3,A4，并答复诸问题：，并答复诸问题：(1)D 中长度为中长度为1,2,3,4的通路各有多少条？其中回路分别为多的通路各有多少条？其中

31、回路分别为多少条？少条？(2)D 中长度小于或等于中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路的通路为多少条？其中有多少条回路？实例实例40(1)D中中长长度度为为1的通路的通路为为8条，其中有条，其中有1条是回路条是回路.D中中长长度度为为2的通路的通路为为11条，其中有条，其中有3条是回路条是回路.D中长度为中长度为3和和4的通路分别为的通路分别为14和和17条，回路分别条，回路分别 为为1与与3条条.(2)D中长度小于等于中长度小于等于4的通路为的通路为50条，其中有条，其中有8条是回路条是回路.实例求解实例求解41定定义义14.27 设设D=为为有向有向图图.V=v1,v2,vn

32、,令令 有向图的可达矩阵无限制有向图的可达矩阵无限制称称(pij)n n 为为D的可达矩阵，记作的可达矩阵，记作P(D)，简记为，简记为P.由于由于 vi V，vi vi，所以，所以P(D)主对角线上的元素全为主对角线上的元素全为1.由定义不难看出由定义不难看出,D 强连通当且仅当强连通当且仅当 P(D)为全为全1矩阵矩阵.以下图所示有向图以下图所示有向图 D 的可达矩阵为的可达矩阵为42第十四章第十四章 习题课习题课主要内容主要内容无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正那么图、无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正那么图、子图、补图；握手定理与推论；图的同构子图、补图；握手定

33、理与推论；图的同构通路与回路及其分类通路与回路及其分类无向图的连通性与连通度无向图的连通性与连通度有向图的连通性及其分类有向图的连通性及其分类图的矩阵表示图的矩阵表示43根本要求根本要求l深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们l深刻理解图同构、简单图、完全图、正那么图、子图、补深刻理解图同构、简单图、完全图、正那么图、子图、补图、二部图的概念以及它们的性质及相互之间的关系图、二部图的概念以及它们的性质及相互之间的关系l记住通路与回路的定义、分类及表示法记住通路与回路的定义、分类及表示法l深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念深刻理解与

34、无向图连通性、连通度有关的诸多概念l会判别有向图连通性的类型会判别有向图连通性的类型l熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵法，会求可达矩阵 4419阶无向图阶无向图G中，每个顶点的度数不是中，每个顶点的度数不是5就是就是6.证明证明G中至少有中至少有5个个6度顶点或至少有度顶点或至少有6个个5度顶点度顶点.练习练习1证证 关键是利用握手定理的推论关键是利用握手定理的推论.方法一：穷举法方法一：穷举法设设G中有中有x个个5度顶点，那么必有度顶点，那么必有(9x)个个6度顶点，由握手度顶点，由握手定理推论可知，定理推论

35、可知，(x,9x)只有只有5种可能：种可能：(0,9),(2,7),(4,5),(6,3),(8,1它们都满足要求它们都满足要求.方法二：反证法方法二：反证法否那么，由握手定理推论可知，否那么，由握手定理推论可知，“G至多有至多有4个个5度顶点并度顶点并且至多有且至多有4个个6度顶点，这与度顶点，这与G是是 9 阶图矛盾阶图矛盾.452数组数组2,2,2,2,3,3能简单图化吗？假设能，画出尽可能多能简单图化吗？假设能，画出尽可能多的非同构的图来的非同构的图来.练习练习2只要能画出只要能画出6 阶无向简单图，就说明它可简单图化阶无向简单图，就说明它可简单图化.以下图以下图的的4个图都以此数列为

36、度数列，请证明它们彼此不同构，都个图都以此数列为度数列，请证明它们彼此不同构，都是是K6的子图的子图.46用扩大路径法证明用扩大路径法证明.情况一：情况一：+.证明证明D中存在长度中存在长度 +1的圈的圈.设设 =v0v1vl为极大路径，那么为极大路径，那么l (为什么为什么?).由于由于d(v0)，所以在，所以在 上存在上存在PLAY邻接到v0，于是情况二：情况二：+，只需注意，只需注意d+(vl)+.3设设D=为有向简单图，为有向简单图，(D)2，+(D)0，(D)0，证明，证明D中存在长度中存在长度 max+,+1的圈的圈.为为D中长度中长度 +1的有向圈的有向圈练习练习347(1)D中

37、有几种非同构的圈？中有几种非同构的圈？(2)D中有几种非圈非同构的简单回路？中有几种非圈非同构的简单回路？(3)D是哪类连通图是哪类连通图?(4)D中中v1到到v4长度为长度为1,2,3,4的通路各多少的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？条？其中几条是非初级的简单通路？(5)D中中v1到到v1长度为长度为1,2,3,4的回路各多少的回路各多少 条？讨论它们的类型条？讨论它们的类型.(6)D中长度为中长度为4的通路不含回路有多少条？的通路不含回路有多少条？(7)D中长度为中长度为4的回路有多少条？的回路有多少条？(8)D中长度中长度 4的通路有多少条？其中有几条是回路？的通路有多少条？

38、其中有几条是回路？(9)写出写出D的可达矩阵的可达矩阵.4有向图有向图D如下图，答复以下诸问：如下图，答复以下诸问：练习练习448解答解答(1)D中有中有3种非同构的圈，长度分别为种非同构的圈，长度分别为1,2,3，请画出它们的，请画出它们的图形图形.(2)D中有中有3种非圈的非同构的简单回路，它们的长度分别为种非圈的非同构的简单回路，它们的长度分别为 4,5,6.请画出它们的图形来请画出它们的图形来.(3)D是强连通的为什么？是强连通的为什么？为解为解(4)(8)，只需先求，只需先求D的邻接矩阵的前的邻接矩阵的前4次幂次幂.49(4)v1到到v4长度为长度为1,2,3,4的通路数分别为的通路

39、数分别为0,0,2,2.其中只其中只有长度为有长度为4的两条是非初级的简单通路定义意义下，的两条是非初级的简单通路定义意义下，见以下图所示见以下图所示.解答解答50解答解答(5)v1到到v1长度为长度为1,2,3,4的回路数分别为的回路数分别为1,1,3,5.其中长度为其中长度为1的是初级的的是初级的(环环)；长度为；长度为2的是复杂的；长度为的是复杂的；长度为3的中有的中有1条是复杂的，条是复杂的，2条是初级的；长度为条是初级的；长度为4的有的有1条是复杂的，条是复杂的，有有4条是非初级的简单回路条是非初级的简单回路.请在图中行遍以上各回路请在图中行遍以上各回路.(6)长度为长度为4的通路的通路(不含回路不含回路)为为33条条.(7)长度为长度为4的回路为的回路为11条条.(8)长度长度 4的通路的通路88条，其中条，其中22条为回路条为回路.(9)4 4的全的全1矩阵矩阵.51