7不定积分和定积分整章.ppt

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1、第一节第一节不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 第二节第二节不定积分的积分方法不定积分的积分方法 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第三节第三节定积分的概念定积分的概念 第四节 微积分基本公式微积分基本公式 第五节第五节 定积分的积分方法定积分的积分方法 第六节第六节 广义积分广义积分第七节第七节 定积分的应用定积分的应用 一、一、不定积分的概念不定积分的概念二、二、基本积分公式基本积分公式 三、三、不定积分的性质不定积分的性质第一节第一节不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 1 1原函数的概念原函数的概念原函数说明：原函数说明：一、不定积分的概念一、不定积分的概念 2.2

2、.不定积分的概念不定积分的概念 例例 1 1 求下列不定积分：求下列不定积分：积分运算与微分运算之间的互逆关系：积分运算与微分运算之间的互逆关系：由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式：式可以相应地得出下列积分公式：二、二、基本积分公式基本积分公式 性质性质1 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即号外，即 性质性质2 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即的代数和，即例例 4 4 求下列不定积分：求下列不定积分：三、

3、三、不定积分的性质不定积分的性质 例例 5 5 求下列不定积分求下列不定积分:例例 6 6 求下列不定积分：求下列不定积分：(2)(2)得得思考题思考题2 2思考下列问题：思考下列问题：一、一、换元积分法换元积分法二、二、分部积分法分部积分法 三、三、简单有理数的积分简单有理数的积分 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法 1 1第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)直接验证得知直接验证得知,计算正确计算正确，我们可以把原积分作下列变形后计算：，我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：换和计算：一、换元积分法一、换元积分法 还成立还成立?回答是肯定的回答是肯定的,我们

4、有下述定理：我们有下述定理：可一般化为下列计算程可一般化为下列计算程 序：序：下面的例子下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧将继续展示凑微分法的解题技巧 例例 6 6 求下列积分：求下列积分：解解（1 1）本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用 例例 7 7 求下列积分：求下列积分：解解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形积函数做适当变形 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果的积分结果第二换元积分法第二换元积分法一般

5、地说，当被积函数含有一般地说，当被积函数含有二、分部积分法二、分部积分法 解一解一 分项，凑微分分项，凑微分 解五解五 分部积分分部积分利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如分式之和，例如 多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积 分法分法 三、简单有理式的积分三、简单有理式的积分 化真分式为部分分式之和举例说明：化真分式为部分分式之和举例说明：有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面 三种形式三种形式:前两种积分，简单凑微分法

6、即可获解，下面举例说前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说 明（明（3 3）式的积分方法）式的积分方法思考题思考题 1.1.第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是 什么？什么？一、一、定积分的实际背景定积分的实际背景 二、二、定积分的概念定积分的概念三、三、定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、定积分的性质定积分的性质3.2.1 3.2.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1.曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲边边梯梯形形:若若图图形形的的三三条条边边是是直直线线段段，其其中中有有两两条条垂垂直直于于第第三三条条底底边边，而而其其第

7、第四四条条边边是是曲曲线线，这这样样的的图图形形称称为为曲曲 边边梯梯形形，如如左左下下图图所所示示.yOMPQNBxCAA推广为推广为一、定积分的实际背景一、定积分的实际背景 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就所有的长条宽度趋

8、于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：如下图所示：0 x1x2xxn Oxy y=f(x)0 x=axn=b2变速直线运动的路程变速直线运动的路程 二、定积分的概念二、定积分的概念 定理定理1 1定理定理2 2存在定理存在定理例例1 1利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质仍有仍有解解令令于是于是解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使思考题思考题 一、一、变上限的定积分变上限的定积分二、二、牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式）公式

9、 3.2.23.2.2 微积分基本公式微积分基本公式3.2.23.2.2 微积分基本公式微积分基本公式 一、变上限的定积分一、变上限的定积分如右图所示如右图所示:定理的重要意定理的重要意义：（1）肯定了）肯定了连续函数的原函数是存在的函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了）初步揭示了积分学中的定分学中的定积分与原函数分与原函数之之间的的联系系.例例2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：证明明由复合函数求由复合函数求导法，得到法，得到二、二、牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨（Newton-LeibnizNewton-Leibniz）公式）公式 例例4求定积分：求定积分：思考题思考题 一、一、定积分的

10、换元积分法定积分的换元积分法 二、二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法 3.2.33.2.3 定积分的积分方法定积分的积分方法3.2.33.2.3 定积分的积分方法定积分的积分方法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）注意注意:求定积分一定要注意定积分的存在性求定积分一定要注意定积分的存在性.奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解（2）原式）原式偶函数偶函数在对称区间在对称区间上是奇函数，故上是奇函数，故（1 1）因为）因为二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例10 10 计算计算解解令令则则且当且当所以所以一、一、无穷区

11、间上的广义积分无穷区间上的广义积分二、二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分 3.33.3 广广 义义 积积 分分3.33.3 广广 义义 积积 分分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分无穷区间（无穷限）的广义积分也称为无穷区间（无穷限）的广义积分也称为第第一类广义积分一类广义积分.二、被积函数有无穷间断点的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明明:无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称无界点常称为为瑕点瑕点(奇点奇点).例如例如,间断点间断点,而不是

12、广义积分而不是广义积分.则本质上是定积分则本质上是定积分,注意注意:若瑕点的计算表达式的计算表达式:则也有类似牛则也有类似牛莱公式的莱公式的若若b为瑕点为瑕点,则则若若a为瑕点为瑕点,则则若若a,b都为瑕点都为瑕点,则则则则可相消吗可相消吗?例例6.证明广义积分证证:当当 q=1时时,当当 q1时收敛时收敛;q1时发散时发散.当当 q1时时所以当所以当 q1时时,该广义积分收敛该广义积分收敛,其值为其值为当当 q1时时,该广义积分发散该广义积分发散.一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、二、用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积三、三、用定积分求体积用定积分求体积四、四、平

13、面曲线的弧长平面曲线的弧长3.2.43.2.4 定积分的应用定积分的应用五、五、定积分的物理应用定积分的物理应用六、六、经济应用问题举例经济应用问题举例 3.2.43.2.4 定积分的应用定积分的应用 用定积分计算的量的特点：用定积分计算的量的特点：一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定积分概念解决实际问题的四个步骤：定积分应用的微元法定积分应用的微元法：微元法中微元的两点说明：微元法中微元的两点说明：1.1.直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积 2.2.极坐标下的面积计算极坐标下

14、的面积计算 1.1.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积三、用定积分求体积三、用定积分求体积解解 取坐标系如图，则底圆方程为取坐标系如图，则底圆方程为.2、旋转体体积旋转体体积 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 思考题思考题 1.1.功功(1)(1)变力沿直线做功变力沿直线做功 定积分的物理应用定积分的物理应用 于是功为于是功为 若移至无穷远处，则做功为若移至无穷远处，则做功为 于是所求的功为于是所求的功为 例例2 2 在在底底面面积积为为S的的圆圆柱柱形形容容器器中中盛盛有有一一定定量量的的气气体体.在在等等温温条条件件下下,由由于于气气体体的的膨膨胀胀,把把容容器器

15、中中的的一一个个活活塞塞从从点点a处处推移到点推移到点b处处.计算在移动过程中计算在移动过程中,气体压力所作的功气体压力所作的功.解解 在点在点x处处,因为因为V xS,所以作用在活塞上的力为所以作用在活塞上的力为(2)(2)抽水做功抽水做功 于是功为于是功为 2.2.液体对平面薄板的压力液体对平面薄板的压力 于是，端面所受的压力为于是，端面所受的压力为 3.3.转动惯量转动惯量 4 引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为