(精品)第六章微分方程.ppt

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1、第六章第六章 微分方程微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第三节第三节 齐次方程齐次方程第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第五节第五节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第六节第六节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第七节第七节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 复习复习第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一一、问题的提出问题的提出二二、微分方程的定义微分方程的定义三三、主要问题求方程的解主要问题求方程的解解解一、问题的提出一、问题的提出微分方程

2、微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程另一种分类另一种分类:未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。未

3、知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。我们只学习常微分方程，有时把常微分方程简称为我们只学习常微分方程，有时把常微分方程简称为微分方程。微分方程。微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.初始条件初始条件:用来确定

4、任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解解所求特解为所求特解为第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.1、可分离变量的微分方程的定义、可分离变量的微分方程的定义分离变量法分离变量法所以所以例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分求积分得求积分得练习：求练习：求 的通解。的通解。分离变量法步骤分离变量法步骤:分离变量分离变量;两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.3 3、小结、小结计算上述不定积分，得通解。计算上述不定积分，得通

5、解。第三节第三节 齐次方程齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义解：原方程可化为解：原方程可化为分离变量得分离变量得代入上式得代入上式得两边积分得两边积分得从而有从而有第四节、一阶线性微分方程第四节、一阶线性微分方程即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一次幂，则称它为线性微分方程。次幂，则称它为线性微分方程。对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解利用公式法求解利用公式法求解解：解：(公式法公式法)例例2 2

6、第第5节节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一一、二阶常系数线性微分方程解的性质、二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为 有一对共轭复根有一对共轭复

7、根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为见课本见课本P23表格表格定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2练练习习：所以所以,所给微分方程的通解为所给微分方程的通解为三、小结三、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（

8、3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法解解对应齐次方程通解对应齐次方

9、程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为练习练习:小结：二阶常系数非齐次线性微分方程解法小结：二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.代入方程得：代入方程得：基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.一阶线次微一阶线次微分方程分方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征

10、方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法复习：第六章复习：第六章 微分方程的主要内容微分方程的主要内容微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法齐次方程齐次方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高

11、阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程

12、满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（公式法或常数变易法）（公式法或常数变易法）、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为6 6、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.