B第二章数学与人的发展.pptx

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1、第二章第二章 数学与人的发展数学与人的发展人的人的发展有两展有两层含含义n一是指身体的发展；一是指身体的发展；n二是指心理的发展。二是指心理的发展。决定人决定人发展的因素展的因素n遗传因素遗传因素n环境因素环境因素n教育因素教育因素n个体主观能动性个体主观能动性 “数学使人聪颖、数学使人数学使人聪颖、数学使人严谨、数学使人深刻、数学使人严谨、数学使人深刻、数学使人缜密、数学使人坚毅、数学使人缜密、数学使人坚毅、数学使人勇敢、数学使人正直、数学使人勇敢、数学使人正直、数学使人美丽。美丽。”开普勒开普勒(Kepler)(Kepler)n通过数学的训练，可以使学生树立通过数学的训练，可以使学生树立明

2、确的数量观念，明确的数量观念，“胸中有数胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变认真地注意事物的数量方面及其变化规律。化规律。n提高学生的逻辑思维能力，使他们提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，有条不紊地思路清晰，条理分明，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。处理头绪纷繁的各项工作。n数学上的推导要求每一个正负号、每一数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。n数学上追求的是最有用（广泛）的结论、数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最低的条件（代价）

3、以及最简明的证明，最低的条件（代价）以及最简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格，凡事可以使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。力求尽善尽美。n通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，了解和领和理论的产生和发展的渊源和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。能力。n通过数学的训练，可以使学生增强拼搏

4、精神和通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从表面上一应变能力，能通过不断分析矛盾，从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。n可可以以调调动动学学生生的的探探索索精精神神和和创创造造力力，使使他他们们更更加加灵灵活活和和主主动动，在在改改善善所所学学的的数数学学结结论论、改改进进证证明明的的思思路路和和方方法法、发发现现不不同同的的数数学学领领域域或或结结论论之之间间的的内内在在联联系系、拓拓展展数数学学知知识识的的应应用用范范围围以以及及解解决决现现实实问问题题等等方方面面，逐步显露出自己的聪明才智。逐步显

5、露出自己的聪明才智。n使使学学生生具具有有某某种种数数学学上上的的直直觉觉和和想想象象力力，包包括括几几何何直直观观能能力力，能能够够根根据据所所面面对对的的问问题题的的本本质质或或特特点点，八八九九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。数学家李大潜院士数学家李大潜院士 一、一、训练人的思人的思维 数数学学素素有有“训训练练思思维维体体操操”的的美美称称。它它在在训训练练人人的的思思维维方方面面有有着着其其他他学学科科所所不不可可替替代代的的独独特特作用。作用。(一一)思思维与数学思与数学思维n思维是人脑对客观事物的本质属性思维是人脑对

6、客观事物的本质属性和事物内在联系的概括和间接的反和事物内在联系的概括和间接的反映。映。思维是智力的核心。思维是智力的核心。n思思维维有有两两个个最最显显著著的的特特征征，一一是是概概括性，二是间接性。括性，二是间接性。n数学思维，就是以数和形及其结构数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符关系为思维对象，以数学语言和符号为载体，并以认识和发现数学规号为载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。律为目的的一种思维。n数数学学思思维维主主要要具具有有概概括括性性、整整体体性性、相似性和问题性等特点。相似性和问题性等特点。1.1.求下图中两个正方形盖住的面积。求下图中两个正方

7、形盖住的面积。思维的概括性举例思维的概括性举例3212.2.某班有某班有1515个学生有哥哥，个学生有哥哥，9 9个学生有姐姐，个学生有姐姐，有哥哥又有姐姐的学生有有哥哥又有姐姐的学生有3 3个，问全班有个，问全班有哥哥或有姐姐的学生共有多少个？哥哥或有姐姐的学生共有多少个？(二二)数学思数学思维的分的分类1n数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。辑思维、形象思维和直觉思维三类。n逻辑思维的基本形式逻辑思维的基本形式概念、判断、推理。概念、判断、推理。n形象思维的基本形式形象思维的基本形式表象、直感、想象。表象、直感、想

8、象。n直觉思维的基本形式直觉思维的基本形式直觉、灵感直觉、灵感(顿悟顿悟)。例：鸡兔同笼，共有头例：鸡兔同笼，共有头14只，足只，足34条，鸡兔各几只？条，鸡兔各几只？例：父子两人上班，父亲要走例：父子两人上班，父亲要走40分，儿子要走分，儿子要走30分，父先走分，父先走5分后，分后，儿子多少分钟追上父？儿子多少分钟追上父？例：一只白兔和一只黑兔在相距例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵大的两棵大树间同时相向而行，白兔每秒钟跳树间同时相向而行，白兔每秒钟跳6m，黑兔每秒钟，黑兔每秒钟跳跳4m。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑10m。小花狗为了表示对两

9、只兔子都很亲热，因此当它遇到小花狗为了表示对两只兔子都很亲热，因此当它遇到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又迅速黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之间来回折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回奔跑了多奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回奔跑了多少路？少路？(二二)数学思数学思维的分的分类2n数学思维方式按照思维指向可以分成集中思数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。维和发散思维两类。n集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维

10、维。定向思维(正向思维正向思维)和纵向思维是集中和纵向思维是集中思维的两种重要形式。思维的两种重要形式。n发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。重要形式。例：小华家离学校有例：小华家离学校有800米远，小明家离学校有米远，小明家离学校有500米米远。问小华和小明的家相隔远。问小华和小明的家相隔多远？多远？例：对代数式例：对代数式3a作出解释。作出解释。说明：如葡萄的价格是说明：如葡萄的价格是3元元/千克，千克，买买a千克的葡萄需千克的葡萄需3a元；或正三角形的元；或正三角

11、形的边长为边长为a，这个三角形的周长是，这个三角形的周长是3a。(二二)数学思数学思维的分的分类3n数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。维和创造性思维两类。n再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。来解决问题的思维方式。n创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新

12、答案、发现新关系或创造新方法对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。的思维。例：计算例：计算5+5+5+5+4=(1)54+4 (按乘法意义算，属再现按乘法意义算，属再现性思维性思维)(2)55-1 (看到一个不存在的看到一个不存在的5，已，已有一点创造性成份了有一点创造性成份了)(3)64 (把一个把一个“4”分成四个分成四个“1”，分别添加到前面的四个，分别添加到前面的四个“5”上，变成了上，变成了四个四个“6”，对信息进行了整体改组，属于，对信息进行了整体改组，属于创造性思维创造性思维)例：长例：长30cm，宽，宽20cm的的长方形铁皮做成深长方形铁皮做成深5cm的无盖的无盖长方

13、体铁盒长方体铁盒(焊接处不计焊接处不计)，求，求长方体铁盒的容积。长方体铁盒的容积。(三三)数学思数学思维的一般方法的一般方法 有趣的练习有趣的练习n7+99=n6+998=n5+9987=n4+99876=n3+998765=n2+9987654=1.1.请同学们做好前面三道题；请同学们做好前面三道题；2.2.从这三道题中你发现了什么从这三道题中你发现了什么规律？规律？3.3.不用计算，你能写出后面三不用计算，你能写出后面三道题的结果吗？道题的结果吗？4.4.你还能写出这样的算式吗？你还能写出这样的算式吗？(四四)数学思数学思维的一般方法的一般方法n观察与实验观察与实验n比较与分类比较与分类

14、n分析与综合分析与综合n抽象与概括抽象与概括n归纳与猜想归纳与猜想n类比与联想类比与联想 观察与实验观察与实验n观观察察是是人人们们对对周周围围事事物物和和现现象象，在在其其自自然然条条件件下下，按按照照事事物物或或现现象象的的本本身身面面目目，研研究究和和确确定定它它们们的的性性质质和和关关系系的的一一种种方方法。法。n实实验验则则是是人人们们根根据据一一定定的的研研究究目目的的，人人为为地地创创设设条条件件，控控制制和和模模拟拟客客观观对对象象，在有利的条件下获取资料的研究方法。在有利的条件下获取资料的研究方法。比较与分类比较与分类n比较，是确定有关事物共同点和不同点比较，是确定有关事物共

15、同点和不同点的思维方法。的思维方法。n分类是以比较为基础，按照事物间性质分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方不同性质的对象归入不同类别的思维方法。法。分析与综合分析与综合 n分析，是指把所研究或思维的数学对象分析，是指把所研究或思维的数学对象的整体分成各个部分、方面、因素和层的整体分成各个部分、方面、因素和层次，并分别对它们进行研究、考察、探次，并分别对它们进行研究、考察、探究等的思维方法。究等的思维方法。n综合，是指把已有的关于研究对象的各综合，是指把已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和

16、层次等认识联结个部分、方面、因素和层次等认识联结起来，形成对研究对象的统一的整体性起来，形成对研究对象的统一的整体性认识的思维方法。认识的思维方法。抽象与概括抽象与概括n抽象，是从若干事物中，抽取其共同的抽象，是从若干事物中，抽取其共同的本质属性，舍弃其非本质属性的思维方本质属性，舍弃其非本质属性的思维方法。法。n概括，是把抽象出来的若干事物的共同概括，是把抽象出来的若干事物的共同属性联结起来并推广到同一类事物中去属性联结起来并推广到同一类事物中去的思维方法。的思维方法。归纳与猜想归纳与猜想n归纳是通过对同类事物中的若干特殊情归纳是通过对同类事物中的若干特殊情况的分析得出此类事物的一般性结论的

17、况的分析得出此类事物的一般性结论的思维方法。思维方法。n猜想是指人们根据某些事实和知识作出猜想是指人们根据某些事实和知识作出某种未经证实的预测性推断的思维方法。某种未经证实的预测性推断的思维方法。n归纳与猜想可以导致数学的发现。归纳与猜想可以导致数学的发现。类比与联想类比与联想n类比是根据两个对象或两类事物间存在类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些相同或相似属性，推断出它们着的某些相同或相似属性，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维方的其它属性也可能相同或相似的思维方法。法。n联想是由当前感知或思考的事物，想到联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。与其

18、相关联的另一个事物的思维方法。(五五)数学思数学思维的品的品质n思维的深刻性思维的深刻性n思维的灵活性思维的灵活性n思维的敏捷性思维的敏捷性n思维的独创性思维的独创性n思维的批判性思维的批判性 思维的深刻性思维的深刻性 是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思维是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思维的深刻性有如下特征：的深刻性有如下特征：1 1善于洞察数学对象的本质；善于洞察数学对象的本质；2 2善于把握数学知识的背景；善于把握数学知识的背景；3 3善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；4 4善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般善于揭示数学材料

19、的思想、方法、原理、一般模式；模式；5 5善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜想。推理和作出正确的推断与猜想。思维的灵活性思维的灵活性 是指思维活动的灵活程度。数学思是指思维活动的灵活程度。数学思维的灵活性具有以下特征：维的灵活性具有以下特征：1 1善于从不同的角度思考问题；善于从不同的角度思考问题；2.2.善于用不同的方法解决问题。善于用不同的方法解决问题。3 3善于随机应变，把问题加以转化。善于随机应变，把问题加以转化。思维的敏捷性思维的敏捷性 是是指指思思维维活活动动的的反反应应速速度度和和熟熟练练程程度度。数数学学思思

20、维的敏捷性有如下特征：维的敏捷性有如下特征：1 1在遇到新问题时，能迅速作出反应，进行在遇到新问题时，能迅速作出反应，进行有根有据、条理清楚地思考。有根有据、条理清楚地思考。2.2.在解题过程中，能较快地辨明解题思路，在解题过程中，能较快地辨明解题思路，找到解题途径。找到解题途径。3.3.在遇到困难时，能迅速转换思考方向，另在遇到困难时，能迅速转换思考方向，另辟蹊径。辟蹊径。4.4.在在解解决决数数学学问问题题时时，善善于于一一下下抓抓住住问问题题的的本质，使问题迎刃而解。本质，使问题迎刃而解。思维的独创性思维的独创性 是指思维活动的创新程度。数学思维的独创性具是指思维活动的创新程度。数学思维

21、的独创性具有如下特征：有如下特征：1 1具有较强的个性特点；具有较强的个性特点；2 2善于独立思考、分析、综合，找出数学问题善于独立思考、分析、综合，找出数学问题的主要特性；的主要特性；3 3善于通过观察、类比、归纳，作出猜想；善于通过观察、类比、归纳，作出猜想；4 4善于独辟蹊径，从方法上创新；善于独辟蹊径，从方法上创新；5 5善于通过思维而获得新颖的思维成果。善于通过思维而获得新颖的思维成果。思维的批判性思维的批判性 是是指指思思维维活活动动中中独独立立分分析析和和批批判判的的程程度度。数学思维的批判性具有以下特征：数学思维的批判性具有以下特征：1 1善于洞察解题过程中出现的错误与漏善于洞

22、察解题过程中出现的错误与漏洞，并能对思维过程作出正确的评价。洞，并能对思维过程作出正确的评价。2 2善于对已有的数学结果提出自己的看善于对已有的数学结果提出自己的看法。法。3.3.善于举出反例，批判错解。善于举出反例，批判错解。二二、陶冶人的情操、陶冶人的情操n学习数学需要学习数学需要情感投入情感投入,又可又可陶冶情操陶冶情操。n数学中充满美，绚丽多姿而数学中充满美，绚丽多姿而又深邃含蓄的数学美给人们又深邃含蓄的数学美给人们以精神享受，从而激发起学以精神享受，从而激发起学习研究的兴趣习研究的兴趣，吸引着人们吸引着人们的注意力。的注意力。数学美及其特点数学美及其特点 音音乐乐能能激激发发或或抚抚

23、慰慰情情怀怀，绘绘画画使使人人赏赏心心悦悦目目，诗诗歌歌能能动动人人心心弦弦，哲哲学学使使人人获获得得智智慧慧，科学可改善物质生活，科学可改善物质生活，但但数数学学能能给给予予以以上上的的一一切。切。克克莱莱因因(Klein)数学美及其特点数学美及其特点 统一性统一性 简单性简单性 对称性对称性 整齐性整齐性 不变性不变性 恰当性恰当性 奇异性奇异性 统一性统一性n所谓统一性，就是部分与部分、部分所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。与整体之间的协调一致。n在数学中，许多概念、公式、法则，在数学中，许多概念、公式、法则，特别一些数学分支的诞生，以及近代特别一些数学分支的诞生，以

24、及近代数学中的重大成果都体现出数学的统数学中的重大成果都体现出数学的统一性。一性。简单性简单性n与统一性相联系的是简单性。与统一性相联系的是简单性。n数学家研究数学的目的之一，就是尽数学家研究数学的目的之一，就是尽可能地用简单而基本的数学语言去描可能地用简单而基本的数学语言去描述世界，解释世界。述世界，解释世界。n数学家对于数学简单美的追求，是促数学家对于数学简单美的追求，是促进数学发展的动力之一。进数学发展的动力之一。对称性对称性n在客观世界中，对称的形式是很多在客观世界中，对称的形式是很多的。事物的对称形式，能给人以审的。事物的对称形式，能给人以审美的愉悦。美的愉悦。n在数学的发展中，由于

25、对对称美的在数学的发展中，由于对对称美的追求与实际需要相结合，从而可引追求与实际需要相结合，从而可引出新的概念和新的理论。出新的概念和新的理论。整齐性整齐性n所谓数学的整齐美是指各个数学符所谓数学的整齐美是指各个数学符号按相同方式排列，同一形状的一号按相同方式排列，同一形状的一致的重复。致的重复。n对数学整齐美的追求，可以获得新对数学整齐美的追求，可以获得新的数学成果。的数学成果。不变性不变性n不变性也是一种美。不变性也是一种美。n在一个数学关系结构系统中，那些在一个数学关系结构系统中，那些变化中的不变量和不变关系常常表变化中的不变量和不变关系常常表现出美的神韵。现出美的神韵。恰当性恰当性n恰

26、当性也呈现一种数学美。在日常恰当性也呈现一种数学美。在日常生活中，有些事物表现出数量上的生活中，有些事物表现出数量上的适度，即我们常说的不多不少、正适度，即我们常说的不多不少、正好，往往给人以美的愉悦。好，往往给人以美的愉悦。n数数学学家家追追求求最最佳佳估估计计、最最佳佳逼逼近近、最最优优值值等等都都是是数数学学美美的的恰恰当当性性的的体体现。现。奇异性奇异性n在数学中出现一种新而不平常的关系结在数学中出现一种新而不平常的关系结构，能在人们的想象中诱发一种乐趣，构，能在人们的想象中诱发一种乐趣，在人们心灵深处产生出一种愉悦的惊奇，在人们心灵深处产生出一种愉悦的惊奇，这就是数学美的奇异性。这就

27、是数学美的奇异性。n数学的发展就象精彩故事一样地波澜壮数学的发展就象精彩故事一样地波澜壮阔，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。阔，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。既在情理之中，又在意料之外，是和谐既在情理之中，又在意料之外，是和谐与奇异的统一体。与奇异的统一体。三三、健全人的心理、健全人的心理 心理素质是适应环境心理素质是适应环境、赢赢得学习和生活成功的必要条件，得学习和生活成功的必要条件，它在人的素质形成中起着调节它在人的素质形成中起着调节作用。心理健康的特征应该包作用。心理健康的特征应该包括乐观向上，积极进取，能经括乐观向上，积极进取，能经受挫折，具有耐心与恒心。受挫折，具有耐心与恒心。数学是一

28、门充满神秘与数学是一门充满神秘与奇趣的学科，著名的奇趣的学科，著名的“七桥七桥问题问题”、“四色问题四色问题”、“哥德巴赫猜想问题哥德巴赫猜想问题”等，等，诱发了多少人的好奇心，激诱发了多少人的好奇心，激活了人们无尽的智慧活了人们无尽的智慧。数学的抽象性使得数学问数学的抽象性使得数学问题的解决经常伴随着困难；会题的解决经常伴随着困难；会使学生体验挫折和失败。而这使学生体验挫折和失败。而这正是磨炼意志，提高耐挫力的正是磨炼意志，提高耐挫力的时机，愈挫愈奋、百折不挠的时机，愈挫愈奋、百折不挠的良好心理素质不会在一帆风顺良好心理素质不会在一帆风顺中形成。中形成。数学高度的抽象性和严谨数学高度的抽象性

29、和严谨的逻辑性的逻辑性,使数学学习较其它学使数学学习较其它学科的学习困难更大。数学学习科的学习困难更大。数学学习需要有坚强的毅力和坚定的意需要有坚强的毅力和坚定的意志志,需要聚精会神需要聚精会神,需要学习者需要学习者具有良好的心理素质具有良好的心理素质,又可培养又可培养良好的心理素质。良好的心理素质。四、完善人格品质四、完善人格品质n数学教人诚实和正直。数学教人诚实和正直。n经经过过严严格格的的数数学学训训练练的的人人，能能够够养养成成一一种种独独立立思思考考而而又又客客观观公正的品格。公正的品格。n受受过过良良好好数数学学教教育育的的人人，在在数数学学的的学学习习和和训训练练中中所所形形成成

30、的的品品质，会对其工作产生积极影响。质，会对其工作产生积极影响。六、思考题：1 1试计算一系连续自然数的立方和，然后试计算一系连续自然数的立方和，然后归纳猜想有什么结论。归纳猜想有什么结论。2 2通过实际计算，观察、归纳猜想要用多通过实际计算，观察、归纳猜想要用多少个平方数来表示任何一个自然数。少个平方数来表示任何一个自然数。3 3、什么是数学思维？数学思维的基本类型、什么是数学思维？数学思维的基本类型有哪些？有哪些？4 4、如何进行数学思维方式的分类，各种数、如何进行数学思维方式的分类，各种数学思维方式的基本特征是什么？学思维方式的基本特征是什么？5 5、试结合数学学习和解题过程对数学思维、试结合数学学习和解题过程对数学思维的智力品质的特点加以说明。的智力品质的特点加以说明。