初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数(含答案)18268.pdf

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1、初中六年级数学 第二课时 最大公因数和最小公倍数 学习目标 1.理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数；2.理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点；3.理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数；4.理解和掌握求三个数最小公倍数的方法.核心知识 一、公因数与最大公因数 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2、如果 2 个整数只有公因数 1，那么这两个数互素。两数互素是指两个数的最大公因数是 1 这样一种关系。它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。判断：只有 2 个数都是素数才能互素，对吗？错。比

2、如：4 和 9。两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19 和 23）；（2）素数和合数（13 和 14）；（3）合数和合数（21 和 22）；（4）1 和任何正整数（1 和 100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是 1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。辗转相除法：求 36 和 84 的最大公因数 3 36 84 2 36 72 0 12 上面式子的意思是：84 除以 36，商

3、是 2（写在右边），362=72（写在被除数 84下方），余数是 12，再用 36 除以 12，商是 3（写在左边），123=36（写在被除数 36 下方），余数是 0，这样，最后的除数 12 就是 36 和 84 的最大公因数。像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。求：280 和 160 的最大公因数。1 280 160 1 160 120 3 120 40 120 0 所以，280 和 160 的最大公因数是 40.求三个数的最大公因数：用一个数去除 18、24、60 都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60

4、的最大公因数是 23=6，所以这个数最大是 6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。上题还有分解素因数法：大家试试求解一下。二、公倍数与最小公倍数 10、几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。判断下列说法是否正确：（1）两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。（）（2）两个数的公倍数的个数是有限的。（）（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。（）（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。（）如果将“不相同的”去掉，这句话还对嘛？1

5、1、求两个整数最小公倍数的方法有：列举法、分解素因数法、短除法。12、如果两个整数中某一个是另一个的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍 数。13、如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。14、大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以 2、3、4，所得的积最先是较小这个数的倍数时，那么这个积就是这两个数的最小公倍数。注：两个数之间的关系有三种情况：（1）互素关系；（2）倍数关系；（3）一般关系；如果两个数是第 1、第 2 种关系，则用“运用规律法”求他们的最小公倍数更快捷；如果是第 3 种关系，通常用短除法更快捷（用短除法求最小公倍数时，可用较大公因数去除，使计算更加快捷，除数不一定非

6、是素数）。温故知新 一、填空 1、两个连续奇数的和是 16，那么这两个奇数的最小公倍数是_63_，最大公因数是_1_。2、如果整数 m 除以整数 n 的商是 8，那么这两个数的最小公倍数是_m_，最大公因数是_n_。3、2、5、8、9 四个数，任选两个数组成一对，一共可以组成 _5_对互素数。2，5；2，9；5，8；5，9；8，9。4、一个数除 85 余 1，除 65 余 2，符合条件的数中最大的这个数是 _21_。本题求 84 和 63 的最大公因数。5、一张长方形纸片，长 96 厘米，宽 60 厘米，把它裁成同样大小且边长为整数厘米的正方形而无剩余，至少可裁成_40_张。本题求 96 和

7、60 的最大公因数。6、一块长方形绿地，长 120 米，宽 30 米，要在它的四周和四个角种树，每相邻两棵树的距离相等，最少种_10_棵数。本题求 120 和 30 的最大公因数及植树问题。运 用 规 律 法 二、选择 7、8 是 32 和 48 的 (C)A.最大公因数 B.素因数 C.公因数 D.互素数 本题考查这四个概念的区别。8、既是 24 的因数，又是 36 的因数有 (C)A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8 个 本题考查公因数的概念，它们的公因数分别是 1、2、3、4、6、12。9、如果自然数 a 和 b 的最大公约数是 1，那么 a 和 b 的最小公倍数是(A)A.ab

8、B.a C.b D.无法确定 本题考查互素的概念和互素的两个数的最小公倍数如何求解的问题。10、有一堆桃子，三个三个的数余 2 个，四个四个的数仍余 2 个，这堆桃子最少有（B）A.12 个 B.14 个 C.16 个 D.18 个 典型例题 例题 1 三个素数的和为 50，请写出一组这样的素数。2、31、17 或 2、11、37 或 2、7、41 偶数+奇数+奇数=偶数，所以一定要有素偶数 2.例题 2 甲数=2357，乙数=2311，它们的最大公约数是 6，最小公倍数是 2310.最大公因数=公有的素因数的乘积；最小公倍数=公有的素因数的乘积其余各数的乘积；例题 3 如果正整数 n 能使得

9、nn24也是正整数，那么这样的正整数n 有多少个？8 个。nn24=1+n24,也就是求24 的因数，即n=1，2，3，4，6，8，12，24.例题 4(1)3 和 5 的最小公倍数是 15，最大公因数是 1；（互素关系）(2)18 和 36 的最小公倍数是 36，最大公因数是 18；（倍数关系）(3)8 和 9 的最小公倍数是 72，最大公因数是 1；（互素关系）(4)6 和 15 的最小公倍数是 30；最大公因数是 3.（一般关系）过关练习 1、有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有(C)对.A.1 B.2 C.3 D.4 210=2357，将 2、3、5、7 两两组合相

10、乘，便可以得到 10 和 21，6 和 35，14和 15。2、自然数 a、b，如果数 a 除以数 b 的商是 2，那么两数的最大公约数是(B)A.a B.b C.1 D.2 a 和 b 是倍数关系，所以它们的最大公约数是 b。3、三个数的和是 63，甲数比乙数少 3，丙数是甲数的 2 倍，这三个数的最大公约数是 3，最小公倍数是 90.先求出甲、乙、丙三个数分别是 15、18、30，然后再求最大公约数和最小公倍数。4、求一个最小的自然数，使它除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余4，这个数是 58.先求出 3、4、5、6 的公倍数是 60、120、180，所以符合

11、条件的是 60-2=58.这就是我们上次课备选例题第二题 215=41 的延伸，既是被除数至少增加 4时没有余数。本题就是所要求的“最小的自然数”+2=60.巩固练习 一、选择 1、几个素数的乘积一定是 (B)A、素数 B、合数 C、偶数 D、奇数 2、一个合数的因数的个数至少为 (C)A、1 B、2 C、3 D、4 3、甲数=335，它的因数的个数为 (D)A、3 B、4 C、5 D、6 本题考查如何通过素因数求解因数：将素因数组合相乘即得到因数，但是别忘了1 和它本身。4、几个数的最大公因数是 12，这些数的全部公因数是 (D)A、1,2,3,12 B、2,3,4,6 C、2,3,4,6,

12、12 D、1,2,3,4,6,12 全部公因数一定是最大公因数的因数，即求 12 的因数有哪些。5、下列说法中，正确的有 (D)2 是 4 和 16 的一个公因数；12 是 24 和 36 的最大公因数；如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；1 和任何正数互素。A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 正确的有：（1）、（2）、（4）。（3）两个数互素有四种情况，核心知识讲过的。二、填空 1、1、2、6、7、9 中合数是 6、9，素数是 2、7，既非合数又非素数的是 1。2、a 是合数，且 1a23，a 中最小的奇数是 9；最大的奇数是 21；a 中最小的偶数是 4；最大的偶数是 2

13、2。（要注意“a 是合数”这个条件）3、从 3 到 10 中，同时与 2、3 互素的数有 5、7。三、解答 1、如果 AB=144，A 和 B 的最大公因数是 6，那么它们的最小公倍数是多少？解：24.2、1 路车与 2 路车都在某站停，1 路车每隔 4 分钟来一辆，而 2 路车每隔 6 分钟来一辆，某时刻，1 路车与 2 路车同时到达该站后，至少再过多少分钟 1 路车与2 路车又能同时到达该站。解：12 分 3、（1）把 37、42、57、65、74、95、105、195 分成两组，使它们的乘积相等。(2)学生 1430 人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数要在 100 至200 之

14、间，有哪几种方法？(1)把八个数分成两组，要使两组数的乘积相等，也就是每组各因数所含有的素因数的情况相同。先把各数分解素因数，再按素因数分成两组就可以了，没必要算出乘积是多少。37 是素数 74=237 42=237 105=357 95=519 57=319 195=3513 65=513 第一组：37、42、95、195 374295195=233557131937 第二组：74、57、65、105 745765105=233557131937(2)解这道题时要把1430 分解素因数，1430=251113。在此基础上选择其中的若干素因数相乘，注意使乘积在 100 到 200 之间。251

15、1=110 13 个队，每队有 110 人。2513=130 11 个队，每队有 130 人。1113=143 10 个队，每队有 143 人。自我测试 一、选择 1、100 以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的和是 (B)A.103 B.101 C.99 D.97 2、下列说法正确的是 (C)A.所有正整数至少有两个因数 B.偶数一定不是素数 C.奇数也有可能是合数（比如 9）D.一个奇数和一个偶数一定不会有相同的因数 3、下列说法中，错误的是 (C)A.4 是最小的合数 B.2 既是素数又是偶数 C.能够整除 2 的数是合数 D.能被 5 整除的整数个位不是 0 就是 5 4、36 和

16、 48 的最大公因数和最小公倍数分别是 (B)A、6 和 196 B、12 和 144 C、6 和 144 D、12 和 96 5、下列各组数中，最小公倍数不是 36 的是 (C)A、4 和 9 B、3 和 12 和 36 C、2 和 18 D、6 和 9 和 12 6、100 以内，能同时被 3 和 5 整除的最大奇数是 (B)A、35 B、75 C、85 D、90 7、要使两位数 1和 6 互素，方框中的数字可以是 (D)A、0,2,6 B、0,5,7 C、4,8,9 D、1,3,7 8、20、70、105 这 3 个数有一个共同的素因数，这个数是 (C)A、10 B、7 C、5 D、3

17、9、a 和 b 都是正整数，并且 ab=8，那么 a 和 b 的最大公因数是(B)A、a B、b C、8 D、1 二、判断：1、两个互素的整数一定都是素数。（）2、两个数的公因数分别是两个数的素因数。（）3、两个互素的整数可能都是合数。（）4、两个数的公因数中，一定含有两数的素因数。（）5、两个互素的整数不可能有相同的素因数。（）6、两个互素的整数不可能都是偶数。（）7、共有的素因数一定是两数的公因数。（）8、两数的公因数不可能与其中一个数的素因数完全相同。（）9、任意两个素数互素。（）10、100 以内，除了 2 以外，其余的素数都是奇数。（）课后记：本堂课主要讲了素数、合数与分解素因数，以及最大公因数与最小公倍数的计算。本节最大公因数与最小公倍数的判断是本节课的重点也是难点。本次题目中等偏难，学生基本上能够对所学内容掌握，但是还需要进一步加强巩固练习。资料来源网络整理