高等数学复习题附答案37177.pdf

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1、 -.-可修编-高等数学复习题 一、选择题 1、已知函数)2arctan(2)(xxxf，则函数)(xf的定义域为 （）)2,1(，3,1(，2,1，2,(.2、已知函数)(xf的定义域为0,1，则函数)2(xf的定义域为 （）2,(，(1,2)，0，1,1,2.3、已知函数|1|arcsin)(xxf，则函数)(xf的定义域为 （）1,1，1,1(，)2,0(，2,0.4、xxxsinlim （）1不存在 0 5、下列函数中为奇函数的是 ()1(log2xxa，2xxee，xcos，x2.6、下列函数中是相同函数的是 （）1)(,)(xgxxxf33341)(,)(xxxgxxxf 2)()

2、(,)(xxgxxfxxgxxflg2)(,lg)(2 7、xxx3sinlim0 （）123 8、xxx1021lim ()2e，2e，2，+.9、xxxarcsin0lim ()0，1，2，不存在.10、xxx21lim ()2e，2e，2，+.-.-可修编-11、103422lim22xxxxx ()0，1，2，不存在.12、xxxx2lim ()2e，2e，2，+.13、xxxarctanlim ()0，1，2，不存在.14、xxx1021lim ()2e，2e，2，+.15、当0 x时，下列函数为无穷小量的是 （）xxsinxx1sin2)1ln(1xxx11 16、当xx2tan0

3、时，与等价的无穷小量是 ()x，x，2x，2x.17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是 ()1,lnxx，0,lnxx，xex,，xex,.18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ()1,lnxx，0,cosxx，xx,sin1，xex,.19、当xx2sin0时，与等价的无穷小量是 ()x，x，2x，2x.20、点0 x是函数0,10,)(xexxxfx的 （）连续点 可去间断点 第二类间断点 第一类间断点，但不是可去间断点 21、函数)(xfy 由参数方程0sincosataytax，则 dxyd（）tsinttantcottsec 22、设dyeyx则,（）-.-可修编-d

4、xexx，dxex，xdxex2，xdxex 23、设dyeyx则,1 （）dxex1，dxexx121，dxexx121，dxexx11 24、设,sin2xy 则dy （）xxcossin2xdxcos2xdxsin2xdx2sin 25、设函数|)(xxf 则在0 x点处 （）不连续，连续但左右导数均不存在，连续且可导，连续但不可导.26、设函数|cos)(xxf 则在0 x点处 （）不连续，连续但左右导数均不存在，连续且可导，连续但不可导.27、设函数xxf)(，则)(xf在点0 x处 （）可导 不连续 连续，但不可导 可微 28、设21,1,()31,1xxf xxx，则 f(x)在

5、 x=1 处()既可导又连续可导但不连续 不连续也不可导 连续但不可导 29、函数xysin，则 )12(y（）xcosxcosxsinxsin 30、曲线26322xxy在点(3,1)处的切线的斜率k ()31 15 0 31、设0000(2)()()limhf xhf xfxh存在，则.()0()fx0()fxh02()fxh02()fx 32设函数3)(xxf，则在0 x是函数的 （）驻点与极值点;不是驻点与极值点;极值点;驻点.33、设函数 f x区间0,1满足罗尔定理的是 （）|5.0|)(xxf,5.0225.02)(xxxxxf,)sin()(xxf,xxf)(-.-可修编-34

6、、设函数 f x在0 x的 00fx，则 f x在0 x （）一定取极大值 一定 取极小值 一定 不取极值 极值情况不确定 35、设函数)(xf在0 x处具有二阶导数，且0)(0 xf，0)(0 xf，则)(0 xf为 最小值 极小值 最大值 极大值 36、)(dxxFd ()dxxF)(，)(xF，dxxF)(，.)(xF 37、设xsin是)(xf的一个原函数，则dxxf)(（）CxsinCxcos CxxcossinCxxsin 38、dxxx212 ()Cx arcsin，Cx 21，Cx 212，Cx 2arcsin21 39、dxxx212 ()Cx arctan，Cx 2arct

7、an21，Cx 2，Cx)1ln(2 40、下列函数中，为)(222xxeey的原函数的是.()xxee22)(2122xxeexxee22)(2122xxee 41、dxxxe1)ln1(1=()12lnC2ln22ln 42、badaddxxf)(（）)()(afbf)(aff(b)0 43、21sin xdxxdxd ()xsinx0 2 3 44、badbddxxf)(（）)()(afbf，f(b)，)(af，0.-.-可修编-二、填空题 1、若)(xf的定义域为)0,(,则)(ln xf的定义域为；2、已知函数291)(xxf，则函数)(xf的定义域为。3、若fxxx()()112则

8、)(xf=;4、已知函数xxxf2)1(2，则函数)(xf=。5、已知函数2sin)(cos2xxf，则函数)(xf=。6、xxxarcsinlim0。7、曲线26322xxy在点(3,1)处的切线的斜率k .8、设)2)(1()(xxxxf,则)1(f ;9、设)(),(cosufxfy 可导,则dy ;10、设xeysin，求22dxyd .11、设0,sin;0,)(2xaxxbexfx在0 x处可导,则a ;b ;12、设121yx则()1nxy=。13、曲线 y=xex2在 x=0 处的切线方程为。14、f(x)在点 x0处可导且310)(xf，则 hxfhxfh0030lim。15

9、、用微分作近似计算时，31.003。16、函数32)(2xxxf 在2,1上满足拉格朗日中值定理的=;17、函数xxy1的极大值为 ；.18、202limxeexxx。19、2lnlimxxx。20、已知函数xxaxf2sinsin)(在6x处取得极值，则 a=。-.-可修编-21、若)(,)(xfcxedxxfx则=；22、若)(,)(xfcedxxfx则=；23、已知xe是)(xf的一个原函数,则dxxf x)(.24、dxx112。25、dxxln。26、dxxxx13322。27、3020sinlimxdttxx ;28、121dxx；29、xxtdtx2)(,sin)(则 ;30、在

10、2,0上曲线xysin与x轴所围成的图形的面积为 .31、11)arcsin(dxxx ；32、若20()sin(),()xdf t dtxfxdx则.33、已知某物体作直线运动速度为 23)(ttv，则物体在 t=0 到 t=2 时间段的平均速度v。34、112321cossindxxxxxx。35、21cos0limxdtetxx=。三、计算题 1、设,ln21,12ttyttx。求22,dxyddxdy 2、求曲线tytxsincos上对应4t点处的切线方程和法线方程.3、(0),xyxxdy设求 4、设221)(2xbaxxxxf其中为常数 a，b，)2(f 存在，求 a，b，)2(f

11、 的值 -.-可修编-5、设方程3sin,(),.costttxetdyyy xdxyet确定函数求 6、已知函数 coslncos3xxeyxx 求y。7、已知函数 xxxxylnarctan)1(2 求y。8、已知函数 xxxyarcsin121221 求y。9、计算由方程2221yxy确定的隐函数()yy x的二阶导数。10、确定函数31292)(23xxxxf的单调区间与极值。11、求函数xexy2的极值.12、求积分xdxx3sin。13、求积分.1xdxx 14、求积分dxxxxeexx)1sectansec1(22 15、求积分dxxxxx)1)1(1(22 16、求积分dxxx

12、x)arcsin1(2 17、求积分2022dxx 18、求定积分dxxx40122.19、求定积分dxxx053sinsin.20、求定积分401 sin2.xdx 21、求定积分dxx102)1ln(22、求定积分dxxx102cos4 23、求定积分4110 xdx -.-可修编-四、应用题与证明题 1、由曲线0,lnyexxy与所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.2、求由曲线2xy 与直线0,2,1yxx所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。3、抛物线2yx及直线2yx所围图形的面积.4、求由曲线xy2与直线 y=x-2 所围成的平面图形的面积 5、计算曲

13、线2xy 与直线0,1yx所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体体积。6、计算曲线2xy 与直线1y所围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体体积。7、求曲线1yx和直线 y=4x，x=1，y=0 围成的平面图形（曲线下方）的面积。8、求由sin,0yx xx及所围图形的面积以及该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。9、铁皮做成一个容积为0V的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少 10、某工厂生产某产品 x 个单位的总成本为 C(x)=5x+200(元)，总收入为2()150.01R xxx。问生产多少单位产品才能获得最大利润？其最大利润为多少？。11、证明：)0(,)1ln(1xxx

14、xx 12、求证：00.)(sin2)(sindxxfdxxxf。13、求()2arctanf xxx的极值，并讨论方程2arctan0 xx的实根个数。14、证明方程012xx在0，1至少有一个实根。高等数学复习题参考答案 -.-可修编-一、选择题 1-10、11-20、21-30、31-40、41-45、二、填空题 1、（0,1）2、|x|3 3、(1+x)2 4、x2-1 5、3-x2 6、1 7、15 8、-1 9、-f(cosx)sinxdx10、(cos2x-sinx)esinx 11、2，-1 12、(-2)nn!13、y=3x+1 14、-1 15、1.00116、1/2 17

15、、5/4 18、1 19、0 20、332 21、ex(x+1)22、ex 23、-xe-x-e-x+C24、arctanx+C 25、xlnx-x+C 26、ln|x2+3x+1|+C 27、1/3 28、1 29、sinx 30、4 31、1 32、2xcos(x2)33、4 34、0 35、e21 三、计算题 1、设,ln21,12ttyttx。求22,dxyddxdy 解:,tdxdy ,22221ttdxyd 2、求曲线tytxsincos上对应4t点处的切线方程和法线方程.解:22sin,22cos44tttytx.1sincos44ttttdxdy,从而得切线方程为:)22(22

16、xy或2xy,法线方程为:)22(22xy或xy.3、(0),xyxxdy设求 解:在方程xyx两边同时取对数得 lnlnyxx 同时对 x 求导得1ln1dyxy dx,ln1xdyxxdx.4、设221)(2xbaxxxxf其中为常数 a，b，)2(f 存在，求 a，b，)2(f 的值 -.-可修编-解：a=4,b=-5,)2(f=4 5、设方程3sin,(),.costttxetdyyy xdxyet确定函数求 解:cossinsincosttttdyetetdxetetcossinsincostttt，31332.13tdydx 6、已知函数 coslncos3xxeyxx 求y。解：

17、coslncos3xxeyxx)ln()(cos3xxexx xxxxxxexxln)(ln)cos3(cos3 xxexxln1)sin3(cos3 7、已知函数 xxxxylnarctan)1(2 求y。解：lnarctan)1(2xxxxylnarctan)1(2xxxx)(lnln)(arctan1(arctan)1(22xxxxxxxx xxxlnarctan2 8、已知函数 xxxyarcsin121221 求y。解：)arcsin1(21221xxxy)arcsin()1(21221xxx 22211211212211xxxx21x 9、计算由方程2221yxy确定的隐函数()y

18、y x的二阶导数。解:,1xyyxyyy,222331(1)2(1)(1)(1)dyyyxyxydxyyy 10、确定函数31292)(23xxxxf的单调区间与极值。解:函数的定义域为),(，)1)(2(612186)(2xxxxxf,令0)(xf,即解0)1)(2(6xx,得出它的两个根.2,121xx x)1,(1)2,1(2),2()(xf +0 0+)(xf 2 1 -.-可修编-即函数)(xf在1,和,2上单调增加,在 2,1上单调减少.1x极大值点，极大值2)1(f;2x为极小值点,极大值1x,1)2(f 11、求函数xexy2的极值.解:,2,00),2(xxyxxeyx令列表

19、讨论：x(-,0)0（0，2）2(2,+)y +y 极小 极大 x=0 为极小值点，极小值为 f(0)=0,x=2 为极大值点，极大值为24)2(ef 12、求积分xdxx3sin。解:xxdxdxx3cos313sin =xdxxx3cos313cos3=cxxx3sin913cos3 13、求积分.1xdxx 解：令21,1,2xtxtdxtdt 则,22122(1)1xtdxtdttdttx33(1)2()2(1)33txtcxc 14、求积分dxxxxeexx)1sectansec1(22 解：dxxxxeexx)1sectansec1(22dxxxxdxeexx1sectansec1

20、22 1secsec122xxdedexxCxex)arctan(secarcsin 15、求积分dxxxxx)1)1(1(22 解:dxxxxx)1)1(1(22dxxxdxxx221)1(1 dxxxxdx22111)1(12Cxxxarctanarctan2 -.-可修编-16、求积分dxxxx)arcsin1(2 解：Cxxxdxxxdxxxdxxdxxxdxxxxarcsinarcsinarcsin1arcsin1)arcsin1(222 17、求积分2022dxx 解:令txsin2，tdttdxxcos2sin2222022022cos2202tdt。18、求定积分dxxx401

21、22.解:令tx12,212tx,tdtdx.dttdxxx31240)3(21122322 19、求定积分dxxx053sinsin.解:dxxxdxxxdxxxcossin)sin1(sinsinsin002305323 223223)(sinsin)(sinsin0 xxdxxd54)52(52 20、求定积分401 sin2.xdx 解:44001sin 2(cossin)xdxx dx40(cos)21.sinxx 21、求定积分dxx102)1ln(解：dxx102)1ln()1ln(|)1ln(210102xdxxxdxxx1022122ln 01|arctan222lnxx 2

22、22ln 22、求定积分dxxx102cos4 -.-可修编-解：dxxx102cos4dxxx10)2cos1(2dxxxxdx10102cos22 101022sin|xxdx10102sin|2sin1xdxxx 2cos5.02sin5.0 23、求定积分4110 xdx 解：设xt，原式22011dttdttt2012dttdt202011222020|)1ln(2|2tt=3ln24 四、应用题与证明题 1、由曲线0,lnyexxy与所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.解:A=1lnln111eeedxxxxdx；V=ln2lnln1121122dxxx

23、xxdxdxyeeee2 e 2、求由曲线2xy 与直线0,2,1yxx所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。解:212dxyV531214dxx 3、抛物线2yx及直线2yx所围图形的面积.解:2yx及2yx得交点坐标(-1,1),(2,4),面积A=23222119(2)2.232xxxx dxx 4、求由曲线xy2与直线 y=x-2 所围成的平面图形的面积 解:解方程组22xyxy得,1111yx2422yx 取 y 为积分变量得积分区间为-1，2 dyyydA)2(2,29212)2(dyyyA 5、计算曲线2xy 与直线0,1yx所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体体积。解：以 x

24、 为积分变量,则体积微元dxxdV4 -.-可修编-积分区间为0,1 5104dxxV 6、计算曲线2xy 与直线1y所围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体体积。解：以 y 为积分变量,则体积微元ydydV 积分区间为0,1 210ydyV 7、求曲线1yx和直线 y=4x，x=1，y=0 围成的平面图形（曲线下方）的面积。解:解方程组：1124yxxyx得,面积为：11210212120121412|ln|ln22Sxdxdxxxx 8、求由sin,0yx xx及所围图形的面积以及该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。解:2sin0dxxA，2sin202dxxV 9、铁皮做成一个

25、容积为0V的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少 解:设圆柱形匣子底半径为r,高为h,表面积为S,则2020,rVhhrV,222202202rVrrVrrS20324rVrS,令0S,得 303022,2VhVr,故当rhVr2,230才能使所用铁皮最少。10、某工厂生产某产品 x 个单位的总成本为 C(x)=5x+200(元)，总收入为2()150.01R xxx。问生产多少单位产品才能获得最大利润？其最大利润为多少？。解.2()100.01200L xxx()100.02,Lx=0 x 500L xx令（），得=，maxLL500=2300（）11、证明：)0(,)1ln(1xxxx

26、x -.-可修编-证明:设),1ln()(xxf在,0 x上应用拉格朗日定理有xxx0,1)1ln(从而得：x11111,于是有,11xxxx即xxxx)1ln(1。12、求证：00.)(sin2)(sindxxfdxxxf。解:,00,:txtxdtdxtx时，时，当则令证 000)(sin)()(sin()()(sindttftdttftdxxxfI令 Idttfdtttfdttf000)(sin)(sin)(sin，0)(sin2dxxfI。13、求()2arctanf xxx的极值，并讨论方程2arctan0 xx的实根个数。解 221()2arctan,(),1xf xxx fxx()0 x1x1fx 令，得，224(),(1)0,(1)0,(1)(1)1(1)122xfxffxff 为极大值，为极小值。(1)0,(1)0,lim(),lim(),xxfff xf x 方程有三个根。14、证明方程012xx在0，1至少有一个实根。证明:设12)(xxxf，0，1是 f(x)的定义区间，所以 f(x)在0，1上连续；又 f(0)=-1，f(1)=1，由零点存在定理，f(x)在0，1至少有一个实根。