2018年天津卷(理科数学)含答案2085.pdf

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1、 1 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷 注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果

2、事件 A，B 互斥，那么()()()P ABP AP B.如果事件 A，B 相互独立，那么()()()P ABP A P B.棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合 02Axx，1Bx x，则()RAB【B】(A)01xx (B)01xx 历年高考真题 2(C)12xx (D)02xx(2)设变量 x，y 满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy 则目标函数35zxy的最大值为【C】(A)6 (B)19 (C)

3、21 (D)45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为【B】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)设xR，则“11|22x”是“31x”的【A】(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 3(5)已知2log ea，ln2b，121log3c，则 a，b，c 的大小关系为【D】(A)abc (B)bac (C)cba (D)cab(6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数 【A】(A)在区间35,44上单调递增 (B)在区间3,4上单调递减(C)在区间53,42

4、上单调递增 (D)在区间3,2 2上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为【C】(A)221412xy (B)221124xy (C)22139xy (D)22193xy(8)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD.若点 E 为边 CD 上的动点，则AE BE的最小值为【A】(A)2116 (B)32 (C)2516 (D)3 历年高考真题 4 第卷 注意事项：1.用黑色墨水的

5、钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9)i 是虚数单位，复数67i1 2i 4i .(10)在51()2xx的展开式中，2x的系数为 52 .(11)已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 112 .5(12)已知圆2220 xyx的圆心为 C，直线21,2232 xtyt(t为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则ABC的面积为 12 .(13)已知,a bR，且360ab，则12

6、8ab的最小值为 14 .(14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxf xxaxa x若关于x的方程()f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 (4 8)，.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b 和sin(2)A B的值.（）解：在 ABC 中，由 正弦定 理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又 由sincos()6bAaB

7、，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得 B=3（）解：在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故 b=7 由sincos()6bAaB，可 得3sin7A 因 为ac，故2cos7A 因 此 6 4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA 所以，sin(2)sin 2 coscos2sinABABAB4 31133 3727214 (16)(本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠

8、时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率.（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人 （）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2

9、，3 P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 随机变量 X 的数学期望11218412()0123353535357E X （ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=历年高考真题 7 67 所以，事

10、件 A 发生的概率为67(17)(本小题满分 13 分)如图，ADBC且 AD=2BC，ADCD,EGAD且 EG=AD，CDFG且 CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.（I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.依题意，可以建立以 D 为原点，分别以DA，DC，DG的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0

11、），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 8 的法向量，则0000DCDE，nn即20220yxz，不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1）又MN=（1，32，1），可得00MN n，又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），(12 2)BE，CF=（0，1，2）设 n=（x，y，z）为平面 BCE 的法向量，则00BCBE，nn即0220 xxyz，不妨令 z=1，可得 n=（0，1，1）设

12、 m=（x，y，z）为平面 BCF 的法向量，则00BCCF，mm即020 xyz，不妨令 z=1，可得m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nmn，于是 sin=1010 所以，二面角 EBCF 的正弦值为1010（）解：设线段 DP 的长为 h（h 0，2），则点 P 的坐标为（0，0，h），可得(12)BPh，易知，DC=（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 22cos5BP DCBP DCBP DCh，由题意，可得225h=sin60=32，解得 h=330，2 所以线段DP的长为33.(18)(本小题满分 13 分)设na是等比数列，公比大于 0，其前 n

13、项和为()nSnN，nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（I）求na和nb的通项公式；9（II）设数列nS的前 n 项和为()nT nN，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN.（I）解：设等比数列na的公比为 q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列nb的公差为 d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd 从而11,1,bd 故.nbn 所以，数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn（II）（i）解：由（I），有

14、122112nnnS，故 1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为 11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.(19)(本小题满分 14 分)设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为53，点 A 的坐标为(,0)b，且6 2FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且

15、l 与直线 AB 交于点 Q.10 若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点)，求 k 的值.（）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知有2259ca，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由6 2FBAB，可得 ab=6，从而 a=3，b=2 所以，椭圆的方程为22194xy（）解：设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）由已知有 y1y20，故12sinPQAOQyy又因为2sinyAQOAB，而OAB=4，故22AQy由5 2sin4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2 由方程组22194ykxxy，消去 x，可得12694kyk易知直

16、线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组20ykxxy，消去 x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k 所以，k 的值为111228或(20)(本小题满分 14 分)已知函数()xf xa，()logag xx，其中 a1.（I）求函数()()lnh xf xxa的单调区间；（II）若曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线与曲线()yg x在点22(,()xg x 处的切线平行，证明122lnln()lnaxg xa；（III）证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x

17、的切线，也是曲线()yg x的切线.11（I）解：由已知，()lnxh xaxa，有()lnlnxh xaaa.令()0h x，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，()h x，()h x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()h x 0+()h x 极小值 所以函数()h x的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：由()lnxfxaa，可得曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线斜率为1lnxaa.由1()lng xxa，可得曲线()yg x在点22(,()xg x处的切线斜率为21lnxa.因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(

18、ln)1xx aa.两边取以 a 为底的对数，得21log2log ln0aaxxa，所以122ln ln()lnaxg xa.（III）证明：曲线()yf x在点11(,)xx a处的切线 l1：111ln()xxyaaaxx.曲线()yg x在点22(,log)axx处的切线 l2：2221log()lnayxxxxa.要证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线，只需证明当1eea 时，存在1(,)x ，2(0,)x，使得 l1与 l2重合.即只需证明当1eea 时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aa

19、xa，有解 由得1221(ln)xxaa，代入，得111112ln lnln0lnlnxxaax aaxaa.12 因此，只需证明当1eea 时，关于 x1的方程存在实数解.设函数12lnln()lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea 时，函数()yu x存在零点.2()1(ln)xu xaxa，可知(,0)x 时，()0u x；(0,)x时，()u x单调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln)auaa，故存在唯一的 x0，且 x00，使得0()0u x，即0201(ln)0 xax a.由此可得()u x在0(,)x上单调递增，在0(,)x 上单调递减.()u

20、 x在0 xx处取得极大值0()u x.因为1eea，故ln(ln)1a ，所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa.下面证明存在实数 t，使得()0u t.由（I）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有2212ln ln12ln ln()(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa ，所以存在实数 t，使得()0u t 因此，当1eea 时，存在1(,)x ，使得1()0u x.所以，当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线.13