2021高考复习数学-2月大数据精选模拟卷05(天津专用)(解析版)3250.pdf

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1、2 月大数据精选模拟卷 05（天津专用）数 学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。第一部分（选择题 共 45 分）一、选择题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1设全集2,1,0,1,2U ，集合 1,2A，2,1,2B ，则等于()A B1 C 1,2 D1,0,1,2【答案】A【解析】1,0,()UUC BAC B.2已知1230 xxx，则232122123log(22)log(22)log(22),xxxabcxxx的大小关系为（）Aabc Babc Cbac Dcab【答案】A【解析】试题分析:设 2log22

2、f xx,作出其图像,由图可知,OCOBOCakbkck,由图像可知OCOBOAkkk,即abc故 A 正确 考点：1 函数图像;2 数形结合思想 3某工厂对一批产品进行了抽样检测，上图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,106 样本数据分组为96,98，98,100，100,102，102,104，104,106，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 48，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是（）A90 B75 C120 D45【答案】C【解析】【分析】由频率分布直方图，求出样本容量，再求出净重大于或等

3、于98克并且小于104克的产品的频率和频数，即可得到答案【解答】样本中产品净重小于100克的频率为0.0500.10020.3，样本总数481600.3n，样本净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为 0.1000.1500.12520.75 对应的频数为160 0.75120 故样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120 故选C【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用问题，根据频率分布直方图求出样本的容量是解题的关键，属于基础题。4 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）.A20 2 B25 2 C50 D

4、200【答案】C【分析】根据长方体的对角线计算出外接球的半径，由此求得外接球的表面积.【解答】设该长方体外接球的半径为r，则222234550r，所以外接球的表面积为2450r.故选：C【点评】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.5若zC，则|zzzz是z为纯虚数的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件【答案】B【分析】首先设zabi(),a bR，根据|zzzz得到z为纯虚数或0z，再根据选项即可得到答案.【解答】设zabi(),a bR，因为|zzzz，所以2222abiababiab，即：22222222()()aabbaabb.整理得

5、：222222a aba ab.解得：0a，0b或0ab.即z为纯虚数或0z.所以|zzzz是z为纯虚数的必要不充分条件.故选：B【点评】本题主要考查复数模长的计算，同时考查了必要不充分条件的判断，属于中档题.6已知(1)f xx，则函数()f x的大致图像是（）A B C D【答案】B【分析】利用平移变换即可得出函数()f x的大致图象.【解答】(1)f xx,函数()f x的图象是由(1)f x 向左平移一个单位得到.故选:B.【点评】本题考查了函数图象变换的知识,难度容易.7设F是双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近

6、线于点B，若2AFFB，则双曲线C的渐近线方程是（）A2yx B22yx C3yx D33yx 【答案】D【分析】作出图形，计算出AFb，OAa，利用角平分线的性质可得出OAAFOBBF，可求得2OBa，3ABb，再利用勾股定理可求得ba的值，由此可得出双曲线C的渐近线方程.【解答】如下图所示：易知点,0F c，直线OA的方程为byxa，即0bxay，由点到直线的距离公式可得22bcAFbba，22OAOFAFa，易知AOFBOF，则12OAFOBFOAAFSSOBBF，2BFb，2OBa，3ABb，在Rt OAB中，OAB为直角，由勾股定理可得222OAABOB，则 22232aba，解得3

7、3ba.因此，双曲线C的渐近线方程为33yx.故选：D.【点评】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a、b求得比值，则焦点在x轴上时，渐近线方程为byxa，焦点在y轴上时，渐近线方程为ayxb；（2）构造齐次式：利用已知条件结合222abc，构建ba的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.8已知函数 sin()(0,)2f xwxw的最小正周期为，其图象关于直线6x对称给出下面四个结论：将 f x的图象向右平移6个单位长度后得到函数图象关于原点对称；点5(,0)12为 f x图象的一个对称中心；1()42f；f x在区间0,6上单调递增其中正

8、确的结论为（）A B C D【答案】C【分析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式 sin(2)6f xx，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【解答】因为函数 sin()f xwx的最小正周期为，其图象关于直线6x对称，所以2,62wwkkZ，解得2,6wkkZ，因为2，所以6，因此 sin(2)6f xx，将 sin(2)6f xx的图象向右平移6个单位长度后函数解析式为 sin(2)6f xx，由2,6xkk Z，得,122kxkZ，所以其对称中心为：(,0),122kkZ，故错；由2,6xkkZ，解得122kx，即函数 f x的对称中心为(,0)

9、,122kkZ；令512212k，则1k，故正确；由3()sin()cos42662f，故错；由222,262kxkkZ，得2,36kxkkZ，即函数 f x的增区间为2,36kkkZ，因此 f x在区间0,6上单调递增，故正确.故选：C.【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9已知 g xx，其中 x表示不超过实数x的最大整数，0 x是函数 21ln2xfxx的零点，则 0g x等于（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】21ln2xfxx，012ln21ln202f ，113ln3022f

10、。023x，00()2g xx。选 B。第卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给3 分，全部答对的给 5 分 10若复数21izai，（i为虚数单位，aR）是纯虚数，则a _.【答案】-1【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出a.【解答】解：复数22(1)11(1)(1)iiizaaaiiii是纯虚数，10a ，解得：1a.故答案为：1.【点评】本题考查复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.11 二项式62a xx的展开式中含2x的项的系数为 15，则二项式104ax的展开式中二项式系数最大的项的系数为_.【答案】25

11、2【分析】根据二项式定理得到14a，二项式系数最大的项为第六项，计算得到答案.【解答】因为62a xx的展开式中含2x的项的系数为226215aC，所以14a，所以101041axx.二项式104ax的展开式中二项式系数最大的项为第六项，系数为55101252C .故答案为：252.【点评】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12若将甲、乙两个球随机放入编号为 1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1，2号盒子中各有一个球的概率是_【答案】29.【解析】试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，共有3 3=9种方法，其中在1，2号盒子中各有一个球有

12、2 1=2种方法，因此所求概率是2.9 考点：古典概型概率 13过点 1,1的直线l与圆22239xy相交于A，B两点，当4AB 时，直线l的方程为_【答案】230 xy【解析】当直线斜率不存在时，x=1,|4 2AB 不符。设直线方程1(x 1)yk，由题意可知圆心到直线的距离为2251kdk，解得12k ，所以直线方程11(1)2yx ，即x2y30。填x2y30。【点评】直线与圆相交的弦长问题，我们常用垂径定理解决，而不用弦长公式，这样可以简化运算。14已知 x，y，z 满足222(3)(4)2xyz，那么222xyz的最小值是_.【答案】2710【解析】试题分析：利用球心与坐标原点的距

13、离减去半径即可求出表达式的最小值 解：由题意可得 P（x，y，z），在以 M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点 P 的距离的平方，显然当 O，P，M 共线且 P 在 O，M 之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|=5，所以|OP|2=2710 故答案为 2710 点评：本题考查空间中两点间的距离公式的应用，考查计算能力 15在平面四边形ABCD中，22ABBCCD，60,90ABCADC，若BEEFFGGC，则2 AE DCAE AF_；若P为边BC上一动点，当PA PC取最小值时，则cosPDC的值为_【答案】132 5 714 【分析】根据题意可知是等

14、边三角形，ADC是有一个内角为 60的直角三角形，又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解【解答】解：平面四边形ABCD中，22ABBCCD，60,90ABCADC，ABC是边长为 2 的等边三角，在Rt ADC中，2,1ACCD，所以60ACD，又BEEFFGGC，,E F G是BC边的四等分点 如图建立坐标系：则：0,3,1,0,1,0ABC，3311,0,0,0,02222DEFG，所以2AE AFAE DC 1131132,3,30,322222，再设,0P x，则11x，2211,31,024PA PCxxxxx，显然12x 时，PA PC最小，此时102P，

15、222231312225 714313(1)()()()222cos PDCcos DP DC ，故答案为：132，5 714 【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，涉及向量的数量积和向量夹角的余弦值，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法，同时考查学生的转化思想和数形结合思想.三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2,F右顶点为A，上顶点为B.已知123.2ABFF（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1,F经过点2F的

16、直线l与该圆相切于点2,2 2,M MF 求椭圆的方程.【答案】（1）2.2e（2）221.63xy【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何条件得2223abc，解得222ac，即得椭圆的离心率；（2）先根据 p 点满足的两个条件列方程组，解得4,33c c再求圆心与半径，最后根据切线长公式得2MF，解出 c，即得椭圆的方程 试题解析：解:(1)设椭圆右焦点2F的坐标为,0c.由123,2ABF F可得2223,abc 又222,bac得222,ac所以,椭圆的离心率2.2e (2)由(1)知222,ac 22,bc故椭圆方程可设为22221,2xycc 设00,P x y由 1,0,0,cc，则

17、有1FP 00,xc y 1FB,c c 由已知可知110,FP FB 即000.xc cy c 又0c,故有000.xyc 因为点P在椭圆上,故22002212xycc.由和可得200340.xcx而点P不是椭圆的顶点,故04,3cx 代入得0,3cy 即点P的坐标4,33c c设 PB 的中点为11,T x y，则22,33ccT 进而圆的半径2211503crxyc 由已知,有22222,TFMFr 又22 2,MF 故有22222508,339cccc解得23.c 故求椭圆的方程为221.63xy 17已知各项均为正数的数列 na的前n项和nS满足241nnSa（*Nn）.(1)证明：

18、数列 na是等差数列，并求其通项公式；(2)设2nannba，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析，21nan；(2)2122323nnnT.【分析】（1）根据nS与na的递推关系的关系求出通项公式即可（2）由（1）可知21212nnbn，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求解.【解答】(1)由241nnSa*nN知：当1n 时，有21141aa，10a，解得11a 由241nnSa，21141nnSa两式相减，得：2211411nnnaaa，化简得：2211220nnnnaaaa 变形得：1120nnnnaaaa 对*nN，有0na 10nnaa，即12

19、nnaa 故 数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 21nan(2)2nannba，21nan 21212nnbn (1321)nTn35212222n 2 141(21)214nnn22 423nn2122323nn 2122323nnnT【点评】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于中档题.18在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知cos()cos3sin()3sinABCABC.（1）求角B的大小；（2）若2b，求ABC面积的最大值.【答案】（1）3B（2）3【解析】试题分析：（1）根据三角形内角关系及诱导公式得cosc

20、os3sin3sinABABABAB，再根据两角和与差的正余弦公式展开化简得tan3B，即得3B.（2）先由余弦定理得224caca，再根据基本不等式得4ac，最后根据三角形面积公式得最大值.试题解析：（1）在ABC中，ABC，则coscos3sin3sinABABABAB，化简得：2sin sin2 3sin cosABAB 由于0A，sin0A，则tan3B，解得3B.（2）由余弦定理，224caca 2accaac，从而1sin323Sca，当且仅当ac时取S到最大值.19如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AA B B为正方形，侧面11BBC C为菱形，1160BB C，平面1

21、1AA B B 平面11BBC C.（1）求直线1AC与平面11AAB B所成角的正弦值；（2）求二面角1BACC的余弦值.【答案】（1）64；（2）77.【分析】（1）证明出AB 平面11BB C C，然后以点B为坐标原点，分别以BA，1BB所在的直线为,x y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，设正方形11AA B B的边长为2，利用空间向量法可计算出直线1AC与平面11AAB B所成角的正弦值；（2）计算出平面1ACC的一个法向量1n，以及平面1ABC的一个法向量2n，利用空间向量法可计算出二面角1BACC的余弦值.【解答】（1）因为四边形11AA B B为正方形，所以1ABBB，因为平面1

22、1AA B B 平面11BBC C，平面11AA B B平面111BB C CBB，AB平面11AA B B，所以AB 平面11BB C C.以点B为坐标原点，分别以BA，1BB所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形11AA B B的边长为2，则2 0 0A，10 2 0B，.在菱形11BBC C中，因为1160BB C，所以1(013)C，所以1(2 13)AC ，.因为平面11AA B B的法向量为0 01n，设直线1AC与平面11AA B B所成角为，则1sin|cosAC，|3|6|42 21n ，即直线1AC与平面11AA B B所成角的正弦值为6

23、4；（2）由（1）可知，(013)C，所以10 2 0CC，.设平面1ACC的一个法向量为1111,nx y z，因为11110,0,nACn CC即 111111,2,130,0 2 00 x y zx y z，取132x，10y，11z，即13(01)2n，.设平面1ABC的一个法向量为2222,nxy z，因为2,0,0BA，10,1,3BC，因为22100nBAnBC，所以 222222,2,0,00,0,1,30 xyzxyz，取20,3,1n.设二面角1BACC的平面角为，则12121217coscos,7722n nn nnn ，所以二面角1BACC的余弦值为77.【点评】本题考

24、查利用空间向量法计算线面角和二面角，合理建系是关键，考查计算能力，属于中等题.20已知函数()1,xf xaxe 曲线()yf x在原点处的切线为2yx.（1）证明：曲线()yf x与x轴正半轴有交点；（2）设曲线()yf x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l，求证：曲线()yf x上的点都不在直线l的上方；（3）若关于x的方程()f xm（m为正实数）有不等实根1,212(),x xxx求证：2132.4mxx【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（1）由条件可得3a，然后利用单调性及零点存在定理可得存在0ln3,2,x 使得 00f x，从而得结论成立（

25、2）由（1）可得曲线 yf x在点P处的切线l：003xyexx.令 003xg xexx，F xf xg x，则 0000F xf xg x，由 F x的单调性可得 00F xF x，从而可得结论成立（3）结合以上两问中的有关结论构造新的函数进行证明可得结论成立 详解：证明：（1）1xf xaxe，xfxae，由已知得02ae，解得3a 3xfxe，31xf xxe在,3ln 上单调递增，在3,+ln上单调递减，又 00f，2ln33ln320,270ffe，存在0ln3,2,x 使得 000310 xf xxe 曲线 yf x与x轴正半轴有交点0,0P x （2）由（1）可得曲线 yf x

26、在点P处的切线l：003xyexx，令 003xg xexx，F xf xg x，则 0000F xf xg x，又 0033xxxxFxeeee,故当0,xx 时，0Fx，F x单调递增，当0,xx 时，0Fx，F x单调递减，所以对任意实数x都有 00F xF x，即对任意实数x都有 f xg x，故曲线 yf x上的点都不在直线l的上方（3）由（1）知00310 xxe，所以 00003()=23xg xexxxxx（）为减函数.设方程 g xm 的根为20023mxxx，由（2）可知 222g xfxmg x，所以22xx.记 21xh xf xxxe，则 1,xh xe 当,0 x

27、时，0,h x h x 单调递增，当0,x 时，0,h xh x，单调递减，所以对任意的实数x，都有 00h xh，即 2f xx.设方程2xm的根12mx ，则 11122xf xmx，所以11xx.于是212100,232mmxxxxxx 令,1,232mmxxxx，又0m，则 231023mxx，所以 x 在1,上为增函数，又0ln3,2,x 所以 03224mx，所以2132.4mxx【点评】本题考查导数在解决函数综合问题中的应用，难度较大，解决问题的基础是函数的单调性，通过函数的单调性得到函数的极值、最值，然后再结合所求问题逐步求解 证明两函数图象间的位置关系时，可通过构造函数，通过判断出函数的单调性，进而转化为函数最值的问题处理