四川省双流中学2019_2020学年高二数学上学期入学考试试题理(含解析)43036.pdf

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1、-1-四川省双流中学 2019-2020 学年高二数学上学期入学考试试题 理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知 ab,cd，则下列不等式中恒成立的是（）A.a+db+c B.acbd C.abcd D.d-a c-b【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断即可.【详解】取2,1ab，3,100cd，则98,2adbc，adbc，故 A 错.又6,100,acbdacbd，故 B 错.取2,100ab，3,1cd，则23ac，100badc，故 C 错.当,ab cd时，a

2、b ，故 dacb 即dacb，故 D 正确，故选 D.【点睛】本题考察不等式的性质，属于基础题.2.直线310 xy 的倾斜角是（）A.6 B.3 C.23 D.56【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线310 xy 的斜率为331k ，因此，该直线的倾斜角为23，故选：-2-C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3.等比数列 na的前n项和为nS，已知3215Saa，72a，则5a（）A.2 B.12 C.12 D.2【答案】C【解析】【分析】设等比数列 n

3、a的公比为q，根据条件3215Saa求出2q的值，再利用752aaq可求出5a的值.【详解】设等比数列 na的公比为q，由3215Saa，得123125aaaaa，314aa，所以，2314aqa，因此，7522142aaq，故选：C.【点睛】本题考查等比数列中的相关计算，对于等比数列的问题，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.4.已知直线1:210laxy，直线2:820lxaya，若12ll/，则直线1l与2l的距离为（）A.55 B.2 55 C.4 55 D.5【答案】A【解析】【分析】利用直线平行的性质解得a，再由两平行线间的距离求解即可【

4、详解】直线l1：ax+2y10，直线l2：8x+ay+2a0，l1l2，82aa，且122aa 解得a4 -3-所以直线l1：4x-2y+10，直线l2：4x-2y+30，故1l与2l的距离为2225542 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用 5.把函数()sinf xx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A.12x B.12x C.3x D.712x【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变

5、换最后得到的解析式为sin2()sin(2)63yxx，令52,32212kxkkZx，令 k=-1,所以12x.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知平面及直线a，b，则下列说法正确的是()A.若直线a，b与平面所成角都是 30，则这两条直线平行 B.若直线a，b与平面所成角都是 30，则这两条直线不可能垂直 C.若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行 D.若直线a，b垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直【答案】D【解析】对于 A，若直线a，b与平面所成角都是 30，则这两条直线平行、相

6、交、异面，故 A 错；-4-对于 B，若直线a，b与平面所成角都是 30，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面内，边AC、BC可以与平面都成 30角，故 B 错；C 显然错误；对于 D，假设直线a，b与平面都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故 D 正确，故选 D.点睛：直线与平面所成的角为 30，可以想象一个圆锥，底面就是题中的平面，圆锥的轴截面顶角是 120，则所有母线与底面所成角都是 30，而这此母线是相交的，把其中的一条母线平移，就出平行，异面的情形用实物演示可以给学生直观的印象，有助于学生掌握相应的知识 7.已知AB是圆O的直径，点C，D是半

7、圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD（）A.12ab B.12ab C.12ab D.12ab【答案】D【解析】【分析】连接C、D，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出/CDAB且/ACDO，得到四边形ACDO为平行四边形，所以ADAOAC,再根据题设条件即可得到用a，b表示向量AD的式子。【详解】连接C、D，因为点C、D是半圆弧AB的的两个三等分点，所以弧AC弧BD，可得/CDAB，190303CADDAB,因为OAOD，30ADODAO，由此可得30CADDAO，所以/ACDO，所以四边形ACDO为平行四边形，可得-5-ADAOAC，11=22AOABa，ACb，12ADab.【点睛】

8、本题主要考查平面向量的线性表示。8.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A.32 B.32 C.64 D.64【答案】C【解析】【详解】依题意，题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示)，其中ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC27，PA2y2102，(27)2PA2x2，因此xyx22222212810-x-(2 7)12864.2xxxx当且仅当x2128x2，即x8 时取等号，因此xy的最大值是 64 故答案为：C。9.在ABC中，角,A B C对应的边分别是,a b c，已知60,1Ab，ABC的面积为3，则ABC外接圆的直径为（）A.

9、8 381 B.2 7 C.26 33 D.2 393【答案】D【解析】-6-【分析】根据三角形面积公式求得c；利用余弦定理求得a；根据正弦定理求得结果.【详解】由题意得：113sinsin603224ABCSbcAcc，解得：4c 由余弦定理得：2222cos1 168cos6013abcbcA 13a 由正弦定理得ABC外接圆的直径为：132 39sinsin603aA 本题正确选项：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.10.若正数a，b满足：1a1b1，则1911ab的最小值为（）A.16 B.9 C.6 D.1【答案

10、】C【解析】【详解】法一、因为111ab，所以()111(ababab，所以1911ab1922 3611ab.法二、因为111ab，所以abab，1911ab1 9911910(9)()1016 1061bababaababab.法三、因为111ab，所以111ab，所以1911ab9(1)2 92 361bb，故选 C.11.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，动点E在线段11AC上,F，M分别是AD，CD的中点,则下列结论中错误的是()-7-A.11/FMAC B.BM 平面1CC F C.三棱锥BCEF的体积为定值 D.存在点E，使得平面BEF/平面11CC D D【答

11、案】D【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，和三棱锥的体积公式，对选项中的命题判断其真假性即可【详解】对于 A，连接 AC，易知：11/,/,FMAC ACAC故11/FMAC，正确；对于 B，易知：,90CDFBCMCFDBMCDCFBMC ，1,BMCF BMCC,故BM 平面1CC F，正确；对于C，三棱锥BCEF的体积等于三棱锥EBCF的体积,此时E点到平面BCF的距离为1，底面积为12，故体积为定值，正确；对于 D,BF 与 CD 相交，即平面BEF与平面11CC D D始终有公共点，故二者相交，错误；故选：D【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系的判断和棱锥的体积计算问题，涉

12、及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值，考查学生的空间想象能力，是综合题 -8-12.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ca ab，则2coscosACA的取值范围是（）A.2,12 B.13,22 C.23,22 D.1,12【答案】C【解析】【分析】先由余弦定理得到2 cosaCba，再由正弦定理得到2CA，从而对2coscosACA进行化简，最后由A角取值范围可求范围。【详解】由余弦定理得222cos2abcab，因为2ca ab，则

13、2222cos22abaabbababab，即2 cosaCba；由正弦定理得2sincossinsinACBA，所以2sincossin()sinACACA，即sincossincossinCAACA，即sin()sinCAA.又因为,(0,)2A C，所以CAA，即2CA.因为02C，2AC，所以64A，所以2cos23cos(,)cos22AACA.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及两角和与差公式。第卷（共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若实数x，y满足约束条件220100 xyxy，则2zxy的最小值为_.【答案】0【解析】-9

14、-【分析】先画出可行域，在利用直线截距的几何意义求助目标函数的最小值。【详解】本题中约束条件下的可行域如图阴影表示，由2zxy，得122zyx，当直线122zyx在y轴上截距最大时，z有最大值。所以当直线2zxy经过点(1,0.5)A时，有max11 202z .【点睛】本题主要考查线性规划。14.已知3tan5，1tan42，则tan4_.【答案】113【解析】【分析】将角4表示为44，然后利用两角差的正切公式可计算出tan4的值.【详解】44，-10-31tantan1452tantan3 1441311tantan5 24，故答案为：113.【点睛】本题考查两角差的正切公式计算正切值，解

15、题时要将所求角利用已知角进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，其中ABCD为正方形，PAD为等腰直角三角形，2PAPD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为_.【答案】8【解析】【分析】先证明出AB 平面PAD，计算出AB、AD的长度，求出PAD的外接圆直径AD，再利用公式222RABAD求出四棱锥PABCD的外接球半径R，然后利用球体表面积公式可得出结果.【详解】如下图所示：四边形ABCD是正方形，ABAD，平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，所以，四棱锥PABCD的外接球与三棱锥BP

16、AD的外接球是同一个球，所以外接球的球心在 BD 的中点处，PAD是等腰直角三角形，则该三角形的外接圆直径为222ADPAPD，由于四边形ABCD为正方形，则2ABAD，设四棱锥PABCD的外接球半径为R，则2222 2RABAD，则2R.-11-因此，四棱锥PABCD的外接球表面积为248R，故答案为：8.【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积的计算，解题的关键就是从题中得出线面垂直关系，找到球心位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知数列 na满足113a，1340nnaa，nS为数列 na的前n项和，则满足不等式191000nSn的n的最大值为_.【答案】8【解析】【分析】首 先

17、 分 析 题 目 已 知1340nnaa且113a，其 前n项 和 为nS，求 满 足 不 等 式191000nSn的 最 大 整 数n.故 可 以 考 虑 把 等 式1340nnaa变 形 得 到11113nnaa，然后根据数列1nnba为等比数列，求出nS代入绝对值不等式求解即可得到答案。【详解】对1340nnaa变形得：13(1)(1)nnaa，即11113nnaa，故可以分析得到数列1nnba的首项为 12，公比为13的等比数列。所以11112()3nnnba ，1112()13nna，所以1121()1399()131()3nnnSnn ，1199()31000nnSn ，解得最大正

18、整数8n.【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列1na 为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）-12-17.已知函数2()(2)2()f xxaxa aR.（1）求不等式()0f x 的解集；（2）若当xR时，()4f x 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)2,6a 【解析】【分析】（1）不等式()0f x 可化为：(2)()0 xxa，比较a与2的大小，进而求出解集。（2）()4f x 恒成

19、立即2(2)240 xaxa恒成立，则2(2)4(24)0aa，进而求得答案。【详解】解：（1）不等式()0f x 可化为：(2)()0 xxa，当2a 时，不等()0f x 无解；当2a 时，不等式()0f x 的解集为2xxa；当2a 时，不等式()0f x 的解集为2x ax.（2）由()4f x 可化为：2(2)240 xaxa，必有：2(2)4(24)0aa，化为24120aa，解得：2,6a.【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题。18.在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点分别为2,0A，0,4B，,C m n，其中点C在直线330 xy上.（1）若3m，

20、求ABC的AB边上的中线所在的直线方程；（2）若ABC是直角三角形，求实数m的值.【答案】（1）230 xy（2）0 或 6【解析】【分析】-13-（1）因为点C在直线330 xy上，结合3m 求出点C坐标，利用中点坐标公式，求出AB边的中点M的坐标，再由斜率公式求出MCk，最后由直线方程的点斜式可求；（2）当ABC为直角三角形时，有三种情况，需要分类讨论。利用平面向量內积的坐标运算可求m的值。【详解】解：（1）当3m 时，3,0C，AB边的中点1,2M，所以0213 12MCk，所以由点斜式方程可得MC方程为：1032yx 即为230 xy.（2）设1,13C mm，2,4AB，12,13A

21、Cmm，1,53BCmm，当90A时，0AB AC，即424403mm，得0m；当90B 时，0AB BC，即422003mm，得6m；当90C 时，0AC BC，即210509m，无解；综上，m的值为 0 或 6.【点睛】本题考查的知识点是直线的斜率公式,直线的点斜式方程,中点坐标公式,平面向量內积的坐标运算。19.如图 1，在Rt ABC中，90C，3BC，6AC，D、E分别是AC、AB上的点，且DEBC，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1A DCD，如图 2.（）求证：BC 平面1ACD；（）当AD长为多少时，异面直线DE，1AB所成的角最小，并求出此时所成角的余弦值.-14-【答

22、案】（）详见解析（）当3AD 时，异面直线DE，1AB所成的角最小，此时所成角的余弦值为33【解析】【分析】（）根据线线垂直线面垂直（）利用垂直关系写出函数关系，求函数的最小值，最后结合余弦函数的单调性可求得。【详解】解：（）证明：因为111ADDEADDCADDEDCD平面BCDE，又BC 平面BCDE，所以1ADBC，11BCADBCDCBCADDCD平面1ACD；（）如图，连结DB，并设1ADADx，6DCx，06x，由（）中1AD 平面BCDE，所以有1ADDB，从而在Rt BCD中，2222631245DBxxx，又在1Rt ADB中，2221124521245ABxxxxx，显然，

23、当30,62bxa 时，1min1836453 3AB，即3AD（或是D为AC中点）时，线段1AB长度有最小值，最小值是3 3.又因为BCED，且190ACB，则1A BC即为异面直线DE，1AB所成角，又在1Rt ACB中，111333cos33 3BCABCABAB.结合余弦函数在锐角范围上是单调递减函数，所以当1cosABC取最大33时，1A BC取最小.综上，当3AD 时，异面直线DE，1AB所成的角最小，此时所成角的余弦值为33.-15-【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质与空间中点、点距离的最值问题.设出变量,构造函数利用求函数最值的方法求解,是此类题的常用方法.20.如图，四边形

24、ABCD是边长为 2 的菱形，3BAD，22DFBE，BEDF，2 2FCAF.（1）求证：平面ACE 平面BDFE；（2）求点F到平面ACE的距离.【答案】（1）详见解析（2）3 22【解析】【分析】（1）推导出DFDC，DFDA，从而 DF 平面ABCD，进而DFAC，再求出DBAC，从而AC 平面BDFE，由此能证明平面AEC 平面BDFE；（2）解 1：设F到平面ACE的距离为h，ACBDO，连接OE，OF，由F OEAA OEFVV三棱锥三棱锥，能求出点F到平面ACE的距离。解 2：建立空间直角坐标系，利用空间中点到平面的距离公式计算可得。【详解】（1）证明：2 2FC，2DCDF，

25、222FCDCDF，DFDC，同理DFDA，DF 平面ABCD，DFAC；又四边形ABCD为菱形，DBAC，BDDFD，AC 平面BDFE，AC 平面AEC，平面AEC 平面BDFE.（2）解 1：设F到平面ACE的距离为h，ACBDO，连接OE，OF，由（1）可知四边形BDFE时直角梯形，32OFEOBEODFBDFESSSS四边形.又AO 平面BDFE，-16-1332OFEA OEFVAO S三棱锥，又OBE中，222OEOBBE，1622AEOSAO OE，1636OAEF OEAVh Sh 三棱锥，由F OEAA OEFVV三棱锥三棱锥，解得：3 22h.所以点F到平面ACE的距离为

26、3 22.解 2：由（1）平面AEC 平面BDFE，又平面AEC平面BDFEOE，且F平面BDFE，过F作FHOE，垂足为H点，则FH 平面ACE，所以FH即为点F到平面ACE的距离，分别以DB，DF为x，y轴建立直角坐标系，则1,0O，2,1E，0,2F，则OE：10 xy，2 13 222dFH.【点睛】本题主要考查线线垂直线面垂直面面垂直；等体积法求空间中的距离问题；利用空间中点到平面的距离公式计算距离。21.在ABC中，角、ABC所对的边为abc、，且满足cos2cos22coscos66ABAA（1）求角B的值；（2）若3b 且ba，求12ac的取值范围【答案】（1）3B或23；（2

27、）3,32.【解析】试题分析：（1）利用升幂公式及两角和与差的余弦公式化简已知等式，可得sinB，从而得B，注意两解；（2）由ba，得3B，利用正弦定理得2sin,2sinaA cC，从而12ac可变为-17-2sinsinAC，利用三角形的内角和把此式化为一个角A的函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数形式，由A的范围（233A）结合正弦函数性质可得取值范围 试题解析：（1）由已知cos2cos22coscos66ABAA，得2222312sin2sin2cossin44BAAA，化简得3sin2B，故3B或23；（2）ba，3B，由正弦定理32sinsinsin32acbACB，得

28、2sin,2sinaA cC，故12332sinsin2sinsinsincos2322acACAAAA 3sin6A，ba，所以233A，662A，133sin,3262acA 22.在数列 na中，11a，23a，2132nnnaaa，*nN。（1）证明数列1nnaa是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设22log11nnba，11 32nnnncbanb，求数列 nc的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析.(2)12221nn.【解析】分析：（1）根据数列的递推公式可得1nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法即可求得数列 na的通项公式；（2）根据题中所给的条

29、件，进一步求得数列 nb的通项公式，从而得到数列 nc的通项公式，-18-之后应用裂项相消法求得其和.详解：（1）由 2132nnnaaa，得2112nnnnaaaa，又11a，23a，所以212aa，所以1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列所以12nnnaa，所以12112111 22221nnnnnaaaaaa.（2）21nna,22log21 1121nnbn ，23221 21nnncnn，又12322221 212121nnnnncnnnn 11124482222221335212112121nnnnnSnnnn 所以数列 nc的前n项和为12221nn.点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，累加法求通项公式，对数式的化简，裂项相消法求和，思路清晰，头脑清醒是解决问题的关键.