重庆市第七中学校2021-2022学年高二下学期数学第4周周练试题3182.pdf

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1、高 2023 级高二（下）第四周末数学周练试题 一、单选选择题（本大题共 8 题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1 如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程为 xy20，则 f(1)f (1)等于()A1 B2 C3 D4 2若 f(x0)2，则kxfkxfk2)()(lim000等于（）A1 B2 C1 D21 3函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A72 B36 C12 D0 4函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图像如图所示，则函数 yf(x)的图像可能是（）5若函数324yxax在(0,2)内单调递减，则实数 a

2、的取值范围为（）A3a B3a C3a D03a 6已知函数axxxxf629)(23有且仅有一个零点，则实数 a 的取值情况是（）A2a或25a B252 a C2a 或52a D2a或25a 7 设函数 yf(x)在(a,b)上的导函数为 f(x)，f(x)在(a,b)上的导函数为()fx，若在(a,b)上，()0fx 恒成立，则称函数函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”已知当2m 时，3211()62f xxmxx在(1,2)上是“凸函数”则 f(x)在(1,2)上 ()A既有极大值也有极小值 B既有极大值也有最小值 C有极大值没有极小值 D没有极大值也没有极小值 8已知定义在实数集

3、 R 上的函数 f(x)满足 f(1)1，f(x)的导数 f(x)2（xR），则不等式 f(x)2x1 的解集为（）A(,1)B(1,)C（1，2）D(,1)(1,)二、多项选择题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共计 20 分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9下列求导运算正确的是（）A2ln1)(log2ee（为自然对数的底数）B211)1(xxx C22cos2)(sinxxx D2222)12()2(xexxexx 10已知曲线 C：mx2ny21()A若 m0，n0，则 C是两条直线 B若 mn0，则 C是圆，其半径为n C若 mn0，则 C是椭圆，

4、其焦点在 x 轴上 D若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为myxn 11 设数列是等差数列，是其前 项和，且，则（）A B C或为的最大值 D 12已知函数 ymex的图象与直线 yx+2m 有两个交点，则 m 的取值可以是（）A1 B1 C2 D3 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20.0 分）13物体的运动方程是 s31t32t25，则物体在 t3 时的瞬时速度为_ _ 14已知函数322()3f xxmxnxm在 x1 时有极值 0，则 m、n 的值分别为 15在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑 A-BCD 中，AB平面 BCD

5、，BCCD，且 ABBCCD，M 为 AD的中点，则异面直线 BM 与 CD夹角的余弦值为 16已知函数，若存在 x00，使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。其中 17 题 10 分，其余各题每题 12 分）17已知函数 f(x)x3x16（1）求曲线 yf(x)在点(2,6)处的切线的方程；（2）如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y41x3 垂直，求切点坐标与切线的方程 MDCBA 18数列an是首项为 1 的等差数列，且公差不为零，a1,a2,a6成等比数列（1）求数列an的公差及通项公式 an；（2）若等比数列bn满足 b1

6、a1，b2a2，且 b1b2bk85，求正整数 k 的值 19如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点 E 在 CC1上且 C1E3EC（）证明：A1C平面 BED；（）求二面角 A1DEB 的夹角的余弦值 20设函数 f(x)x33axb(a0)（1）若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a，b 的值；（2）求函数 f(x)的单调区间与极值点 21 已知椭圆2222xyab1(ab0)的离心率 e63，过点 A(0,b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为32 （1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E(1,0)，若直线 ykx2(k0)与椭圆交于

7、C,D 两点，问：是否存在 k 的值，使以CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由 A B C D E A1 B1 C1 D1 22设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR(1)求 f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当 aln21 且 x0 时，exx22ax1 高 2023 级高二（下）第四周末数学周练试题答案及解析 一、单选：18：D A D D A C C B 7、提示：因21()12fxxmx,()0fxxm对于(1,2)x 恒成立.max()2mx,又当 m2 时也成立,有2m.而2m,m2.于是21()212fxxx,由()0fx 得23x 或23x(舍去),f(x)在(

8、1,23)上递增,在(23,2)上递减,只有 C 正确 二、多选：9、CD 10、AD 11、BC 12、BCD 12、解：令 f（x）mexx2mf（x）mex1，当 m0 时，f（x）mex10，函数 f（x）在 R 上单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，舍去 当 m0 时，令 f（x）mex10，解得 xlnm可得函数 f（x）在 xlnm 时取得最小值，f（lnm）1+lnm2mg（m），（m0）g（m）2，可得函数 g（m）在 m取得最大值，g（）ln20，f（x）的最小值f（lnm）0 m0 时，函数 f（x）有且仅有两个零点，即函数 ymex的图象与直线 yx+2m 有两个交

9、点，m 的取值可以是 1，2，3 故选：BCD 三、填空：13、3；14、2,9；15、；16、ae 16、解：由0 得：2lnx（x0），由于存在 x00，使得 f（x0）0 有解，故 a（2xxlnx）max，设 h（x）2xxlnx，则 h（x）2（lnx+x）1lnx，由 h（x）0 得 lnx1，解得 0 xe，故函数在区间（0，e）上单调递增；由 h（x）0 得 1lnx0，解得 xe，故函数在区间（e，+）上单调递减；所以当 xe 时，函数 h（x）取得极大值，也是最大值 h（e）2eelnee，即 h（x）e所以 ae 四、解答题：17、解：(1)因为 f(2)=23+2-16

10、=-6，所以点(2,-6)在曲线上.因为 f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以在点(2,-6)处的切线的斜率 k=f(2)=322+1=13.所以切线的方程为 y=13(x2)(6)，即 y13x32.(2)因为切线与直线 y4x3 垂直，所以斜率 k4.设切点为(x0,y0)，则 f(x0)=3+1=4，解得 x0=1,所以或 切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.即 y4x18 或 y4x14.18、解：(1)设数列an的公差为 d，因为 a1,a2,a6成等比数列，所以=a1a6，即(1+d)2=1(1+5d

11、)，即 d2=3d，因为 d0，所以 d=3，所以 an=1+(n-1)3=3n-2.(2)数列bn的首项为 1，公比为 q=4，故 b1+b2+bk=，令=85，得 4k=256，解得 k=4.19、解：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)(0 21)(2 2 0)DEDB，11(2 24)(2 0 4)ACDA，（）证明 因为10AC DB，10AC DE，故 A1CBD，A1CDE 又DBDED，所以 A1C平面 DBE（）设向量()xyz，n是平面 DA1E

12、 的法向量，则DEn，1DAn A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 故20yz，240 xz令1y，则2z ，4x，(412)，n 1AC，n等于二面角 A1DEB 的平面角，4214,cos111CAnCAnCAn 所以二面角 A1DEB 的夹角的余弦值为4214 20、解：(1)f(x)3x23a.因为曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，所以 f(2)0，f(2)8.即 3(4a)0，86ab8.解得 a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当 a0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点 当 a0 时，由 f(x)0

13、 得 x a.当 x(，a)或(a，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(a，a)时，f(x)0,设 C(x1,y1),D(x2,y2),则12212212,139,13kxxkxxk 而 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CEDE 时,则 y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,将代入整理得 k=76,经验证 k=76使得成立,综上可知,存在 k=76使得以 CD 为直径的圆过点 E.22、解：(1)由 f(x)ex2x

14、2a，xR 知 f(x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln2.于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0 f(x)单调递减 2(1ln2a)单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明：设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当 aln21 时，g(x)最小值为 g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意 xR，都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 aln21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.