2018年高考理科数学全国卷2含答案2166.pdf

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1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 112i12i【D】A43i55 B43i55 C34i55 D34i55 2已知集合223Axy xyxyZZ，则A中元素的个数为【A】A9 B8 C5 D4 3函数 2eexxf xx的图像大致为【B】4已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(

2、2)aab【B】A4 B3 C2 D0 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为【A】A2yx B3yx C22yx D32yx 6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB【A】A4 2 B30 C29 D2 5 7为计算11111123499100S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入【B】A1ii B2ii C3ii D4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是【C】A112

3、 B114 C115 D118 9在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为【C】A15 B56 C55 D22 10若()cossinf xxx在,a a是减函数，则a的最大值是【A】A4 B2 C34 D 11已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff【C】A50 B0 C2 D50 12已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi11TTi结束是否且斜率为36的直

4、线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为【D】A 23 B12 C13 D14 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为 2yx .14若,x y满足约束条件25023050 xyxyx，则zxy的最大值为 9 .15已知sincos1，cossin0，则sin()12 .16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为 40 2 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题

5、为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值 解：（1）设na的公差为 d，由题意得13315ad 由17a 得 d=2 所以na的通项公式为29nan（2）由（1）得228(4)16nSnnn 所以当 n=4 时，nS取得最小值，最小值为16 18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量

6、t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 217，）建立模型：30.413.5yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 27，）建立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5 19226.1y (亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 9917.5 9256.5y(亿元)（2）利用模型得到的预测值

7、更可靠 理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt 上下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型9917.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果

8、看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19（12 分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 解：（1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk 设1221(,),(,)AyxyxB，由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk 21616

9、0k，故122224kxkx 所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx 由题设知22448kk，解得1k （舍去），1k 因此 l 的方程为1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy 20（12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱

10、BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 PAOCBM 解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC 由222OPOBPB知POOB 由,OPOB OPAC知PO 平面ABC（2）如图，以O为坐标原点，OBuu u r的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAPuu u r取平面PAC的法向量(2,0,0)OB uu u r 设(

11、,2,0)(02)M aaa，则(,4,0)AMaauuur 设平面PAM的法向量为(,)x y zn 由0,0APAMuu u ruuurnn得22 30(4)0yzaxa y，可取(3(4),3,)aaan，所以2222 3(4)cos,2 3(4)3aOBaaauu u rn 由已知可得3|cos,|2OBuu u rn 所以2222 3|4|3=22 3(4)3aaaa解得4a （舍去），43a 所以8 3 4 34(,)333 n 又(0,2,2 3)PC uu u r，所以3cos,4PCuu u rn 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34 21（12 分）已知函数2()exf

12、 xax（1）若1a，证明：当0 x 时，()1f x；（2）若()f x在(0,)只有一个零点，求a 解：（1）当1a 时，()1f x 等价于2(1)e10 xx 设函数2()(1)e1xg xx，则22()(21)e(1)exxg xxxx 当1x 时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减 而(0)0g，故当0 x 时，()0g x，即()1f x （2）设函数2()1exh xax ()f x在(0,)只有一个零点当且仅当()h x在(0,)只有一个零点（i）当0a 时，()0h x，()h x没有零点；（ii）当0a 时，()(2)exh xax x 当(0,2)x时，()

13、0h x；当(2,)x时，()0h x 所以()h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增 故24(2)1eah 是()h x在0,)的最小值 若(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)只有一个零点；若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()h x在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0 x 时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa 故()h x在(2,4)a有一个零点，因此()h x在(0,)有两个零点 综上，()f x在(0,)只有一个零点时，2e4a （二）选考题

14、：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy，（为参数），直线l的参数方程为 1cos2sinxtyt，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin

15、)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt 又 由 得1224(2cossin)1 3costt，故2cossin0，于 是 直 线l的 斜 率tan2k 23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f xxax（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x，求a的取值范围 解：（1）当1a 时，24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 可得()0f x 的解集为|23xx （2）()1f x 等价于|2|4xax 而|2|2|xaxa，且当2x 时等号成立故()1f x 等价于|2|4a 由|2|4a可得6a 或2a，所以a的取值范围是(,62,)