化二次型为标准型的方法36861.pdf

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1、 .-可修编.化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax2bxycyf.（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴）xx cosy sinyx siny cos （2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本

2、的性质。设 P 是 一 数 域，一 个 系 数 在 数 域 P 上 的12nx,x,.,x的 二 次 齐 次 多 项 式22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x,x,.,x)a x2a x x.2a x xa x.2a x x.a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设12nx,x,.,x；12ny,y,.,y是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 11111221nn22112222nn33113223nnnn12n22nnnxc yc y.c yxc yc y.c yxc yc y.c y.xc yc y.c y （4）称为由1

3、2nx,x,.,x到12ny,y,.,y的一个线性替换，。如果ijc0，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另ijjia=a，i1），不是一般性，设12a0。令 112212nnxzzxz-z.xz它是非退化线性替换，且使12nf(x,x,.,x)=12122a x x.=1212122a(zz)(z-z).=221211222a z2a z.这时上式右端是12nz,z,.,z的二次型，且21z的系数不为 0，属于第一种情况，定理成立。3）11121naa.a0由于对称性，有21222naa.a0 这时nn12nijiji

4、 2 j 2f(x,x,.,x)a x x是 n-1 元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替 .-可修编.换变成平方和。这样就完成了定理得证明。说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。即对于任意一个对称矩阵 A，都可以找到一个可逆矩阵 C 使TC AC成对角形。即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化

5、的线性替换。222123123121 3(,)222f x x xxxxx xx x 解：123(,)f x x x的矩阵为 A=111120101 以下为合同变换过程：1111201012 1*(1)1110111012 1*(1)1010111113 1*(1)100010001100010001110010001 1010110123 1*(1)1000110123 2*(1)1000110033 2*(1)110010001111010001111010001 100010003 112011001 .-可修编.因此 D=100010003，C=112011001 令 X=CY，得12

6、3(,)f x x x=2221233yyy 五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个 n 级是对称矩阵 A，都存在一个 n 级是正交矩阵 T，使 T-1T AT=T AT 成对角形。定理 任意一个实二次型nn12nijiji 1j 1f(x,x,.,x)a x x（ija=jia）都可经过正交的线性替换变成平方和12nf(x,x,.,x)=2222233nnd zd z.d z 其中平方项系数12nd,d,.,d就使矩阵 A 的特征多形式全部的根。因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如：典型例题：作

7、直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？22223441xyzxyyz 解：此方程左端的二项式部分为：(,y,z)f x=2222344xyzxyyz 下把它正交替换成标准型：它的矩阵A=120222023EA=120222023=（2）（5）（1）,A 的全部特征值是 2，5，-1.对于特征值 2，求出（2E-A）X=0 的一个基础解系：1212,把1单位化，得1231323;对于特征值 5，求出（5E-A）X=0 的一个基础解系：2122,把2单位化，得2132323;对于特征值-1，求出（-E-A）X=0 的一个基础解系：.-可修编.3221 ,把3单位化，得3

8、232313 令 T=212333122333221333，则 T 是正交矩阵，且1200T AT=051000 令*xxyT yzz ，则(,y,z)f x=*2*2*22x5yz 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：*2*2*22x5yz=1 由此看出，这是单叶双曲面。六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法（一）相关定义 1、双线性函数定义 V 是数域 P 上一个线性空间，f(,)是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量、，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f(,)。如果 f(,)有下列性质：1）f(,1k1+22 k)=112 2k f(,)k f(,)2）11221

9、1,22,fkkk f()k f(),（+）=其中1212,是 V 中任意向量，12k,k是 P 中任意数，则称 f(,)为 V 上的一个双线性函数。例如：欧式空间 V 的内积是 V 上双线性函数。2、对成双线性函数的定义 f(,)线性空间 V 上的一个双线性函数，如果对 V 中任意两个向量,都有 f（，）=f(,),则称 f(,)为对称双线性函数。3、度量矩阵定义 设 f(,)是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数。12n,.,是 V 的一组基，则 .-可修编.矩阵11)1nn1)nn)f(,f(,)A=f(,f(,叫做 f(,)在12n,.,下的度量矩阵。结论：双线性函数是

10、对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。（二）化二次型为标准型的雅可比方法 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间，取定 V 的一组基12n,.,，令=niii=1x,=niii=1y，x=T1n(x,.,x),y=T1n(y,.,y),那么给定一个 F 上的 n 元二次型Tx Ay（其中 A 是 n 阶对称矩阵），则由 A 可以定义一个 V 上对称双线性函数 f(,)=Tx Ay，其中11)1nn1)nn)f(,f(,)A=f(,f(,。反之亦然。在固定的基12n,.,下，二次型Tx Ax和对称双线性函数 f(,)=Tx Ay是互相唯一确定的（都是由 A 确定的）。这种方法的

11、中心问题是：对在 V 的基12n,.,下游二次型Tx Ax确定的对称双线性函数f(,)=Tx Ay，满足条件 ijf(,)=0，对 ij(i,j=1,2,n)我们知道，设1n,.,是 V 的另一组基，而 B=ij n nb（）=i,j(f()是 f(,)关于这个基的矩阵，又设 C=ij n nc（）是由基12n,.,到基1n,.,的过渡矩阵，即 i=nijjj 1c，i=1,n 那么 B=TC AC，(1)即一个双线性函数关于 V 的两个基的两个矩阵式合同的。由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵 C 使TC AC成对角阵，B=11nnb00b,(2).-可修编.再设 C 是基12n,

12、.,到基1n,.,的过渡矩阵，由（1）式知，f(,)关于基1n,.,的矩阵是对角矩阵（2）式，即 ijf(,)=0，对 ij(i,j=1,2,n)这表明，对于每一个对称双线性函数 f(,)，都存在一个适当的基1n,.,，使它可以写成如下形式 f(,)=Tz Bu=11 112222nnnnb z ub z u.b z u,其中nniiiii 1i 1z,u，从而它所确定的二次型Tz Bz可以写成标准形 Tz Bz=22211 1222nnnb zb z.b z 且二次型Tx Ax化为Tz Bz所作的非退化线性替换为 x=Cz，其中 C 是由基12n,.,到基1n,.,的过渡矩阵，它使TC AC

13、=B。于是，化二次型Tx Ax为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件（2）得 V 的一个基1n,.,。在nR中，从一个基12n,.,出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n,.,。该方法的实质就是设 111 1212 1222n1n12n2nnn,c,cc,.cc.c 然后用待定系数法求使得ij,=0（其中 ij，i,j=1,2,n）的系数ijc。为此我们先解决下问题：1）设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间，f(,)=Tx Ay使 V 上对称双线性函数，其中12n,.,是 V 的一组基，=niii=1x,=niii=1

14、y，x=T1n(x,.,x),y=T1n(y,.,y),A 是 n 阶对称矩阵，那么从基12n,.,出发，是否能构造如下形式的基1n,.,：.-可修编.111 1212 1222n1n12n2nnn,c,cc,.cc.c 使得 ijf(,)=0，对 ij(i,j=1,2,n)解：将j1j 12j2jjjcc.c代入ijf(,)得 ijf(,)=i,j1j 12j2jjjf(cc.c)=1ji,12ji,2jji,jc f()c f().c f()，所以，若对任意的 i 及 ji 有i,jf()=0，则对 ji，有 i,jf()=j,if()=0，即1n,.,是所求的基。于是，问题归结为求待定系

15、数1i2iiic,c,.,c,i1,2,.,n,使向量i1i12i2iiicc.c （3）满足条件 i,jf()=j,if()=0，j=1,2,i-1 （4）显然，若i满足i,jf()=0，则i的数量倍ic也满足 ijf(c,)=0，故为了确定i，我们再要求i满足条件 iif(,)=i,if()=1。（5）这样，i可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4)和（5），得到关于jic的线性方程组 1i1,12i1,2ii1,i1i2,12i2,2ii2,i1ii-1,12ii 1,2iii 1,i1ii,12ii,2iii,ic f()c f().c f()0c f()c f().c

16、 f()0.c f()c f().c f()0c f()c f().c f()1 （6）.-可修编.这方程组的系数行列式为 11)1iii1)ii)f(,f(,)=f(,f(,。因此，当i0时，方程组（6）由唯一解，从而可求得向量i。于是，当A=ij n n a（）=ii(f(,)的顺序主子式1=11a，2=11122122a aa a，n=11121n21222nn1n2nma aaa aaa aa 都不等于 0 时，可以由方程组（6）求出向量i，i=1，2，n 2）由 1）可知，在i0，i=1，2，n 的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵 C=ij n n c（）=111nnncc0c

17、,从而由（3）式求得i，i=1，2，n，它们满足 ijb=i,jf()=0，对 ij，i,j=1,2,n 使得双线性函数 f(,)关于基1n,.,的矩阵为 B=TC AC=11nnb00b,是对角矩阵，由此可见，二次型Tx Ax可经非退化线性替换 x=Cz，化成标准形 Tz Bz=22211 1222nnnb zb z.b z 其中 x=T1n(x,.,x),z=T1n(z,.,z).下面计算iib=i,if()i=1，2，n，由（3）（4）（5）可得 iib=i,if()=i,1i12i2iiif(cc.c)=iic=i,if()再由克拉默法则，由方程组（6）可解得 .-可修编.iic=i

18、1i（其中令0=1）。因此，iib=i 1i，i=1，2，n 综上所述，我们可得以下结论：设二次型nnijiji 1j 1a x x（其中ija=jia）中，顺序主子式1，2，,n都不等于零，则该二次型必可化为下面的标准形：22201n-112n12nzz.z 其中0=1。这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。典型例题：用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。123(,)f x x x=222123121 3234xxxx xx x 解：由于矩阵 A=32223102201,它的顺序主子式1=2，2=14，3=144都不等于零，故可用雅可比方法。设1100 ，2010 ，30

19、01 ，双线性函数 f(,)关于基 1，2，3的矩阵为 A,则 A=111213212223313233f,f,f,f,f,f,f,f,f,=32223102201 .-可修编.设111 1212 1222313 1232333cccccc 系数11c可由条件11f,=1 求出，即1111c f,=211c=1 故11c=12，故有111 1112c=1200 系数1222,cc可由方程组1211221212122222,0,1c fcfc fcf 求出，得122268cc，故212 1222cc=680 系数132333,ccc可由方程组132333132313333220230221ccc

20、cccc求出，得1323338171217117ccc，故38171217117 由此可得，由基1，2，3到123,的过渡矩阵为 C=18621712081710017 因此123(,)f x x x经线性替换X=CZ化成标准型222012123123zzz=22212311z8zz217 .-可修编.（三）雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用 1）实二次型nn12nijiji 1j 1f(x,x,.,x)a x x=Tx Ax是正定的充要条件是：矩阵 A 的顺序主子式1，2，,n全大于零；2）实二次型nn12nijiji 1j 1f(x,x,.,x)a x x=Tx Ax是负定的充要条件是：kk(1)0,k1,2,.n.证：1）必要性显然成立，下正充分性。由于矩阵 A 的顺序主子式全大于零，故该二次型必可化为 22201n-112n12nzz.z 由于i 1i0（i=1,2,.,n），故该二次型的正惯性指数等于 n,所以它是正定的。2）证明与 1)类似，只是因kk(1)0,k1,2,.n.故i 1i0（i=1,2,.,n）所以该二次型的负惯性指数等于 n,是负定的。