2019年数学新同步湘教版必修2第8章 8.2.2 条件概率.doc

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1、82.2 条件概率条件概率 读教材读教材 填要点填要点 1条件概率条件概率设设 A，B 是事件，且是事件，且 P(A)0，以后总是用，以后总是用 P(B|A)表示在已知表示在已知 A 发生的条件下发生的条件下 B 发生的发生的条件概率，简称条件概率条件概率，简称条件概率2条件概率的计算公式条件概率的计算公式如果如果 P(A)0，则，则 P(B|A).P A B P A 3条件概率的性质条件概率的性质P(B|A)0,10,1如果如果 B 与与 C 为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 小问题小问题 大思维大思维 1P(B|A)P(AB)吗？吗？提示：提示：

2、事件事件(B|A)是指在事件是指在事件 A 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 B 发生，而事件发生，而事件 AB 是指事件是指事件A 与事件与事件 B 同时发生，故同时发生，故 P(B|A)P(AB)2P(B|A)和和 P(A|B)相同吗？相同吗？提示：提示：P(B|A)是指在事件是指在事件 A 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 B 发生的概率，而发生的概率，而 P(A|B)是指在事件是指在事件B 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 A 发生的概率，因此发生的概率，因此 P(B|A)和和 P(A|B)不同不同条件概率的计算条件概率的计算 例例 1 1 在在 5 道题中有道题中有 3

3、道理科题和道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，求：道题，求：(1)第第 1 次抽到理科题的概率；次抽到理科题的概率；(2)第第 1 次和第次和第 2 次都抽到理科题的概率；次都抽到理科题的概率；(3)在第在第 1 次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率次抽到理科题的概率 解解 设第设第 1 次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件 A，第，第 2 次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件 B，则第，则第 1 次和第次和第 2 次次都抽到理科题为事件都抽到理科题为事件 AB.(1)从从 5 道题中不放回地依次抽取道题中不放

4、回地依次抽取 2 道题的基本事件总数为道题的基本事件总数为 A 20.2 5事件事件 A 所含基本事件的总数为所含基本事件的总数为 A A 12.1 31 4故故 P(A) .122035(2)因为事件因为事件 AB 含含 A 6 个基本事件个基本事件2 3所以所以 P(AB).620310(3)法一：法一：由由(1)、(2)可得，在第可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为次抽到理科题的概率为P(B|A) .P A B P A 3103512法二：法二：因为事件因为事件 AB 含含 6 个基本事件，事件个基本事件，事件 A 含含 12 个基本

5、事件，所以个基本事件，所以 P(B|A) .61212条件概率的计算方法有两种：条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率利用定义计算，先分别计算概率 P(AB)和和 P(A)，然后代入公式，然后代入公式 P(B|A).P A B P A (2)利用缩小样本空间计算利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内局限在古典概型内)，即将原来的样本空间，即将原来的样本空间 缩小为已知的缩小为已知的事件事件 A，原来的事件，原来的事件 B 缩小为缩小为 AB，利用古典概型计算概率：，利用古典概型计算概率：P(B|A).n A B n A 1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件抛掷红、蓝两颗骰子，设事

6、件 A 为为“蓝色骰子的点数为蓝色骰子的点数为 3 或或 6” ，事件，事件 B 为为“两颗两颗骰子的点数之和大于骰子的点数之和大于 8” (1)求求 P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为当已知蓝色骰子的点数为 3 或或 6 时，问两颗骰子的点数之和大于时，问两颗骰子的点数之和大于 8 的概率为多少？的概率为多少？解：解：(1)设设 x 为掷红骰子得的点数，为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图建立一一对应的关系，由题意作图如图显然：显然：P(A) ，123613

7、P(B)，P(AB).1036518536(2)法一：法一：P(B|A).n A B n A 512法二：法二：P(B|A).P A B P A 53613512条件概率的应用条件概率的应用 例例 2 2 在一个袋子中装有在一个袋子中装有 10 个球，设有个球，设有 1 个红球，个红球，2 个黄球，个黄球，3 个黑球，个黑球，4 个白球，个白球，从中依次摸从中依次摸 2 个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率 解解 法一：法一：设设“摸出第一个球为红球摸出第一个球为红球”为事件为事件 A， “摸出第二个球为黄球摸

8、出第二个球为黄球”为事件为事件B， “摸出第二个球为黑球摸出第二个球为黑球”为事件为事件 C，则则 P(A)，P(AB)，1101 210 9145P(AC).1 310 9130P(B|A) ，P AB P A 145110104529P(C|A) .P AC P A 13011013P(BC|A)P(B|A)P(C|A) .291359所求的条件概率为所求的条件概率为 .59法二：法二：n(A)1C 9，n(BC|A)C C 5，1 91 21 3P(BC|A) .59所求的条件概率为所求的条件概率为 .59利用公式利用公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单

9、，但应注意这个性可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是质的使用前提是“B 与与 C 互斥互斥” 2在某次考试中，要从在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能答对其中的道题，若考生至少能答对其中的 4 道道题即可通过；若至少能答对其中题即可通过；若至少能答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答对其中道题就获得优秀，已知某考生能答对其中 10 道题，并且道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解：解：设事件设事件 A 为为“该考生该考生 6 道题全答对道题全答对”

10、，事件，事件 B 为为“该考生答对了其中该考生答对了其中 5 道题，另道题，另一道答错一道答错” ，事件，事件 C 为为“该考生答对了其中该考生答对了其中 4 道题，而另道题，而另 2 道题答错道题答错” ，事件，事件 D 为为“该考生该考生在这次考试中通过在这次考试中通过” ，事件，事件 E 为为“该考生考试中获得优秀该考生考试中获得优秀” ，则，则 A、B、C 两两互斥，且两两互斥，且DABC，EAB，由古典概型的概率公式及加法公式可知，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，C 6 10C 6 20C 5 10C 1 10C 6 20C 4 10C

11、 2 10C 6 2012 180C 6 20P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).P A P D P B P D 210C 6 2012 180C 6 202 520C 6 2012 180C 6 201358故所求的概率为故所求的概率为.1358解题高手解题高手妙解题妙解题盒子里装有盒子里装有 16 个球，其中个球，其中 6 个是玻璃球，个是玻璃球，10 个是木质球，玻璃球中有个是木质球，玻璃球中有 2 个是红球，个是红球，4个是蓝球；木质球中有个是蓝球；木质球中有 3 个是红球，个是红球，7 个是蓝球现从中任取一个个是蓝球现从中任取一

12、个(假设每个球被取到是等假设每个球被取到是等可能的可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？ 尝试尝试 巧思巧思 本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率 妙解妙解 设事件设事件 A：“任取一个球，是玻璃球任取一个球，是玻璃球” ；事件；事件 B：“任取一球，是蓝球任取一球，是蓝球” 由题由题中数据可列表如下：中数据可列表如下：红球红球蓝球蓝球小计小计玻璃

13、球玻璃球246木质球木质球3710小计小计51116由表知，由表知，P(B)，P(AB)，1116416故所求事件的概率为故所求事件的概率为 P(A|B).P A B P B 41611164111若若 P(A) ，P(B|A) ，则，则 P(AB)等于等于( )3412A. B.2338C. D.1358解析：解析：选选 B 利用条件概率的乘法公式求解利用条件概率的乘法公式求解P(AB)P(A)P(B|A) .3412382用用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用组成的三位数码组中，若用 A 表示表示“第二位数字为第二位数字为 0”的事件，用的事件，用 B表示表示“第一位数字为第一位数

14、字为 0”的事件，则的事件，则 P(A|B)( )A. B. C. D.12131418解析：解析：选选 B P(B) ，P(AB) ，3 33 3 31333 3 319P(A|B) ，故选，故选 B.P AB P B 133从从 1,2,3,4,5 中任取中任取 2 个不同的数，事件个不同的数，事件 A：“取到的取到的 2 个数之和为偶数个数之和为偶数” ，事件，事件B：“取到的取到的 2 个数均为偶数个数均为偶数” ，则，则 P(B|A)等于等于( )A. B.1814C. D.2512解析：解析：选选 B P(A) ，P(AB)，由条件概率的计算公式得，由条件概率的计算公式得 P(B|

15、A)C2 3C2 2C2 525C2 2C2 5110 .P AB P A 11025144若若 P(A)，P(B)，P(AB)，则，则 P(A|B)_，P(B|A)_.310410110解析：解析：P(A|B) ，P A B P B 14P(B|A) .P A B P A 13答案：答案： 14135.如图，如图，EFGH 是以是以 O 为圆心，半径为为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用该圆内，用 A 表示事件表示事件“豆子落在正方形豆子落在正方形 EFGH 内内” ，B 表示事件表示事件“豆子落在扇形豆子落在扇形OHE(阴影

16、部分阴影部分)内内” ，则，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析：解析：圆的面积是圆的面积是 ，正方形的面积是，正方形的面积是 2，扇形的面积是，扇形的面积是 ，根据几何概型的概率计算，根据几何概型的概率计算4公式得公式得 P(A) ，根据条件概率的公式得，根据条件概率的公式得 P(B|A) .2P A B P A 12214答案：答案：(1) (2)2146某校高三某校高三(1)班有学生班有学生 40 人，其中共青团员人，其中共青团员 15 人全班平均分成人全班平均分成 4 个小组，其中个小组，其中第一组有共青团员第一组有共青团员 4 人从该班任选一人作学生代表人从该班任选一人作学

17、生代表(1)求选到的是第一组的学生的概率；求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率解：解：设事件设事件 A 表示表示“选到第一组学生选到第一组学生” ，事件事件 B 表示表示“选到共青团员选到共青团员” (1)由题意，由题意，P(A) .104014(2)法一：法一：要求的是在事件要求的是在事件 B 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 A 发生的条件概率发生的条件概率 P(A|B)不难理不难理解，在事件解，在事件 B 发生的条件下发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提即以所选到的学生是共青团员为前提)

18、，有，有 15 种不同的选择，种不同的选择，其中属于第一组的有其中属于第一组的有 4 种选择因此，种选择因此，P(A|B).415法二：法二：P(B) ，P(AB)，154038440110P(A|B).P AB P B 415一、选择题一、选择题1设设 P(A|B)P(B|A) ，P(A) ，则，则 P(B)等于等于( )1213A. B.1213C. D.1416解析：解析：选选 B P(AB)P(A)P(B|A) ，131216由由 P(A|B)，得，得 P(B) 2 .P A B P B P A B P A|B 161324 张奖券中只有一张能中奖，现分别由张奖券中只有一张能中奖，现分

19、别由 4 名同学无放回地抽取，若已知第一名同学名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A. B.1413C. D112解析：解析：选选 B 设第一名同学没有抽到中奖券为事件设第一名同学没有抽到中奖券为事件 A，最后一名同学抽到中奖券为事，最后一名同学抽到中奖券为事件件 B，则则 P(B|A) .P A B P A 133某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为，连续两天为优良的概率是优良的概率是 0.6，

20、已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：解析：选选 A 根据条件概率公式根据条件概率公式 P(B|A)，可得所求概率为，可得所求概率为0.8.P AB P A 0.60.754从混有从混有 5 张假钞的张假钞的 20 张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出 2 张，将其中张，将其中 1 张放到验钞机上检验张放到验钞机上检验发现是假钞，则第发现是假钞，则第 2 张也是假钞的概率为张也是假钞的概率为( )A. B.1191738C. D.419217解析：解析：选

21、选 D 设事件设事件 A 表示表示“抽到抽到 2 张都是假钞张都是假钞” ，事件，事件 B 为为“2 张中至少有一张假张中至少有一张假钞钞” ，所以为，所以为 P(A|B). 而而 P(AB)，P(B).C2 5C 2 20119C2 5C1 5C 1 15C 2 201738P(A|B).P AB P B 217二、填空题二、填空题5有一批种子的发芽率为有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取，在这批种子中，随机抽取1 粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为_解析：解析：记记“种子发芽种子发芽”为事件为

22、事件 A， “种子长成幼苗种子长成幼苗”为事件为事件 AB(发芽，又成活发芽，又成活)，出芽，出芽后的幼苗成活率为后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8，又，又 P(A)0.9.故故 P(AB)P(B|A)P(A)0.72.答案答案：0.7266 位同学参加百米短跑比赛，赛场共有位同学参加百米短跑比赛，赛场共有 6 条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是同学排在第二跑道的概率是_解析：解析：甲排在第一跑道，其他同学共有甲排在第一跑道，其他同学共有 A 种排法，乙排在第二跑道共有种排法，乙排在第二跑道共有 A 种排法，种排法，5 54 4所

23、以所求概率为所以所求概率为 .A4 4A5 515答案：答案：157100 件产品中有件产品中有 5 件次品，不放回地抽取两次，每次抽件次品，不放回地抽取两次，每次抽 1 件，已知第一次抽出的是件，已知第一次抽出的是次品，则第次品，则第 2 次抽出正品的概率为次抽出正品的概率为_解析：解析：设设“第一次抽到次品第一次抽到次品”为事件为事件 A， “第二次抽到正品第二次抽到正品”为事件为事件 B，则，则 P(A)，P(AB)，5100120C1 5C 1 95A 210019396所以所以 P(B|A).P AB P A 9599答案：答案：95998抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记抛掷一枚骰子

24、，观察出现的点数，记 A出现的点数为奇数出现的点数为奇数1,3,5，B出现出现的点数不超过的点数不超过 31,2,3若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过 3，则出现的点数是奇数的概率为，则出现的点数是奇数的概率为_解析：解析：由题意知由题意知 n(B)3，n(AB)2，故在出现的点数不超过，故在出现的点数不超过 3 的条件下，出现的的条件下，出现的点数是奇数的概率为点数是奇数的概率为P(A|B) .n A B n B 23答案：答案：23三、解答题三、解答题9一个盒子中有一个盒子中有 6 只好晶体管，只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后只坏晶体管，任取两次，每次

25、取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率解：解：令令 A第第 1 只是好的只是好的，B第第 2 只是好的只是好的，法一法一：n(A)C C ，n(AB)C C ，1 6 1 91 6 1 5故故 P(B|A) .n AB n A C1 6C1 5C1 6C1 959法二法二：因事件：因事件 A 已发生已发生(已知已知)，故我们只研究事件，故我们只研究事件 B 发生便可，在发生便可，在 A 发生的条件下，发生的条件下，盒中仅剩盒中仅剩 9 只晶体管，其中只晶体管，其中 5 只好的，所以只好的，所以 P(B|A) .C1 5C1

26、 95910一袋中装有一袋中装有 6 个黑球，个黑球，4 个白球如果不放回地依次取出个白球如果不放回地依次取出 2 个球求：个球求：(1)第第 1 次取到黑球的概率；次取到黑球的概率；(2)第第 1 次和第次和第 2 次都取到黑球的概率；次都取到黑球的概率；(3)在第在第 1 次取到黑球的条件下，第次取到黑球的条件下，第 2 次又取到黑球的概率次又取到黑球的概率解：解：设第设第 1 次取到黑球为事件次取到黑球为事件 A，第，第 2 次取到黑球为事件次取到黑球为事件 B，则第，则第 1 次和第次和第 2 次都取次都取到黑球为事件到黑球为事件 AB.(1)从袋中不放回地依次取出从袋中不放回地依次取出 2 个球的事件数为个球的事件数为n()A90.2 10根据分步乘法计数原理，根据分步乘法计数原理，n(A)A A 54.于是于是1 61 9P(A) .n A n 549035(2)因为因为 n(AB)A 30.2 6所以所以 P(AB) .n A B n 309013(3)法一法一：由：由(1)(2)可得，在第可得，在第 1 次取到黑球的条件下，次取到黑球的条件下，第第 2 次取到黑球的概率为次取到黑球的概率为P(B|A) .P A B P A 133559法二法二：因为：因为 n(AB)30，n(A)54，所以，所以P(B|A) .n A B n A 305459