线性代数x1-2(new1).ppt

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1、 矩阵不仅可用于处理线性方程组，而且还广泛用于刻画许多实际问题。在处理实际问题的过程中，人们经常遇到一堆一堆的数。此时人们不仅要考虑如何表示这些数堆，而且还要考虑一堆数与另一堆数间的关系.1.2 矩阵的基本运算1 例1.2.1 某电视机厂生产三种型号的彩电TC-1、TC-2、TC-3，它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3(塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在表1.2.1和表1.2.2中给出.2 表1.2.1 彩电与零部件 数 型 量 号部件TC-1

2、TC-2TC-3 S11 11 S2345 S3346 S4111S1(S1(显像管显像管)、S2(S2(电路板电路板)、S3(S3(扬声器扬声器)、S4(S4(机壳机壳)3 表1.2.2 零部件与原材料 数 部 量 件材料S1S2S3S4M12440M214004M312110M1(M1(铜铜)、M2(M2(玻璃玻璃)、M3(M3(塑料塑料)。S1(S1(显像管显像管)、S2(S2(电路板电路板)、S3(S3(扬声器扬声器)、S4(S4(机壳机壳)4例例1.2.2 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了四城市之间开辟了若干航线若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图如图所示表

3、示了四城市间的航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.5四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.6表表1.2.11.2.1与表与表1.2.2 1.2.2 可简记为可简记为78 满足条件(1)的矩阵称为同型矩阵同型矩阵.但是,同型不一定相等 (1)(1)m=p且 n=q，则称 A A与与B B 相等相等，记为 A=B。(

4、2)(2)其中 定义定义1.1.21.1.2 设 是两个矩阵，若它们满足例如例如为同型矩阵.9例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.注注:(2)(2)只有一行的矩阵,此时 m=1=1称为行矩阵行矩阵(或行向量行向量).(1)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方方阵阵.也可记作 称为A的主对角元主对角元.只有一列的矩阵此时 n=1称为列矩阵列矩阵(或列向量列向量).).10 例例1.2.31.2.3 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网.通过勘察测算,获得一组有关建设费用的预算数据.1.1.线性运算线性运算12233.51.5我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用o o11 进一步假设，

5、在架设有线电视网时，对原有供电线路进行增容改造。假设已知供电线路的增容费用如图.12101214 1510问如何计算总的建设费用总的建设费用？12供电线路的增容费用的矩阵表示对应元素相加,得到一个新矩阵在本例中,我们把同型矩阵相加得到矩阵P.进行了加法运算,其和矩阵为P,记为P 即为总的建设预 算 数 据 矩 阵13是两个 mn 矩阵，令定义定义1.2.21.2.2 设 A=与 B=其中i=1=1，2 2，,m；j=1,2,=1,2,n。称 mn矩阵C=为A与B的和,记为C=A+B。类似的，我们可以规定 A 与 B 的差 A-B 为AB=说明说明 只有当两个矩阵是同型同型矩阵时,才能进行加法运

6、算.14当 A=B 时，A+B =A+A。习惯上把 A+A 记为2A，为此又引入：是mn矩阵，k是数，令定义定义1.2.3 1.2.3 设A=其中i=1,2,=1,2,m；j=1,2,=1,2,n。称mn矩阵B=为数数k与矩阵与矩阵 A 的数量积的数量积,记为B=k A。称()A为 A 的负矩阵负矩阵,记为 A。注注:15例如例如，显然，A-B=A(-(-B)，（，（k）AkA,注意注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.设A是m n矩阵，则 0A 是全部元素均为0的m n 矩阵。称全部元素均为零的矩阵为零矩阵零矩阵，记为记为或或。1617性质1.2.1 设设A,B,C是任意三个矩阵是任意三个矩阵，

7、k,l是任意两个数，则有是任意两个数，则有注注:此处此处 A,B 均为同型矩阵均为同型矩阵交换结合分配18所以19定定义义1.1.51.1.5 设设 ，令令称称矩矩阵阵 为为矩矩阵阵 与与 矩矩阵阵的的乘乘积，记为积，记为 。方法如下：方法如下：2021注意只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于第二个矩阵第二个矩阵的行数的行数时，两个矩阵才能相乘.此外,由于 A 的第 i 行与 B 的各列运算可得到 AB 的第 i 行,而A 有 m 行,故 AB 应有 m 行.同理可知 AB 的列数应与 B 的列数相等.例如例如不不存在存在.22232425对线性方程组（1.1.1）令则上述方程组可表为2

8、6（其中 为数）;性质性质1.2.2 1.2.2 设 A,B,C是任意三个个矩阵,是任意数,则27 主对角元全为1而其他元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为 或 ,即设设 A是是 矩阵，若矩阵，若m=n则称则称A是是n阶方阵，阶方阵，此时此时 称为称为A的主对角元。的主对角元。28性质性质1.2.31.2.3 对任一mn矩阵 ,均有 定义定义1.2.51.2.5 设A是方阵，k是正整数，称k个A的连乘积为A的k次幂，记为 ；规定规定 称 为方阵A的多项式，这里 均为数。29解例30由此归纳出31用数学归纳法证明当 时，显然成立.假设 时成立，则 时，32所以对于任意的 都有33性质性质1

9、.2.41.2.4 设A是方阵，k,l 是非负整数，f(x)是 x 的一元多项式，则有（1 1）（2 2）若 f(x)=g(x)h(x),则f(A)=g(A)h(A)这里 g(x),h(x)也是 x 的一元多项式，f(A)表示若 则34证 令例1.2.12 设 A 是方阵，证明根据性质1.1.4(2)可得 即因35例例 设计算 解 因又又 故3637 AB有意义，但不一定 B A 也有意义，如 即使AB与BA都有意义，它们也不一定同型,如 AB有意义，BA无意义。注注1:1:矩阵的乘法不可交换矩阵的乘法不可交换38 即使AB与BA同型，它们也不一定相等,如 39则有 但也有例外，比如设一般地，

10、特别特别,在一个矩阵等式两边同乘另一个矩阵时在一个矩阵等式两边同乘另一个矩阵时,应应确保等号两侧得乘入方式一致确保等号两侧得乘入方式一致,即即40在一般情况下,还有以下结论:由 AB=0 不能导出 A=0或B=0 由 AB=AC，A0不能导出B=C注注2:2:两个非零矩阵相乘可能得到零矩阵两个非零矩阵相乘可能得到零矩阵41例 设A、B是同阶方阵，则等式成立的充分必要条件为 AB=BA。例 设A与B是同阶方阵。若AB=BA，则 其中是二项系数：二项式定理二项式定理423.3.转置把A的行写成列,得到 nm 矩阵定义 设A是 mn 矩阵，称之为A的转置矩阵，简称为A的转置，记为43例例 设A是实矩阵（元素全为实数），若 则 A=0=0。44性质 设A,B是任意两个矩阵,k是任意数,则有45例例 设A与B是同阶方阵，则 证证46