简谐振动精选PPT.ppt

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1、关于简谐振动第1页，讲稿共147张，创作于星期二第九章第九章 振动和波振动和波广义的广义的振动振动物理量随时间作周期性变化称为振动。物理量随时间作周期性变化称为振动。（2）周期性）周期性在在 T时间内状态能完全重复。时间内状态能完全重复。振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。特点：特点：（1）有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。Vibration and wave机械振动机械振动物体在某一位置附近作往复运动。物体在

2、某一位置附近作往复运动。机械振动分类机械振动分类按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动简谐、非简谐、随机振动。其中简谐振动是最基本最简单的振动，其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分解为复杂的振动都可以分解为复杂的振动都可以分解为复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。一些简谐振动的叠加。一些简谐振动的叠加。一些简谐振动的叠加。第2页，讲稿共147张，创作于星期二第3页，讲稿共147张，创作于星期二称作谐振动的微分方程。称作谐振动的微分方程。弹簧振子是理想模型弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator在水平方向上：在水平方向上：由牛顿第

3、二定律，有：由牛顿第二定律，有：令：令：则有：则有：9-1 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的微分方程和运动方程一、简谐振动的微分方程和运动方程（负号表示力与位移方向相反）（负号表示力与位移方向相反）幻灯片幻灯片 51、简谐振动的微分方程、简谐振动的微分方程第4页，讲稿共147张，创作于星期二第5页，讲稿共147张，创作于星期二2、运动学方程：、运动学方程：由：由：可解得：可解得：或：或：一般写成：一般写成：本课程采用余弦形式本课程采用余弦形式因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动振动曲线振动曲线简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用简谐振动的定义：若质

4、点的位移与时间的关系可以用表示，质点的运动称为谐振动。表示，质点的运动称为谐振动。描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量A、，称特征量。称特征量。第6页，讲稿共147张，创作于星期二otx第7页，讲稿共147张，创作于星期二(2)角频率角频率：angular frequency 振动的快慢振动的快慢周期周期T:Period频率频率：(3)初相位初相位：Phase 描述运动状态的量描述运动状态的量为初相位，为初相位，Initial Phase(1)振幅振幅A:amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）4、谐振动的三个特征量、谐振动的三个特征量第

5、9页，讲稿共147张，创作于星期二5、位移、速度和加速度的相位关系、位移、速度和加速度的相位关系以上结果表明：以上结果表明：(1)v,a与与x的的相同相同(2)(3)a与与x方向相反，且成正比方向相反，且成正比振幅振幅x、v、a相位依次差相位依次差/2。写写成成第10页，讲稿共147张，创作于星期二二、初始条件确定振幅和初相位二、初始条件确定振幅和初相位初始条件：初始条件：写为：写为：得：得：即：即：有两个值，需（有两个值，需（1）或（或（2）进行筛选。）进行筛选。也可直接由（也可直接由（1）或由（）或由（2）求出）求出。第11页，讲稿共147张，创作于星期二三、坐标原点的选取对于振动方程的影

6、响三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例以竖直弹簧振子为例)自由端自由端,平衡位置平衡位置以以为坐标原点为坐标原点:以以 为坐标原点为坐标原点:在建立谐振子的振动方程时在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。选平衡位置为坐标原点最合适。第12页，讲稿共147张，创作于星期二例题例题1 单摆单摆 Simple Pendulum解：单摆受力如图所示解：单摆受力如图所示对悬挂点的力矩：对悬挂点的力矩：由：由：若若很小，则有：很小，则有：即：即：其中：其中：动画动画第13页，讲稿共147张，创作于星期二第14页，讲稿共147张，创作于星期二例题例题2半径为半径为R的圆环

7、静止于刀口的圆环静止于刀口O点上点上,令其令其在自身平面内作微小摆动在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为证明其摆动为谐振谐振,并计算其振动周期并计算其振动周期.证明证明:设圆环偏离角度为设圆环偏离角度为因此所作振动为谐振因此所作振动为谐振第15页，讲稿共147张，创作于星期二四四、谐振动的其它表示法、谐振动的其它表示法1、振动曲线法、振动曲线法（1）振动曲线的峰（或谷）对应的位）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅移的大小即是振幅.（2）振动曲线上表示振动状态相同的）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期相邻两点对应的时间间隔就是周期T。（3）由初状态）由初状态v0

8、、x0可得出初相可得出初相位位。（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。）尤其判断振动的超前与落后非常直观。第16页，讲稿共147张，创作于星期二Rotating vector method1.参考圆法参考圆法 沿沿逆逆时时针针方方向向作作匀匀速速圆圆周周运运动动的的质质点点在在某某一一直直径径上上（取取在在x轴轴）的的投影的运动为简谐振动。投影的运动为简谐振动。半径半径R振幅振幅A角速度角速度角频率角频率 t时刻时刻A矢量在矢量在x轴上的投影轴上的投影初始矢径与初始矢径与x轴的交角轴的交角初相位初相位动画动画2.旋转矢量旋转矢量用旋转矢量法处理问题用旋转矢量法处理问题更直观、更直观、更方便，

9、必须掌握。更方便，必须掌握。表示出三个特征量表示出三个特征量2、旋转矢量表示法、旋转矢量表示法第17页，讲稿共147张，创作于星期二第18页，讲稿共147张，创作于星期二第19页，讲稿共147张，创作于星期二例例题题3一一质质点点沿沿x轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅 A=0.12m，周周期期T=2s，当当 t=0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向，此时向x轴正向运动。轴正向运动。求：求：(1)此振动的表达式此振动的表达式 (2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间从初始时刻

10、开始第一次通过平衡位置的时间 解解:(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点设设其中其中A亦为已知，只需求亦为已知，只需求由由t=0s时，时，x0=0.06m，可得：，可得：在在-到到之间取值：之间取值：第20页，讲稿共147张，创作于星期二取哪一个值要看初始条件，由于：取哪一个值要看初始条件，由于：所以：所以：由于由于t=0时，质点向正时，质点向正 x 方向运动，所以方向运动，所以 v00因此，应取：因此，应取：于是，此简谐振动的表达式：于是，此简谐振动的表达式：利用旋转矢量法求解很直观，根据利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅初始条件就可画出如图所示的振幅矢量

11、的初始位置，从而得到：矢量的初始位置，从而得到：第21页，讲稿共147张，创作于星期二(2)将将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：代入上两式，以及位移表达式，可求得：此时旋转矢量位置如图：此时旋转矢量位置如图：第22页，讲稿共147张，创作于星期二(3)通过平衡位置时，通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：，由位置表达式，可得：由此可得：由此可得：第一次通过，取第一次通过，取k=1，又由于，又由于=/s，所以：，所以：从起始时刻到第一次质点通过原点，从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：振幅矢量转过的角度为：故：故：有旋转矢量图可知：有旋转矢量图

12、可知：第23页，讲稿共147张，创作于星期二例例题题4 以以余余弦弦函函数数表表示示的的简简谐谐振振动动的的位位移移时时间间曲曲线线如如图图所所示示，试写出其运动方程。试写出其运动方程。解：设该简谐振动的运动方程为解：设该简谐振动的运动方程为根据已知条件求出各量代入上式即可根据已知条件求出各量代入上式即可由图可知，由图可知，A=2cm，当，当t=0时时因为：因为：v00,第24页，讲稿共147张，创作于星期二画出矢量图：画出矢量图：又知又知 t=1s 时，位移达到正的最大值，时，位移达到正的最大值，即：即：故：故：因而有：因而有：第25页，讲稿共147张，创作于星期二 简谐振动的势能：简谐振动

13、的势能：五五、简谐振动的能量、简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例 简谐振动的动能：简谐振动的动能：第26页，讲稿共147张，创作于星期二简谐振动的总能量：简谐振动的总能量：弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。第27页，讲稿共147张，创作于星期二势能的时间平均值势能的时间平均值:动能的时间平均值动能的时间平均值:第28页，讲稿共147张，创作于星期二 这些结论同样适用于任何简谐振动。这些结论同样适用于任何简谐振动。这些结论同样适用于任何简谐振动。这些结论同样适用于任何简谐振动。总能的时间平均值总能的时间平均

14、值:*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。等于总机械能的一半。结论：结论：第29页，讲稿共147张，创作于星期二023.用余弦函数描述一些振子的振动，若速度用余弦函数描述一些振子的振动，若速度-时间函数关系如图，则振动的初相位为时间函数关系如图，则振动的初相位为/6；/3；/2；5/604.无阻尼自由简谐振

15、动的周期和频率由无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 所决定。对所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 决定。决定。振动系统本身的性质振动系统本身的性质初始条件初始条件第30页，讲稿共147张，创作于星期二1.一弹簧振子作谐振动，总能量为一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量倍，则它的总能量E变为变为 A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E本章作业：本章作业：9-3，9-5，9-10，9-11第31页，讲稿共147张，创作于星期二代数

16、方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位9-2 简谐振动的合成简谐振动的合成一、一、同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成合振幅合振幅Composition of two SHM仍然是同频率仍然是同频率 的简谐振动的简谐振动第32页，讲稿共147张，创作于星期二由由分别两边平方求和后整理得：分别两边平方求和后整理得：第33页，讲稿共147张，创作于星期二YX几何方法：几何方法：第34页，讲稿共147张，创作于星期二上面得到：上面得到：讨论一：讨论一：合振幅最大。合振幅最大。当当

17、 两分振动同步时两分振动同步时合振动的振幅等于两分振动振幅之和合振动的振幅等于两分振动振幅之和第35页，讲稿共147张，创作于星期二讨论二：讨论二：当当 时，时，讨论三：讨论三：一般情况：一般情况：两分振动反相位时两分振动反相位时合振动的振幅等于两分振动振幅之差合振动的振幅等于两分振动振幅之差第36页，讲稿共147张，创作于星期二例例1。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为与第一简谐振动的相位差为-1=/6,若第一个简谐振若第一个简谐振动的振幅为动的振幅为则第二个谐振动的振幅为则第二个谐振动的振幅为 cm,

18、第一、二两个谐振动的相位差第一、二两个谐振动的相位差2-1=。解：由矢量合成法则：解：由矢量合成法则：20第37页，讲稿共147张，创作于星期二二、二、同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 为了简单起见，先讨论两个为了简单起见，先讨论两个振幅相同振幅相同，初相位也相同初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：成。其振动表达式分别为：Same directionDifferent Frequency合成振动合成振动表达式：表达式：利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：第38页，讲稿共147张，创作于星期二当当 都

19、很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的现象称为现象称为拍拍。一般情况下，合振动无明显的周期性一般情况下，合振动无明显的周期性第39页，讲稿共147张，创作于星期二单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率

20、的两倍。即拍频为：即拍频为：应用：可用于校准钢琴应用：可用于校准钢琴第40页，讲稿共147张，创作于星期二第41页，讲稿共147张，创作于星期二XY12用旋转矢量说明拍频用旋转矢量说明拍频的频率为的频率为，的频率为的频率为每单位时间振动每单位时间振动1追赶振动追赶振动2 次次每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：音叉音叉演示演示第42页，讲稿共147张，创作于星期二三、方向垂直、同频率简谐振动的合成三、方向垂直、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，

21、即振动，即第43页，讲稿共147张，创作于星期二上式是个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由上式是个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由相位差相位差 决定。决定。讨论讨论1 所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。第44页，讲稿共147张，创作于星期二讨论讨论2所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论3所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。xy第45页，讲稿共147张，创作于星期二质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向。方向的相位差决定旋转方向。讨论讨

22、论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。xy讨论讨论6则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在椭合振动在椭圆上进行圆上进行（圆和直线是退化了的椭圆）。（圆和直线是退化了的椭圆）。第46页，讲稿共147张，创作于星期二第47页，讲稿共147张，创作于星期二第48页，讲稿共147张，创作于星期二四、四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运

23、动不是周期一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论性的运动。下面就两种情况讨论1。视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。次的循环变化。当当 时是顺时针转；时是顺时针转；时是逆时针转。时是逆时针转。2 2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形运动也具有周期。这种运动轨迹的图

24、形,称为称为李萨如图形李萨如图形。在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。得知另一个未知的频率。第49页，讲稿共147张，创作于星期二第50页，讲稿共147张，创作于星期二9-3 阻尼振动和受迫振动阻尼振动和受迫振动 共振共振一、阻尼振动一、阻尼振动振幅随时间减少的振动。振幅随时间减少的振动。1。阻尼的分类。阻尼的分类a.摩擦阻尼：机械能转化为热能摩擦阻尼：机械能转化为热能b.辐射阻

25、尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）2。阻尼振动的方程。阻尼振动的方程振动系统受介质的粘滞阻力：振动系统受介质的粘滞阻力：Damped oscillations Forced oscillations Resonance阻尼振动的动力学方程：阻尼振动的动力学方程：令：令：称称 为振动系统的固有角频率，为振动系统的固有角频率，称称 为阻尼系数。为阻尼系数。第51页，讲稿共147张，创作于星期二（1）阻尼较小时）阻尼较小时:欠阻尼欠阻尼此方程的解：此方程的解：这种情况称为这种情况称为欠阻尼，欠阻尼，阻力使周期增大。阻力使周期增大。由初始条件决定由初

26、始条件决定A和初相位和初相位 ,设设即有：即有：第52页，讲稿共147张，创作于星期二欠阻尼欠阻尼a.周周期期T：一一个个位位移移极极大大到到另另一一个个极极大大出出现现的时间间隔。称准周期运动。的时间间隔。称准周期运动。b.T比无阻尼时稍长。比无阻尼时稍长。（2）阻尼较大时，阻尼较大时，方程的解方程的解：其中其中 是积分常数，由初始条是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。件来决定，这种情况称为过阻尼。无振动发生。无振动发生。过阻尼过阻尼第53页，讲稿共147张，创作于星期二临界阻尼临界阻尼称之为称之为临界阻尼临界阻尼情况。它是振动系统情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快

27、回到刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。平衡位置的情况，应用在天平调衡中。是由初始条件是由初始条件决定的积分常数决定的积分常数。（3）如果如果 方程的解：方程的解：是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的到无周期性的临界点临界点。第54页，讲稿共147张，创作于星期二第55页，讲稿共147张，创作于星期二1。谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。二、二、谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 设强迫力设强迫力阻尼力：阻尼力：是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理

28、论：由微分方程理论：非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。非齐次的一个特解。2。振动的特点：。振动的特点：减幅振动和简谐振动的叠加，减幅振动和简谐振动的叠加，t 很大时，作很大时，作=策策的简谐振动。的简谐振动。第56页，讲稿共147张，创作于星期二其解为：其解为：经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解：该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅稳定态时的振幅受迫振动的初相位：受迫振动的初相位：第57页，讲稿共147张，创作于星期二讨论：讨论：较小较小若若 很小，很小，很大。

29、很大。求振幅求振幅 对频率的极值，得出对频率的极值，得出共振的角频率。共振的角频率。共振的振幅。共振的振幅。振幅有极大值振幅有极大值三、三、共振共振1。位移共振：。位移共振：A达到最大值的振动状态（受迫振动）达到最大值的振动状态（受迫振动）第58页，讲稿共147张，创作于星期二当当强强迫迫力力的的频频率率为为某某一一值值时时，稳稳定定受受迫迫振振动动的的位位移移振振幅幅出出现现最最大大值的现象，叫做位移共振，简称共振（值的现象，叫做位移共振，简称共振（resonance)。发生位移共振时发生位移共振时,因振幅最大因振幅最大,所以振动系统能量最大所以振动系统能量最大,系统系统形变最厉害形变最厉害

30、.2。速度共振。速度共振(1)时时,速度振幅速度振幅达到极大值达到极大值,叫做速度共振叫做速度共振.此时系统动能也达到最大值此时系统动能也达到最大值,也叫也叫能量共振能量共振.第59页，讲稿共147张，创作于星期二(2)速度振幅随阻尼的减速度振幅随阻尼的减小而增大小而增大,但共振频率皆但共振频率皆为为阻尼为零阻尼为零3.共振的危害及应用共振的危害及应用.利：乐器利用之可提高音效、利：乐器利用之可提高音效、选择节目、器官成像（核磁共振）选择节目、器官成像（核磁共振）害：桥梁、建筑物等易受破坏。害：桥梁、建筑物等易受破坏。作业：作业：9-6 9-8 9-12 9-139-6 9-8 9-12 9-

31、13第60页，讲稿共147张，创作于星期二弹弹 性性 波波声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种电磁波。电磁波。机械振动在弹性介质中的传播称为机械振动在弹性介质中的传播称为机械波机械波。下面以机械波为。下面以机械波为例介绍波的一些物理概念。例介绍波的一些物理概念。但它们都有类似的波动方程。但它们都有类似的波动方程。Elastic Wave第61页，

32、讲稿共147张，创作于星期二2.弹性波产生的条件弹性波产生的条件:(1)要有振源要有振源(波源波源)(2)要有传播振动的弹性媒质要有传播振动的弹性媒质3.横波和纵波横波和纵波(Transversal Wave and Longitudinal Wave)(1)横波横波:传播方向与振动方向垂直传播方向与振动方向垂直(绳上波绳上波)(2)纵波纵波:传播方向与振动方向平行传播方向与振动方向平行(空气中声波空气中声波)任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。由弹性力组合由弹性力组合的连续介质的连续介质一一.基本概念基本概念

33、1.弹性波弹性波:机械振动在机械振动在弹性媒质弹性媒质中的传播中的传播Elastic Wave Generation and Propagation9-4 弹性波的产生与传播弹性波的产生与传播第62页，讲稿共147张，创作于星期二第63页，讲稿共147张，创作于星期二第64页，讲稿共147张，创作于星期二(1)波面波面:t时刻相位相同的点组成的面时刻相位相同的点组成的面(波阵面波阵面)波线波线波面波面波面波面波线波线(2)波前波前:某时刻在最前面的波面某时刻在最前面的波面(3)波射线波射线:沿波的传播方向作的射线（也称波线）沿波的传播方向作的射线（也称波线）在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂

34、直在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.4.波的几何描述波的几何描述波面、波线、波前波面、波线、波前 Wave Surface，Line（normal），），Front 第65页，讲稿共147张，创作于星期二第66页，讲稿共147张，创作于星期二二二.平面简谐波平面简谐波 Plane Harmonic Wave1.简谐波简谐波:(简谐振动在空间的传播简谐振动在空间的传播)特点特点:(1)波传到的区域中，每个质元在平衡位置附近波传到的区域中，每个质元在平衡位置附近作简谐振动作简谐振动,而振动以一定的速度由近及远传播而振动以一定的速度由近及远传播.(2)后振动的质点比先振动的质点的状态落后一段时

35、后振动的质点比先振动的质点的状态落后一段时间间.2.描述简谐波的物理量描述简谐波的物理量(1)波速波速u:单位时间内某一振动状态单位时间内某一振动状态(或振动相位或振动相位)所传播所传播的距离称为波速的距离称为波速 ，也称之相速，也称之相速 。取决于媒质取决于媒质(与频率无关与频率无关)第67页，讲稿共147张，创作于星期二B.固体中固体中横波横波:纵波纵波:其中其中:G切变弹性模量切变弹性模量Y杨氏弹性模量杨氏弹性模量A.液体、气体中液体、气体中(仅有纵波仅有纵波)B液体或气体的容变弹性模量液体或气体的容变弹性模量媒质的密度媒质的密度在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。在同一种固体媒

36、质中，横波波速比纵波波速小些。(2)波长波长（Wave Length):波传播过程中波传播过程中,同一波线上两个相邻的、相位同一波线上两个相邻的、相位差为差为2的两质元间的距离。的两质元间的距离。反映了波的空间周期性。反映了波的空间周期性。第68页，讲稿共147张，创作于星期二(4)频率频率单位时间内质点振动的次数单位时间内质点振动的次数,或单位时间内波动前进或单位时间内波动前进 的距离中所包含的完整波长的数目。的距离中所包含的完整波长的数目。(5)关系式关系式(3)波的周期波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过 波线上某一点所需要的时间叫

37、做波的周期波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。与振源的振动周期相同与振源的振动周期相同.反映了波的时间周期性反映了波的时间周期性.2.2.若媒质无吸收，各点的振幅相同，设为若媒质无吸收，各点的振幅相同，设为A A。波线波线波面波面波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。结论：波线上各点的振动表达式即为平面简谐波的波函数。结论：波线上各点的振动表达式即为平面简谐波的波函数。平面简谐波的特点：平面简谐波的特点：1 1、波线上一点的振动状态与过该点的波、波线上一点的振动状态与过该点的波面上各点的振动状态相同。面上各点的振动状态相同。第69页，讲稿共

38、147张，创作于星期二已知：已知：1、原点、原点o的振动表达式的振动表达式2、波速为、波速为，方向沿，方向沿 轴正方向轴正方向求任意点求任意点p在在t的振动表达式。的振动表达式。任意点任意点p的振动表达式为：的振动表达式为：任意点任意点p振动的状态是原点振动的状态是原点o在在 时间前振动过的状态。时间前振动过的状态。9-5 9-5 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一、波函数：能够定量表达空间中任意点振动的数学表达式称为波函数一、波函数：能够定量表达空间中任意点振动的数学表达式称为波函数二、平面简谐波的波函数二、平面简谐波的波函数第70页，讲稿共147张，创作于星期二(3)波函数的几种不同的

39、形式：波函数的几种不同的形式：第71页，讲稿共147张，创作于星期二三、波函数的物理意义三、波函数的物理意义:(1)当当x给定时给定时,设设x=x0,则有则有:其中其中:表示表示x0处质点的振动情况处质点的振动情况(振动方程振动方程)(2)当当t给定给定,设设t=t0,则有则有:即即y=y(x),表示表示t=t0时刻的波形图时刻的波形图注意注意:波动曲线与振动曲线的区别波动曲线与振动曲线的区别波动曲线波动曲线表示波线上各点的位移分布。表示波线上各点的位移分布。第72页，讲稿共147张，创作于星期二(3).当当x,t均变化均变化,y=y(x,t)表示不同时刻表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位

40、移。不同平衡位置处各质元的位移。波函数描述了波形波函数描述了波形(相位相位)的传播的传播,速度为速度为u.在在t时间内时间内,整个波形以速度整个波形以速度u向前推进了向前推进了x=ut，u也称为相速也称为相速度。度。第73页，讲稿共147张，创作于星期二第74页，讲稿共147张，创作于星期二(4).由波函数可求得各质元的振动速度、位移、加速度由波函数可求得各质元的振动速度、位移、加速度由此可知，波函数描述波动状态由此可知，波函数描述波动状态注意：注意：v 和和 u 的不同的不同第75页，讲稿共147张，创作于星期二左行波左行波的波函数：的波函数：所以所以 p点的运动方程，也点的运动方程，也就是

41、就是左行波左行波的波动方程：的波动方程：p点的振动状态传到点的振动状态传到 O 点需用时间：点需用时间：（5）沿沿x轴负向传播的情况轴负向传播的情况:已知已知:p点的相位超前于点的相位超前于O点相位：点相位：第76页，讲稿共147张，创作于星期二例题例题13082如图如图,一平面波在介质中以速度一平面波在介质中以速度u=20m/s沿沿x轴负方向传播轴负方向传播,已知已知A点点振动方程为振动方程为:y=3cos4t(SI)求：求：(1)以以A点为坐标原点写出波动方程点为坐标原点写出波动方程(波函数波函数)(2)以距以距A点点5m处的处的B点为坐标原点点为坐标原点,写出波动方程写出波动方程.解解:

42、(1)若以若以A为原点为原点,则有则有:x处处t时刻的振动时刻的振动,与与A处处t+x/u时刻的振动相时刻的振动相同同,因而因而x处的振动为处的振动为:x第77页，讲稿共147张，创作于星期二X处质元的振动为：处质元的振动为：要点要点:抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后的特点。抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后的特点。x(2)以距以距A点点5m处的处的B点为坐标原点点为坐标原点,写出波动方程写出波动方程.B点的振动方程为：点的振动方程为：第78页，讲稿共147张，创作于星期二例例题题2一一平平面面余余弦弦波波,波波线线上上各各质质元元的的振振幅幅和和角角频频率率分分别别为为A和和,波波沿沿

43、x轴轴正正向向传传播播,波波速速为为u,设设某某一一瞬瞬时时的的波波形形如如图图所所示示,并并取取图图示示瞬瞬时时为计时起点为计时起点(1)分别以分别以O和和P为坐标原点为坐标原点,写出该波的波函数写出该波的波函数.(2)确定在确定在t=0时刻时刻,距点距点O分别为分别为x=/8和和x=3/8两处质元振动速度两处质元振动速度的大小和方向的大小和方向.解解:(1)取取O点为坐标原点点为坐标原点,设设O点振动方程为点振动方程为:其中其中:为已知为已知,现求现求,由图知由图知,t=0时时,第79页，讲稿共147张，创作于星期二故故:于是可得于是可得:波函数为波函数为:若取若取P点为坐标原点点为坐标原

44、点,点点P作简谐振动的运动方程为作简谐振动的运动方程为:由波形图可知由波形图可知,t=0时刻时刻:因此因此则有则有:（后来的位移向负方向增大）（后来的位移向负方向增大）因而有因而有:第80页，讲稿共147张，创作于星期二(2)求质元的振动速度求质元的振动速度:X处处:沿沿y轴负向轴负向沿沿y轴正向轴正向步骤步骤:1.建立坐标系建立坐标系,选取计时起点选取计时起点2.求原点的振动方程求原点的振动方程3.由右行波或左行的规律由右行波或左行的规律,求求x点的振动方程点的振动方程.第81页，讲稿共147张，创作于星期二例题例题3 已知已知A点振动方程为点振动方程为:求下列情况下的波函数求下列情况下的波

45、函数.第82页，讲稿共147张，创作于星期二作业：作业：9-14 9-15 9-17 9-19第83页，讲稿共147张，创作于星期二一、波函数的几种不同的形式（右行波）：一、波函数的几种不同的形式（右行波）：复复 习习左行波在左行波在 x 出现的地方加一负号出现的地方加一负号步骤步骤:1.建立坐标系建立坐标系,选取计时起点选取计时起点2.根据传播方向以及波的传播根据传播方向以及波的传播规律规律,求求p点的振动方程点的振动方程（p点在点在x处）。处）。建立波函数的条件：建立波函数的条件：1、某点的振动表达式、某点的振动表达式2、波速（大小和方向、波速（大小和方向u）第84页，讲稿共147张，创作

46、于星期二补充内容：补充内容：惠更斯原理惠更斯原理一、一、惠更斯原理惠更斯原理表述：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射表述：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射子波子波的新波源的新波源 ，其后，其后 任意时刻，这些任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。子波的包络面就是新的波阵面。Huygens principle波传播时遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播？波传播时遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播？可用于解释波的传播、反射、折射、衍射等现象。可用于解释波的传播、反射、折射、衍射等现象。第85页，讲稿共147张，创作于星期二荷兰物理学家，荷兰物理学家，1678年提出惠更斯原理年提出惠更斯

47、原理第86页，讲稿共147张，创作于星期二第87页，讲稿共147张，创作于星期二第88页，讲稿共147张，创作于星期二一一.波的叠加原理波的叠加原理（独立性原理）（独立性原理）9-6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 若有几列波同时在介质中传播，则若有几列波同时在介质中传播，则:1.它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；2.在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和的矢量和。称波的叠加原理称波的叠加原理。能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要

48、性在于可以将任能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。一复杂的波分解为简谐波的组合。爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。波叠加波叠加第89页，讲稿共147张，创作于星期二第90页，讲稿共147张，创作于星期二第91页，讲稿共147张，创作于星期二二二.波的干涉波的干涉(波相遇时的一种特殊现象波相遇时的一种特殊现象)1.干干涉涉现现象象:两两波波相相遇遇,在在媒媒质质中中某某些些位位置置的的点点振振幅幅始始终终最最大大，某某些些位位置置振振幅幅始始终终最最小小，而而其其它它位位

49、置置，振振动动的的强强 弱弱介介乎乎二二者之间者之间,保持不变。保持不变。称这种振动的稳定分布为称这种振动的稳定分布为干涉干涉现象现象。2.相干条件：相干条件：满满足足相相干干条条件件的的波波源源称称为为相相干干波波源源。（3）具有具有恒定的相位差恒定的相位差（2）振动方向相同振动方向相同两相干波的振幅相近或相等时干涉现象明显。两相干波的振幅相近或相等时干涉现象明显。（1）两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率第92页，讲稿共147张，创作于星期二波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图第93页，讲稿共147张，创作于星期二第94页，讲稿共147张，创作于星期二3.定量公式定量公式:设有两个

50、频率相同的波源设有两个频率相同的波源 和和其振动表达式为：其振动表达式为：传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为：在在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。点的振动为同方向同频率振动的合成。第95页，讲稿共147张，创作于星期二下面讨论干涉现象中的强度分布下面讨论干涉现象中的强度分布在在 P 点的合成振动为：点的合成振动为：其中：其中：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有在空间形成稳定的分布，即有干涉现象干涉现象