电磁学答案教材.pdf

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1、 29 届 四、【参考解答】1虚线小方框内 2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容满足下式 （1）即 （2）式中 （3）虚线大方框中无限网络的等效电容满足下式 （4）即 （5）整个电容网络的等效电容为 （6）等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）（7）当电容器 a 两极板的距离变为 2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效电容满足下式 （8）由此得 （9）整个电容网络的等效电容为 （10）整个电容网络的等效电容器带的电荷量为 （11）在电容器 a 两极板的距离由d变为 2d后，等效电容器所带电荷量的改变为 （12）电容器储能变化为 （13）在此过程中，电

2、池所做的功为 （14）外力所做的功为 （15）2.设金属薄板插入到电容器 a 后，a 的左极板所带电荷量为，金属薄板左侧带电荷量为，右侧带电荷量为，a 的右极板带电荷量为，与 a 并联的电容器左右两极板带电荷量分别为和.由于电容器 a 和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有 （16）由（2）式和上式得 （17）上式表示电容器 a 左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等 效电容所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即 （18）将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器 a 左极板带电荷量

3、（19）评分标准：本题21分.第 1 问 13分，（2）式 1 分，（5）式 2 分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各 1 分，（13）式 2 分,（14）式 1 分，（15）式 2 分.第 2 问 8 分，（16）、（17）、（18）、（19）式各 2 分.五、参考解答:如图 1 所示，当长直金属杆在 ab 位置以速度水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由 b 指向 a 的感应电动势的大小为 （1）式中为金属杆在ab 位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有 （2）在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度可视为不变，近似为.将（

4、2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到 cd 过程中感应电动势大小始终为 （3）以、和分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图 1 所示，以表示a、b两端的电压，由欧姆定律有 （4）（5）式中，和分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，和中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为 （6）（7）方向竖直向上，方向竖直向下.由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为 （8）无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场.在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，

5、由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为 （9）方向竖直向下.对应图 1 的等效电路如图 2，杆中的电流 （10）其中为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，和分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故 （11）利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得 （12）由于小圆环半径，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场.当金属杆位于 ab 处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为 （13）当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为 （14）在长

6、直金属杆以速度从ab移动到cd的时间间隔内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为 （15）由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为 （16）在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为 （17）于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔内通过小环导线横截面的电荷量为 （18）评分标准：本题 25 分.（3）式 3 分，（4）、（5）式各 1 分，（8）、（10）式各 3 分，（12）式 3 分,（15）式 4 分，（16）、（17）式各 2 分，（18）式 3 分.28 届 四、参考解答：1根据题意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，设它们为和.因为粒

7、子在z方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z方向以初速度作匀速运动.粒子在Oxy面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y方向的初速度表示为 (1)其中 (2)沿y负方向与相关的磁场力 (3)沿x负方向.粒子受到的电场力 (4)沿x正方向由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为的速度沿y负方向运动除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度 (5)沿y正方向，与相关的磁场力使粒子以速率在Oxy面内作匀速圆周运动，以表示圆周运动的半径，有 (6)可得 (7)由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期 (8)(8)式表明，粒子运动的周期与粒子

8、在y方向的初速度无关经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面.2增加的电场对粒子在Oxy平面内的运动无影响，但粒子在z方向要受到此电场力作用以表示在此电场力作用下的加速度，有 (9)或 (10)这是简谐运动的加速度，因而有 （11）由(10)、（11）可得 (12)因未增加电场时，粒子在z方向作初速度为的匀速运动，增加电场后，粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有 （13）粒子在Oxy平面内的运动不受电场的影响设为粒子在Oxy平面内作圆周运动的角速度，则有 (14)由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t的变化关系 (15)(16)考虑到粒子在y方向还具有速度为

9、的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律：(17)(18)(19)评分标准：本题 20 分 第 1 问 12 分（2）、（3）、（4）式共 5 分，（5）、（6）、（7）式共 4 分，（8）式及相关说明共 3 分 第 2 问 8 分（12）式 2 分，（14）式到（19）式各 1 分.五、答案与评分标准 本题 15 分 1 (2 分），（2 分），（2 分），（1 分）20.62V （2 分）；0.54V （2 分）；49mW （2 分）；6.0 （2 分）27 届 四、参考解答：以 v 表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场的磁感应强度，根据题意

10、粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有 （1）而 （2）由（1）、（2）两式得 （3）如图建立坐标系，则粒子在时刻 的位置，（4）取电流的正方向与 y 轴的正向一致，设时刻 t 长直导线上的电流为，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为 五、参考解答：1质点在应作减速运动（参看图 1）设质点在A点的最小初动能为，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为 （1）由此可得:（2）2 质点在的运动有三种可能情况：i质点在作加速运动（参看图 1），对应条件为 （3）此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小初动能由（2）式给出，即 （4）若（3）式中取

11、等号，则最小初动能应比（4）式给出的略大一点 ii质点在作减速运动（参看图 1），对应条件为 （5）此时质点刚好能到达O点的条件为 （6）由此可得 （7）iii质点在之间存在一平衡点D（参看图 2），在质点作减速运动，在质点作加速运动，对应条件为 （8）设D到O点的距离为，则 （9）即 （10）根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为 （11）由（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为 （12）只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的略大一点）评分标准：本题 20 分 第 1 小问 5 分求得（2）式给 5 分

12、 第 2 小问 15 分算出第 i 种情况下的初动能给 2 分；算出第 ii 种情况下的初动能给 5分；算出第 iii 种情况下的初动能给 8 分，其中（10）式占 3 分 六、参考解答：时，A、B 间等效电路如图 1 所示，A、B 间的电阻 （1）时，A、B 间等效电路如图 2 所示，A、B 间的电阻 （2）由（1）、（2）两式得 (3)时，A、B 间等效电路如图 3 所示，A、B 间的电阻 （4）由（3）、（4）式得 （5）评分标准：本题 20 分（1）式 4 分，（3）式 6 分，（5）式 10 分 （5）方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得 （6）评分标准：本题 12 分（

13、3）式 4 分，（4）式 2 分，（5）式 4 分，（6）式 2 分 26 届 一、填空（问答）题.每小题 5 分，共 25 分.按各小题的答案和评分标准评分.1.答案与评分标淮：这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场，电荷沿任意闭合路径一周电场力做的功等于 0，但在这种电场中，电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为 0（5分）2答案与评分标淮：1.5（5 分）3答案与评分标淮：测电笔内阻很大，通过与之串联的人体上的电流（或加在人体上的电压）在安全范围内；（2 分）市电为交流电，而电工鞋相当于一电容器，串联在电路中仍允许交流电通过（3 分）4答案与评分标淮：（5 分）5答案与评

14、分标淮：该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力矩为零便推出木块的角动量应守恒，这样推理本身就不正确.事实上，此时支持力合力的作用线在重力作用线的右侧，支持力与重力的合力矩不为 0，木块的角动量不守恒，与木块作减速运动不矛盾（5 分）八、参考解答：两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以和分别表示两个原子的负电中心振动速度，和分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量 ，式中U为静电相互作

15、用能 ，(2)为 静 电 力 常 量 因，利用，可将(2)式化为 ，(3)因此体系总能量可近似表为 .(4)注意到和，可将(4)式改写为 .(5)式中，(6)，(7)，(8)(9)(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分别为 ，(10).(11)在绝对零度，零点能为 ，(12)两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为和，有 ，(13)式中 (14)为孤立振子的固有角频率 由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为 (15)利用，可得 (16)，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引 评分标准：本题 20 分

16、.(1)式 1 分，(2)式 3 分，(4)式 3 分，(10)、(11)式各 4 分，(12)式 2 分，(16)式 2 分，末句说明占 1 分 25 届 一、答案 1.2.(答也给)3.T 五、答案与评分标准：1(3 分)2 (2 分)2如图(15 分.代表电流的每一线段 3 分，其中线段端点的横坐标占 1 分，线段的长度占 1 分，线段的纵坐标占 1 分)六、参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为 R，则在一年时间 内电流通过线圈因发热而损失的能量为 （1）以表示铅的电阻率，S 表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有（2）电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电

17、子的平均速率为 v，根据电流的定义有（3）所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度I，即电流变化的上限为.由于导电电子的数密度是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由 v 变为 v-v，对应的电流变化 （4）导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为 （5）由于II，所以vv，式中v 的平方项已被略去.由（3）式解出 v，（4）式解出 v，代入（5）式得 (6)铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即 （7）由(1)、(2)、(6)、(7)式解

18、得 （8）式中 （9）在（8）式中代入有关数据得 (10)所以电阻率为 0 的结论在这一实验中只能认定到 (11)24 届 四、参考解答：设某一时刻线框在磁场区域的深度为x，速度为，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又引起自感电动势 设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的电动势与设定的正方向相反，自感电动势 与设定的正方向相同.因线框处于超导状态，电阻，故有 （1）即 （2）或 （3）即 （4）可见 与x成线性关系，有 （5）C为一待定常数，注意到时，可得，故有 （6）时，电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相

19、反，即在线框进入磁场区域时右侧边的电流实际流向是向上的外磁场作用于线框的安培力 （7）其大小与线框位移x成正比，方向与位移x相反，具有“弹性力”的性质下面分两种情形做进一步分析：（i）线框的初速度较小，在安培力的作用下，当它的速度减为 0 时，整个线框未全部进入磁场区，这时在安培力的继续作用下，线框将反向运动，最后退出磁场区线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动，振动的圆频率 （8）周期 （9）振动的振幅可由能量关系求得，令表示线框速度减为 0 时进入磁场区的深度，这时线框的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能”，由能量守恒可得 （10）得 （11）故其运动方程为 ，t从 0

20、到（12）半个周期后，线框退出磁场区，将以速度向左匀速运动因为在这种情况下的最大值是，即 （13）由此可知，发生第（i）种情况时，的值要满足下式 即 （14）(ii)若线框的初速度比较大，整个线框能全部进入磁场区当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于 0，这要求满足下式 （15）当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是到，所以时间间隔与（12）式不同，而是从 0 到 （16）因为线框的总电动势总是为 0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为 0此后线框

21、中维持有最大的电流，磁场对线框两条边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前进，运动的速度可由下式决定 即 （17）五、参考解答：解法一：1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度 （1）引力加速度 （2）考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图 1 所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz.因作用于粒子的引力沿 x 轴正方向，作用于粒子的洛伦兹力与 z 轴垂直，故粒子在 z轴方向不

22、受力作用，沿 z 轴的分速度保持不变.现设想在开始时刻，附加给粒子一沿y轴正方向大小为 v0的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为 v0的速度，要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡，即 得 （3）用 v 表示 ux与沿 y 轴的速度的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有 （4）这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：沿z轴的分速度其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量 沿y轴的速度对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向 与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以

23、速率沿y轴运动由（3）式可知，的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同 在平面内的速度与这速度联系的洛伦兹力使粒子在平面内作速率为的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有 得 （5）由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量和y分量有关圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于 0 由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度漂移运动是粒子的定

24、向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流 由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为 （6）（7）由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有 （8）代入有关数据得 （9）电流密度的方向沿纬度向东.2上一小题的讨论表明，粒子在平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为 （10）由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为 （11）（12）以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力

25、方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为和，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.解法二：.1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度 （1）引力加速度 （2）考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴 指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图 1 所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz.若以、表示粒子在任意时刻t的速度在 x 方向、y 方向和

26、z 方向的分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为 （3）（4）（5）（5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即 （6）作变量代换，令 （7）其中 （8）把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得 （9）（10）由（9）、(10)两式可知，作用于粒子的力在 x 和 y 方向的分量分别为 若用表示的方向与 x 轴的夹角，表示的方向与 x 轴的夹角，而，则有 可见，表明的方向与的方向垂直，粒子将在的作用下在平面内作速率为的匀速圆周运动若以 R 表示圆周的半径，则有 （11）在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是时刻V的值，由（7）式和已知条件在时刻有

27、 故有 （12）以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：根据（6）式，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量 根据（7）式可得，表明粒子在平面内以速率作圆周运动的同时，又以速度沿y轴运动、是圆周运动速度的x分量和y分量圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量和y分量有关圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于 0 沿y轴的速度由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向 由此

28、可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流 由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为 （13）（14）由于电子、质子漂移速度的方相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有 （15）代入有关数据得 （16）电流密度的方向沿纬度向东.2上一小题的讨论表明，粒子在平面内作圆周运动，运动的速率由（12）式给出，它与粒子的初速度有关对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为 （17）因题给出的电子与质子的初速度是不同的，电子、质子的质量又是不同的，故电子、质子在平面内作圆周运动的半径也是不同的由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为 （18）（19）以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为和，都远小于电离层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.