(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习理(最.pdf

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1、第 1 讲 等差数列与等比数列 考情研析 1。从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主,近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为 5 分和 12 分.核心知识回顾 1.等差数列(1)通项公式：错误!ana1(n1）dam(nm)d。(2)等差中项公式：错误!2anan1an1（nN，n2)(3)前n项和公式：错误!Sn错误!na1错误!.2等比数列（1)等比数列的通项公式：错误!ana1qn1amqnm.(2）等比中项公式：错误!a错误!an1an1（nN，n2）(3）等比数列的前n

2、项和公式:错误!Sn错误!。3等差数列的性质（n，m，l,k，p均为正整数)(1)若mnlk，则错误!amanalak（反之不一定成立)；特别地,当mn2p时，有错误!aman2ap.（2）若an，bn是等差数列，则kantbn（k，t是非零常数）是错误!等差数列（3）等差数列“依次每m项的和即Sm，错误!S2mSm，错误!S3mS2m，仍是等差数列(4）等差数列an，当项数为 2n时，S偶S奇错误!nd，错误!错误!错误!，项数为 2n1 时，S奇S偶错误!a中错误!an，S2n1(2n1）an且错误!错误!错误!.（其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和）4等比数列的性质（

3、n，m，l,k，p均为正整数）（1）若mnlk,则错误!amanalak(反之不一定成立）；特别地,当mn2p时，有错误!amana错误!.(2)当n为偶数时，错误!错误!q(公比)(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和）(3)等比数列“依次m项的和，即Sm，错误!S2mSm,错误!S3mS2m,（Sm0）成等比数列 热点考向探究 考向 1 等差数列、等比数列的运算 例 1（1）(2019陕西榆林高考第三次模拟）在等差数列an中，其前n项和为Sn,且满足若a3S512，a4S724,则a5S9(）A24 B32 C40 D72 答案 C 解析 a3S56a312,a4S78a

4、424，a32,a43，a54，a5S910a540。故选C。（2)在等差数列an中，已知a45,a3是a2和a6的等比中项，则数列an的前 5 项的和为(）A15 B20 C25 D15 或 25 答案 D 解析 设公差为d，a3为a2,a6的等比中项,a23a2a6,即(a4d）2（a42d）（a42d),5d(d2)0，d0 或d2.5d5 或 3，即a35 或 3,S55a325 或 15.故选 D。（3）已知正项数列an满足a错误!6a错误!an1an,若a12，则数列an的前n项和为_ 答案 3n1 解析 a2，n16a错误!an1an，(an13an)（an12an)0，an0,

5、an13an,an为等比数列，且首项为 2，公比为 3,Sn3n1。利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量,解题中首先要注意求解最基本的量 1在各项为正数的等比数列an中，S29，S321，则a5a6（）A144 B121 C169 D148 答案 A 解析 由题意可知，错误!即错误!解得错误!或错误!(舍去）a5a6a1q4(1q)144。故选 A.2（2019辽宁沈阳郊联体高三一模）我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人,每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入

6、，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者,亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为（）A.错误!B.错误!C.错误!D。错误!答案 C 解析 设an为第n等人的得金数，则an为等差数列,由题设可知a1a2a34，a8a9a103，故a2错误!，a91，而a5a6a2a9错误!。故选 C.3（2019安徽太和第一中学高一调研）定义:在数列an中，若满足错误!错误!d(nN，d为常数),称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21,a33，则错误!（)A4202021 B4201921 C4202221 D420192 答案 A 解

7、析 a1a21，a33，错误!错误!2，错误!是以 1 为首项，2 为公差的等差数列,错误!2n1，错误!错误!错误!(220211)（220201)4202021.故选 A。考向 2 等差数列、等比数列的判定与证明 例 2 已知数列an中，a11,其前 n 项的和为 Sn,且满足 an错误!（n2,nN*）(1）求证:数列错误!是等差数列;（2）证明：错误!S1错误!S2错误!S3错误!Sn错误!.证明（1）当n2 时，SnSn1错误!,Sn1Sn2SnSn1，错误!错误!2，所以数列错误!是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2）由(1)可知，错误!错误!(n1)22n1，所以Sn错误!

8、.错误!S1错误!S2错误!S3错误!Sn 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,则m 能取到的最大正整数是_ 答案 7 解析 设数列an的公差为d,由题意得，错误!解得错误!ann,且错误!错误!，Sn1错误!错误!错误!，令TnS2nSn错误!错误!错误!，则Tn1错误!错误!错误!，即Tn1Tn12n2错误!错误!错误!错误!错误!0,Tn1Tn，则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n1 处取最小值,T1S2S1错误!,对一切nN*，恒有S2nSnm16成立，错误!错误!即可，解得m8，故m能取到的最大正整数是 7.金版押题 6设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1

9、错误!Sn1Sn，则数列Sn的通项公式为_ 答案 2n1 解析 由已知得an1Sn1Sn错误!Sn1Sn,所以错误!错误!错误!，所以错误!是以1 为首项,错误!为公差的等差数列所以错误!1错误!（n1）错误!n错误!。故Sn错误!。7给出一个直角三角形数阵（如下)，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij，i，jN*），则an4_.错误!错误!，错误!错误!,错误!，错误!答案 错误!解析 因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为错误!错误!错误!，所以ai1错误!（i1）错误!错误!，因为从第三行起,每一行的数成等比数

10、列,且每一行的公比相等为错误!错误!，所以aijai1错误!j1错误!错误!j1(i3）,因此an4错误!错误!41错误!。8已知正项等比数列an满足:a2a816a5，a3a520,若存在两项am,an使得 错误!32，则错误!错误!的最小值为_ 答案 错误!解析 因为数列an是正项等比数列，a2a816a5，a3a520，所以a2a8a错误!16a5，a516，a34。由a5a3q2，得q2（q2 舍去）,由a5a1q4，得a11，所以ana1qn12n1，因为错误!32，所以 2m12n1210，mn12，错误!错误!错误!(mn)错误!错误!错误!错误!错误!错误!(m0，n0)，当且

11、仅当n2m时“”成立，所以错误!错误!的最小值为错误!.配套作业 一、选择题 1（2019山东德州高三下学期联考)在等比数列an中，a11，错误!8，则a6的值为(）A4 B8 C16 D32 答案 D 解析 设等比数列an的公比为q，a11，错误!8，错误!8，解得q2,则a62532.故选 D.2已知等比数列an满足a1a21，a5a64，则a3a4()A2 B2 C。错误!D错误!答案 A 解析 a1a2，a3a4，a5a6成等比数列,即（a3a4)2（a1a2）（a5a6）,（a3a4）24，a3a4与a1a2符号相同,故a3a42，故选 A.3（2019安徽蚌埠高三下学期第二次检测)

12、等差数列an的公差为d，若a11，a21，a41 成以d为公比的等比数列，则d()A2 B3 C4 D5 答案 A 解析 将a11，a21，a41 转化为a1，d的形式为a11，a11d，a113d，由于这三个数成以d为公比的等比数列,故错误!错误!d,化简得a11d，代入错误!d,得错误!2d，故选 A。4设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（)A63 B45 C36 D27 答案 B 解析 解法一：设等差数列an的公差为d，由S39，S636,得错误!即错误!解得错误!所以a7a8a93a83(a17d)3(172)45.解法二:由等差数列的性质，知S3，S6

13、S3，S9S6成等差数列，即 9，27,S9S6成等差数列，所以S9S645，即a7a8a945.5已知Sn为等比数列an的前n项和，若S3，S9,S6成等差数列，则(）AS62S3 BS6错误!S3 CS6错误!S3 DS62S3 答案 C 解析 设等比数列an的公比为q，则S6(1q3)S3，S9（1q3q6）S3，因为S3，S9，S6成等差数列，所以 2(1q3q6)S3S3（1q3）S3，解得q312，故S6错误!S3。6(2019陕西西安高三第一次质检）已知函数yf（x1)的图象关于y轴对称,且函数f(x）在（1，)上单调,若数列an是公差不为 0 的等差数列，且f（a4)f（a18

14、），则an的前 21 项之和为（）A0 B。错误!C21 D42 答案 C 解析 函数yf（x1）的图象关于y轴对称，平移可得yf（x)的图象关于x1 对称，且函数f(x）在(1，)上单调,由数列an是公差不为 0 的等差数列，且f（a4)f(a18），可得a4a182，所以a1a21a4a182,可得数列an的前 21 项和S21错误!21。故选 C。二、填空题 7已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Snan1，则Sn_.答案 3n1 解析 由 2Snan1得 2Snan1Sn1Sn,所以 3SnSn1，即错误!3，所以数列Sn是以S1a11 为首项，q3 为公比的等比数列,所以Sn3n

15、1。8设等比数列an满足a1a21,a1a33，则a4_。答案 8 解析 设等比数列an的公比为q，a1a21，a1a33,a1（1q)1，a1(1q2）3.a1a210，q1，即 1q0.，得 1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38。9(2019山西太原第五中学高三阶段检测）各项均为正数的数列an和bn满足:an，bn，an1成等差数列，bn，an1,bn1成等比数列，且a11，a23，则数列an的通项公式为_ 答案 an错误!解析 由题设可得an1错误!，an错误!，得 2bnanan12bn错误!错误!，即 2错误!错误!错误!，又a11,a23 2b14b12,则错误!是首项为

16、错误!的等差数列由已知得b2错误!错误!，则数列错误!的公差d错误!错误!错误!错误!错误!,所以bn 2（n1）错误!错误!，即错误!错误!.当n1 时,错误!错误!，当n2 时，错误!错误!，则an错误!错误!,a11 符合上式，所以数列an的通项公式为an错误!.10已知数列an满足错误!a1错误!a2错误!an3n1，则an_,a1a2a3 an_。答案 错误!错误!解析 由题意可得，当n1 时，13a14，解得a112.当n2 时，错误!a1错误!a2错误!an13n2，所以错误!an3,n2，即an3n1，n2，又当n1 时，an3n1不成立,所以an错误!当n2 时，a1a2an

17、12错误!错误!。三、解答题 11(2019广东茂名五大联盟学校高三 3 月联考)设数列an的前n项和为Sn，且满足an错误!Sn10(nN*)（1)求数列an的通项公式；(2）是否存在实数，使得数列Sn（n2n)为等差数列?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解（1)由an错误!Sn10(nN*),可知当n1 时，a1错误!a110，即a12.又由an错误!Sn10（nN*）可得an1错误!Sn110，两式相减，得错误!错误!0，即错误!an1an0,即an12an。所以数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故an2n(nN*）（2）由(1)知，Sn错误!2（2n1),所以Sn

18、(n2n)2(2n1)(n2n）若数列Sn（n2n)为等差数列，则S1(12），S2（222），S3（323）成等差数列，即有 2S2(222）S1（12）S3（323），即 2(66）(23）(1411)，解得2。经检验2 时，Sn（n2n）成等差数列，故的值为2.12(2019江西上饶市高三二模)已知首项为 1 的等比数列an满足a2a43（a1a3),等差数列bn满足b1a2，b4a3，数列bn的前n项和为Sn.（1)求数列an，bn的通项公式；(2）若数列cn满足错误!错误!错误!错误!Sn，求cn的前n项和Tn.解（1)设an的通项公式为ana1qn1，a1qa1q33(a1a1q2

19、），q3。a11,an3n1,a23，a39,b13,b49.设bn的公差为d，d错误!2,bn2n1.（2)bn2n1，Sn错误!n22n，当n1,错误!3，c13，当n2，c1a1c2a2错误!n22n，错误!错误!错误!（n1）22（n1），两式相减,得错误!2n1，cn(2n1）3n1，经检验,n1 时上式也成立 综上，cn（2n1）3n1，nN。Tn330531（2n1)3n1，3Tn331532（2n1)3n,两式相减2Tn3(2n1)3n23123223n13（2n1)3n错误!2n3n。Tnn3n。13已知数列an的各项均为正数，记数列an的前n项和为Sn，数列a错误!的前n项

20、和为Tn,且 3TnS错误!2Sn，nN.(1)求a1的值；（2）求数列an的通项公式 解（1）由 3T1S错误!2S1，得 3a错误!a错误!2a1，即a错误!a10。因为a10，所以a11.(2)因为 3TnS错误!2Sn，所以 3Tn1S错误!2Sn1,，得 3a2，n1S2，n1S错误!2an1，即 3a错误!(Snan1）2S错误!2an1。因为an10，所以an1Sn1,所以an2Sn11,，得an2an1an1,即an22an1,所以当n2 时，错误!2.又由 3T2S222S2，得 3（1a22）(1a2）22(1a2)，即a错误!2a20.因为a20,所以a22，所以错误!2

21、，所以对任意的nN*，都有错误!2 成立,所以数列an的通项公式为an2n1，nN*.14（2019河北省中原名校联盟高三联考)已知正项等比数列an中，a1错误!，且a2,a3，a41 成等差数列（1)求数列an的通项公式；(2）若bn2log2an4，求数列错误!的前n项和Tn.解（1)设等比数列an的公比为q.因为a2，a3，a41 成等差数列所以 2a3a2a41,得 2a1q2a1qa1q31。又a1错误!，则 2错误!q2错误!q错误!q31，即q2错误!q错误!q31。所以 2q2qq32，所以 2q22qq3，所以 2（q21）q(q21）所以(q21）（2q)0。显然q210，

22、所以 2q0，解得q2.故数列an的通项公式ana1qn1错误!2n12n2.(2）由（1)知,bn2log22n242(n2)42n.所以错误!错误!错误!错误!.则Tn错误!错误!错误!错误!错误!。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our

23、 busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.