一元二次方程第1节一元二次方程教材剖析试题.pdf

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1、创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 第二十二章 一元二次方程 第 1 节一元二次方程教材剖析 华东师大版 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 新课程 HY 要求 1、知识与技能 1使学生理解一元二次方程的意义；2掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项2、过程与方法1通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的才能；2通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完好性和深入性 3由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生浸透方程的

2、思想方法，由此培养学生用数学的意识 3、情感、态度与价值观 在学习中体会已有方程知识的缺乏和进一步拓展、探究的必要性，从而进步学习的积极性，在鼓励学生积极发表自己的意见、互相争论辨析中，体验交流的愉悦感，激发学习的热情。知识点讲解 知识点一：从实际问题中抽象出方程 对于给出的实际情境问题，可以在充分理解题意的根底上，分析清楚题目中外显的或者隐藏的数量关系，从而建立等式列出方程。注意：这是难点，难在如何寻求问题中的等量关系，要注意把握常用的数量关系式，如图形的面积、周长公式，增长基数与增长率等。知识点二：一元二次方程的定义 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：

3、了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 假如一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：由定义可知，一元二次方程必须满足三个特征：1一元二次方程的左右两边都是整式，即一元二次方程必须是整式方程；2方程中只含有一个未知数；3未知数的最高次数为 2。确定一个方程是否是一元二次方程，就应把握这三个本质特征，只有同时具备这三个特征，这个方程才是一元二次方程。知识点三：一元二次方程的一般形式 任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：ax2bxc0a0ax2称二次

4、项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数 注意：1“a0是一元二次方程的一般形式的一个重要组成局部。因为方程 ax2bxc0 只有当 a0 时才是一元二次方程。例如，当 a=0，b0 时，它就是一元一次方程了。反之，假如明确指出方程 ax2bxc0 是一元二次方程，那就隐含了 a0 这个条件。2任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式。3二次项系数，一次项系数都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。4二次项与二次项系数、一次项与一次项系数要分清。典型例题讲解 一、从实际问题中抽象出方程 创 作人：了视们 日 期

5、：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 例 1、根据题意列方程 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开拓面积为 900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为 x 米，那么为长(x10)米，由长方形的面积公式可列方程。解：设长方形绿地的宽为 x 米，可列出方程 x(x10)900 整理可得 x210 x900=0.点拨：解决这类问题的关键在于如何寻求问题中的等量关系，要注意把握常用的数量关系式，如本例就是利用了图形的面积公式。二、一元二次方程的定义 例 2、以下关于x的方

6、程中，一定是一元二次方程的是 A.23320mxx B.2560k xk C.2213042xx D.21320 xx 分析：此题考察一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程应紧扣本质特征只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 且方程两边的代数式都是整式。A 项方程中最高项为23mx，因无法断定3m是否为零，从而不能确定该方程是否为一元二次方程；B 项方程中关于未知数x的最高项是2k x，0k 时，x的最高次数为 1，所以该方程不是一元二次方程；C 项方程中关于未知数x的最高项是23x，x的最高次数为 2，符合一元二次方程的特征；D 项中分母中含未知数，2132xx不是整式，所

7、以不是一元二次方程。解：C 点拨：此题的关键在于正确理解一元二次方程的概念。创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 三、一元二次方程的一般形式 例 3、把以下方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：12243x xxx 2228421xxx 321132xx 4220mxnxmxnxqpmn 分析：首先要对四个方程进展整理，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项。解：方程1去括号，得22243xxxx 移项、合并同类项，得23

8、0 xx 二次项系数为3，一次项系数为 1，常数项为 0.方程2去括号，得22166441xxx 移项、合并同类项，得2316630 xx 二次项系数为 3，一次项系数为16，常数项为63.方程3去分母，得22316xx 去括号、移项、合并同类项，得22390 xx 二次项系数为 2，一次项系数为3，常数项为9.方程4中，含有字母系数，通过合并同类项，得20mn xmn xpq 二次项系数为mn，一次项系数为mn，常数项为pq.点拨：1利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化成一般形式，其步骤是去括号、去分母；移项、合并同类项。2求二次项系数、一次项系数和常数项时，须先把一元二次方程化成一般形

9、式，然后再创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 求。这是因为方程的二次项稀疏、一次项系数和常数项都是在方程的一般形式下定义的；3把本例3得到的方程22390 xx的两边同除以 2，得239022xx，它也是原方程的一般形式，可见一元二次方程的一般形式不是惟一的，因此，其二次项系数、一次项系数和常数项也不是惟一的，因此通常的一般形式指最简单、实用最方便的一种。易错例题讲解 例 1、把方程2132221xx xx化成一般形式并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。分析：正确应用各种运算法那么，将方程中的同类项合

10、并成一项，通过移项把方程右边变为0，并把方程左边按字母x降幂排列，再写出各项系数。解：去括号，得2221 3624 1xxxxx.移项，合并同类项得方程的一般形式：22240 xx.即：220 xx.二次项系数为 1，一次项系数为1，常数项为 2.易错点：通常在将方程化为后，各项含有公因式，需要进一步化简得220 xx作为所求的一般形式，这样可为后面学习一元二次方程的解法打下根底。此题的一次项系数不能写成“1，而是“1。例 2、当m为什么数时，关于x的方程2222mxmxmx是关于x的一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。分析：先将方程看作关于未知数x的一元二次方程，把它化为一

11、般形式，再由二次项系数不为 0，求出m的取值，然后写出方程各项的系数。解：原方程化简整理，得2120mxmxm.由二次项系数10m，得1m.创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 当1m 时，原方程为一元二次方程，二次项系数为1m，一次项系数为m，常数项为2m.易错点：此题易误认为2m 时，原方程为一元二次方程，这是没有把原方程化为一般形式就求m范围而造成的错误。此题还易出现把常数项写成 2 的错误。对含字母系数的方程概念理解不透，在本方程中，x是未知数，m应看作数，所以常数项应是2m。中考链接 命题方向：一元

12、二次方程知识及其应用，是中学数学的根底内容，也是从事数学建模的重要工具，更是增强学生数学建模意识的良好载体，对培养和进步学生分析问题、解决问题的才能，体会数学的价值都有重要的意义。本节是一元二次方程的根底知识，是学习本章的根底。一元二次方程的有关概念往往以填空题、选择题出现。例 1、2021在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图 22.1-1 所示，假如要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是 。Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0 C.x2-130 x-1400=0 Dx

13、2-65x-350=0 分析：由题意知镶上金边后整个挂图的长为802x cm，宽为502x cm，从而可列方程 8025025400 xx，整理可得2653500 xx.解：B.点拨：解决此题的关键是正确列出方程，并整理成一般形式，然后判断。图 22.1-1 80cm x x x x 50cm 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 例 2、2021方程0932mxx的一个根是 1，那么m的值是 。分析：由方程根的意义知把1x 代入原方程可求出m的值.解：6.点拨：要正确理解方程根的意义。创新例题讲解 例 1、

14、a为何值时，以下方程为一元二次方程 221123;21270.aaxxxaxaxx 分析：1 先把方程化成一般形式22130axax，当二次项系数20a时，方程才是一元二次方程，所以2a。2由于首项的次数为1a，系数为1a，所以只有当12a 且10a 时方程才为一元二次方程，即12,10.aa 1.a 解：1当2a 时，方程2223axxxax为一元二次方程。212a ，所以1a ，当1a 时，10a；当1a 时，10a，所以当1a 时，原方程为一元二次方程。点拨：一元二次方程二次项的系数不能等于 0 是判断一个方程为一元二次方程的必要条件。例 2、2021某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开

15、发建立住宅面积由 2000 年的 4 万平方米，增加到 2021 年的 7 万平方米，设这两年该房屋开发公司建立住宅面积的年平均增长率为x，那么可列方程为_.分析：由题意 4 万经过两年的平均增长变成了 7 万，抓住增长率变化的根底即可。解：24 17x 点拨：数学与人类生活联络亲密，我们要擅长从数学的角度理解问题，开展应用意识。创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 创 作人：了视们 日 期：二 O 二二 年 1 月 16 日 例 3、一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大 3，百位上的数字等于个位上数字的平方，假如这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的 25 倍达 202，试求这个三位数。只列出方程即可 分析：设出未知数，根据各数位上的数字之间的关系及这个三位数与它的个位上的数字与十位上的数字的关系可以列出方程。解：设个位上的数字为x，那么十位上的数字为3x，百位上的数字为2x，由题意可列方程2100103253202.xxxx x 点拨：对于此类数字问题，要会利用各数位上的数字表示该数，如个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，那么这个三位数可表示为10010cba，解题时必须把握住这一点。