离心率材料(1)椭圆离心率的解法.pdf

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1、离心率材料（1）1 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PDL 于 D，QFAD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则e=PFPDe=QFBFe=AOBOe=AFBAe=FOAO 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO=a2 c有。题目 1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(

2、ab 0)的两焦点为 F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1,把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=3cc+3c=2a e=c a=3-1 变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)的两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？D B F OA P Q B A F2 F1 离心率材料（1）2 解：连接 PF2,则OF2=OF1=OP,F1P

3、F2=90图形如上图，e=3-1 变形 2:椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)的两焦点为 F1、F2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，PF2 AB,求椭圆离心率？解：PF1=b2 a F2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB PF1 F2 F1=ba 又 b=a2-c2 a2=5c2 e=55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目 2：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，ABF=9

4、0，求 e?解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2=a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1-52(舍去)OP F1 F2 B A F2 F1 P O F B A O 离心率材料（1）3 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)，e=-1+5 2,A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90 引申：此类 e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为

5、B1,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关 e 的方程式。题目 3：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60的直线交椭圆与 AB 两点，若F1A=2BF1,求 e?解：设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m 在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：a2 c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除：2a-c 2a+c=12 e=23 题目 4：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)的两焦点为

6、 F1（-c，0）、F2(c,0)，P 是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2=5PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：F1F2sin F1PF2 =F1Psin F1F2P =PF2sin PF1F2 根据和比性质：F1F2sin F1PF2=F1P+PF2 sinF1F2P+sin PF1F2 变形得：F1F2 PF2+F1P =sin F1PF2 sin F1F2P+sin PF1F2 =2c 2a =e PF1F2=75PF2F1=15 e=sin90 sin75+sin15 =63 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理

7、可知 e=sin F1PF2 sin F1F2P+sin PF1F2 变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)的两焦点为 F1（-c，0）、F2(c,0)，P 是椭圆上一点，且F1PF2=60，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=，则F2F1P=120-e=sin F1PF2 sin F1F2P+sin PF1F2 =sin60 sin+sin(120-)=1 2sin(+30)12 12e0)F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设PF1F2=,PF2F1=若13 tan 2 tan 2 12,求 e 的取值范围？分析：

8、运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论 e=sin F1PF2 sin F1F2P+sin PF1F2 =sin(+)sin+sin =2sin+2 cos+2 2sin+2 cos-2 =cos 2cos 2-sin 2 sin 2 cos 2cos 2+sin 2 sin 2 =1-tan 2 tan 2 1-tan 2 tan 2 =e 131-e 1+e 12 13eb 0)，斜率为 1，且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OA+OB与 a=(3,-1)共线，求 e?法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c(a2+b

9、2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2=2a2ca2+b2 y1+y2=2a2ca2+b2-2c=-2b2ca2+b2 OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)即 a2=3b2 e=63 法二：设 AB 的中点 N，则 2ON=OA+OB x12a2+y12 b2 =1 x22a2+y22 b2 =1 -得：y1-y2x1-x2=-b2a2 x1+x2 y1+y2 1=-b2a2(-3)即 a2=3b2 e=63 B(X2,Y2)A(X1,Y1)O 离心率材料（1）5 四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目

10、6：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(ab 0)的两焦点为 F1（-c，0）、F2(c,0)，满足MF1MF2=0 的点 M总在椭圆内部，则 e 的取值范围？分析：MF1MF2=0以 F1F2 为直径作圆，M 在圆 O 上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0eb 0)的两焦点为 F1（-c，0）、F2(c,0)，P 为右准线 L 上一点，F1P 的垂直平分线恰过 F2 点，求 e 的取值范围？分析：思路 1,如图 F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找 a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求 e 解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(a2c,y0)M(a2c

11、-c 2,y0 2)即(b22c,y0 2)则PF1=-(a2c+c,y0)MF2=-(b22c-c,y0 2)PF1MF2=0 (a2c+c,y0)(b22c-c,y0 2)=0 F2 M F1 O M P F2 F1 O 离心率材料（1）6 (a2c+c)(b22c-c)+y02 2 =0 a2-3c20 33e1 解法 2：F1F2=PF2=2c PF2a2c-c 则 2ca2c-c 3ca2c 3c2a2 则33e1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。离心率为高考的频考点，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。